Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Магнітогідродінаміка


BernoullisLawDerivationDiagram.svg

План:


Введення

Магнітогідродінаміка - фізична дисципліна, що виникла на перетині гідродинаміки і електродинаміки суцільного середовища. Предметом її вивчення є динаміка провідної рідини (газу) в магнітному полі. Прикладами таких середовищ є: різного роду плазма, рідкі метали, солона вода.

Піонером досліджень в галузі теорії магнітогідродінамікі визнаний Ханнес Альфвен, який удостоївся за ці роботи Нобелівської премії в 1970.


1. Рівняння магнітної гідродинаміки

Повна система рівнянь нерелятивистской магнітної гідродинаміки провідної рідини має вигляд:

\ Begin {cases} \ rho \ frac {\ partial \ vec v} {\ partial t} + \ rho (\ vec v, \ nabla) \ vec v =- \ nabla p - \ frac {1} {4 \ pi } [\ vec H \ operatorname {rot} \ vec H] + \ eta \ Delta \ vec v + \ left (\ frac 13 \ eta + \ zeta \ right) \ nabla \ operatorname {div} \ vec v \ \ p = p (\ rho) \ \ \ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} + \ operatorname {div} \ rho \ vec v = 0 \ \ \ frac {\ partial \ vec H} {\ partial t} = - \ frac {1} {\ sigma} \ frac {c ^ 2} {4 \ pi} \ operatorname {rot} \ left [\ nabla \ times \ vec H \ right] + \ operatorname {rot} \ left [ \ vec v \ times \ vec H \ right] \ \ \ nabla \ cdot \ vec H = 0 \ end {cases}

Тут \ P - Тиск у середовищі, \ \ Rho - Щільність, σ - Провідність рідини, η - Зсувна в'язкість, ζ - Друга в'язкість (об'ємна в'язкість) а \ Vec v - Поле швидкостей її елементів. \ Vec H - напруженість магнітного поля.

Ця система містить 8 рівнянь і дозволяє визначити 8 невідомих \ P, \ rho, \ vec H, \ vec v при наявності заданих початкових і граничних умов.

Якщо скористатися наступними наближеннями ( бездіссіпатівний межа):

  1. \ Sigma \ to \ infty
  2. \ Eta = 0, \ quad \ zeta = 0

то система рівнянь МГД запишеться у простішому вигляді:

\ Begin {cases} \ rho \ frac {\ partial \ vec v} {\ partial t} + \ rho (\ vec v, \ nabla) \ vec v =- \ nabla p - \ frac {1} {4 \ pi } [\ vec H \ operatorname {rot} \ vec H] \ \ p = p (\ rho) \ \ \ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} + \ operatorname {div} \ rho \ vec v = 0 \ \ \ frac {\ partial \ vec H} {\ partial t} = \ operatorname {rot} \ left [\ vec v \ times \ vec H \ right] \ \ \ nabla \ cdot \ vec H = 0 \ end {cases}

2. Програми

Висновок рівнянь МГД з рівнянь Максвелла та гідродинаміки

Запишемо систему рівнянь Максвелла в системі СГС.

\ Begin {cases} \ nabla \ times \ vec E = - \ frac 1c \ frac {\ partial \ vec H} {\ partial t} \ \ \ nabla \ times \ vec H = \ frac 1c \ frac {\ partial \ vec E} {\ partial t} + \ frac {4 \ pi} {c} \ vec j \ \ \ nabla \ cdot \ vec H = 0 \ \ \ nabla \ cdot \ vec E = 0 \ end {cases}

Будемо виходити з таких припущень:

  1. Магнітна проникність μ = 1
  2. Ні електричних зарядів ρ = 0
  3. Закон Ома має вигляд: \ Vec j = \ sigma \ vec E + \ frac {\ sigma} {c} \ vec v \ times \ vec H

Обмежимося нерелятивістських випадком ( v \ ll c ), Тобто \ Left | \ nabla \ times \ vec H \ right | \ gg \ left | \ frac 1c \ vec E \ right |

Обгрунтування нерелятівістского наближення.

Покажемо, що v \ ll c еквівалентно \ Left | \ nabla \ times \ vec H \ right | \ gg \ left | \ frac 1c \ frac {\ partial \ vec E} {\ partial t} \ right |

\ Left | \ nabla \ times \ nabla \ times \ vec H \ right | \ gg \ left | \ frac 1c \ nabla \ times \ frac {\ partial \ vec E} {\ partial t} \ right | = \ frac { 1} {c ^ 2} \ left | \ frac {\ partial ^ 2 \ vec H} {\ partial t ^ 2} \ right |

Оцінимо цей вираз:

\ Frac {H} {L ^ 2} \ gg \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {H} {\ tau ^ 2}

L - характерна довжина

τ - Характерний час

Це приводить нас до наступного співвідношенню:

c ^ 2 \ gg \ frac {L ^ 2} {\ tau ^ 2} = v ^ 2
v \ ll c

Тобто характерна швидкість в системі повинна бути багато менше швидкості світла.

Рівняння Максвелла в цьому наближенні запишуться таким чином:

\ Begin {cases} \ nabla \ times \ vec E = - \ frac 1c \ frac {\ partial \ vec H} {\ partial t} \ \ \ nabla \ times \ vec H = \ frac {4 \ pi} {c } \ vec j \ \ \ end {cases}

Висловивши із закону Ома \ Vec E і підставимо їх у перше рівняння:

- \ Frac 1c \ frac {\ partial \ vec H} {\ partial t} = \ nabla \ times \ left (\ frac {1} {\ sigma} \ vec j - \ frac 1c \ vec v \ times \ vec H \ right)

Підставимо в це рівняння струм з другого рівняння Максвелла і отримаємо:

- \ Frac 1c \ frac {\ partial \ vec H} {\ partial t} = \ frac {1} {\ sigma} \ frac {c} {4 \ pi} \ nabla \ times \ left [\ nabla \ times \ vec H \ right] - \ frac 1c \ nabla \ times \ left [\ vec v \ times \ vec H \ right]

У межі ідеальної провідної рідини \ Sigma \ to \ infty отримуємо:

\ Frac {\ partial \ vec H} {\ partial t} = \ nabla \ times \ left [\ vec v \ times \ vec H \ right]


Для зв'язку з гідродинаміки в рівняння Нав'є - Стокса додається член, відповідальний за силу Ампера діє на струми з боку магнітного поля (струм виражається з другого рівняння Максвелла через напруженість магнітного поля):

\ Vec f = \ frac 1c \ left [\ vec j \ times \ vec H \ right] = - \ frac {1} {4 \ pi} \ left [\ vec H \ times \ operatorname {rot} \ vec H \ right]

Література

  • Денисов В. І. "Введення в електродинаміку матеріальних середовищ: Навчальний посібник". - М.: Изд-во Моск. ун-ту, 1989. - ISBN 5-211-01371-9
  • Ландау, Л. Д., Ліфшиц, Є. М. Електродинаміка суцільних середовищ - Видання 4-е, стереотипне .. - М .: Физматлит, 2003. - 656 с. - ("Теоретична фізика", том VIII). - ISBN 5-9221-0123-4.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru