Ліпшіцево відображення - відображення f \ colon X \ to Y між двома метричними просторами, застосування якого збільшує відстані не більше, ніж в деяку константу раз. А саме, відображення f метричного простору (X, \; \ rho_X) в метричний простір (Y, \; \ rho_Y) називається ліпшіцевим, якщо знайдеться деяка константа L (Константа Ліпшиця цього відображення), така, що

\ Rho_Y (f (x), \; f (y)) \ leqslant L \ cdot \ rho_X (x, \; y)

при будь-яких x, \; y \ in X . Ця умова називають умовою Ліпшиця.


1. Пов'язані визначення

  • Відображення, яке задовольняє вищенаведеним умові, називається також L -Ліпшіцевим.
  • Нижня грань чисел L , Що задовольняють вищенаведеним нерівності, називається константою Ліпшиця відображення f .
  • Відображення f \ colon X \ to Y називається біліпшіцевим, якщо у нього існує зворотне f ^ {-1} \ colon Y \ to X і обидва f і f ^ {-1} є ліпшіцевимі.
  • Відображення f \ colon X \ to Y називається коліпшіцевим, якщо існує константа L , Така, що для будь-яких x \ in X і y \ in Y знайдеться x '\ in f ^ {-1} (y) таке, що
    \ Rho_Y (f (x), \; y) \ leqslant L \ cdot \ rho_X (x, \; x ').

2. Властивості

  • Будь відображення Ліпшиця рівномірно безперервно.
  • Теорема Радемахер стверджує, що будь-яка ліпшіцева функція, визначена на відкритому безлічі в евклідовому просторі, дифференцируема на ньому майже усюди.
  • Суперпозиція ліпшіцевой і інтегрованої функції интегрируема.

3. Варіації і узагальнення

  • Поняття ліпшіцевой функції природним чином узагальнюється на функції з обмеженим модулем безперервності, так як умова Ліпшиця записується так:
\ Omega (f, \; \ delta) \ leqslant L {\ cdot} \ delta.

4. Історія

Відображення з властивістю

| F (x)-f (y) | \ leqslant L {\ cdot} | xy | ^ \ alpha, \ quad \ alpha \ leqslant 1

вперше розглядалося Ліпшиця в 1864 для дійсних функцій в якості достатньої умови для збіжності ряду Фур'є до своєї функції. Згодом умовою Ліпшиця стало прийнято називати цю умову тільки при \ Alpha = 1 , А при \ Alpha <1 - умовою Гельдера.