Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Магічний квадрат



План:


Введення

Магічний, або чарівний квадрат - це квадратна таблиця n \ times n , Заповнена n 2 числами таким чином, що сума чисел в кожному рядку, кожному стовпці і на обох діагоналях однакова. Якщо в квадраті рівні суми чисел тільки в рядках і стовпцях, то він називається полумагіческім. Нормальним називається магічний квадрат, заповнений цілими числами від 1 до n 2 . Магічний квадрат називається асоціативним або симетричним, якщо сума будь-яких двох чисел, розташованих симетрично щодо центру квадрата, дорівнює n 2 + 1 .

Нормальні магічні квадрати існують для всіх порядків n \ ge 1 , За винятком n = 2 , Хоча випадок n = 1 тривіальний - квадрат складається з одного числа. Мінімальний нетривіальний випадок показаний нижче, він має порядок 3.

2 7 6 \ Rightarrow 15
9 5 1 \ Rightarrow 15
4 3 8 \ Rightarrow 15
\ Swarrow\ Downarrow\ Downarrow\ Downarrow\ Searrow
15 15 15 15 15

Сума чисел в кожному рядку, стовпці і на діагоналях називається магічною константою, M. Магічна константа нормального чарівного квадрата залежить тільки від n і визначається формулою

M (n) = \ frac {n (n ^ 2 +1)} {2}

Перші значення магічних констант наведені в наступній таблиці (послідовність A006003 в OEIS):

Порядок n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
M (n) 15 34 65 111 175 260 369 505 671 870 1105

1. Історично значимі магічні квадрати

1.1. Квадрат Ло Шу

Зображення Ло Шу в книзі епохи Мін
Lo Shu 3x3 magic square.svg

Ло Шу ( кит. трад. 洛 书 , упр. 洛 书 , піньінь : lu shū) Єдиний нормальний магічний квадрат 3 3. Був відомий ще в Древньому Китаї, перше зображення на черепаховому панцирі датується 2200г. до н.е..

4 9 2
3 5 7
8 1 6

.


1.2. Квадрат, знайдений в Кхаджурахо (Індія)

Найраніший унікальний магічний квадрат виявлено в написі XI століття в індійському місті Кхаджурахо:

7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4

Це перший магічний квадрат, що відноситься до різновиду так званих "диявольських" квадратів. [1] [2] [3]


1.3. Магічний квадрат Ян Хуея (Китай)

У 13 в. математик Ян Хуей зайнявся проблемою методів побудови магічних квадратів. Його дослідження були потім продовжені іншими китайськими математиками. Ян Хуей розглядав магічні квадрати не тільки третього, а й великих порядків. Деякі з його квадратів були досить складні, проте він завжди давав правила для їх побудови. Він зумів побудувати магічний квадрат шостого порядку, причому останній виявився майже асоціативним (у ньому тільки дві пари центрально протилежних чисел не дають суму 37) [4] :

27 29 2 4 13 36
9 11 20 22 31 18
32 25 7 3 21 23
14 16 34 30 12 5
28 6 15 17 26 19
1 24 33 35 8 10

1.4. Квадрат Альбрехта Дюрера

Фрагмент гравюри Дюрера " Меланхолія "

Магічний квадрат 4 4, зображений на гравюрі Альбрехта Дюрера " Меланхолія I ", вважається найбільш раннім в європейському мистецтві. [5] Два середніх числа в нижньому ряду вказують дату створення картини ( 1514).

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

Сума чисел на будь горизонталі, вертикалі і діагоналі дорівнює 34. Ця сума також зустрічається у всіх кутових квадратах 2 2, в центральному квадраті (10 +11 +6 +7), у квадраті з кутових клітин (16 +13 +4 +1), в квадратах, побудованих "ходом коня" (2 +8 +9 +15 і 3 +5 +12 +14), в прямокутниках, утворених парами середніх клітин на протилежних сторонах (3 +2 +15 +14 та 5 +8 +9 +12). Більшість додаткових симетрій пов'язано з тим, що сума будь-яких двох центрально симетрично розташованих чисел дорівнює 17.


1.5. Квадрати Генрі Е. Дьюдені і Аллана У. Джонсона-мл.

Якщо в квадратну матрицю n n заноситься не строго натуральний ряд чисел, то даний магічний квадрат - нетрадиційний. Нижче представлені два таких магічних квадрата, заповнені в основному простими числами. Перший має порядок n = 3 (квадрат Дьюдені), другий (розміром 4x4) - квадрат Джонсона. Обидва вони були розроблені на початку двадцятого століття [6] :

67 1 43
13 37 61
31 73 7
3 61 19 37
43 31 5 41
7 11 73 29
67 17 23 13

Є ще кілька подібних прикладів:

17 89 71
113 59 5
47 29 101
1 823 821 809 811 797 19 29 313 31 23 37
89 83 211 79 641 631 619 709 617 53 43 739
97 227 103 107 193 557 719 727 607 139 757 281
223 653 499 197 109 113 563 479 173 761 587 157
367 379 521 383 241 467 257 263 269 167 601 599
349 359 353 647 389 331 317 311 409 307 293 449
503 523 233 337 547 397 421 17 401 271 431 433
229 491 373 487 461 251 443 463 137 439 457 283
509 199 73 541 347 191 181 569 577 571 163 593
661 101 643 239 691 701 127 131 179 613 277 151
659 673 677 683 71 67 61 47 59 743 733 41
827 3 7 5 13 11 787 769 773 419 149 751

Останній квадрат, побудований в 1913 р. Дж. М. Мансі, примітний тим, що він складений з 143 послідовних простих чисел за винятком двох моментів: залучена одиниця, яка не є простим числом, і не використано єдине парне просте число 2.


2. Квадрати з додатковими властивостями

2.1. Диявольський магічний квадрат

Диявольський квадрат або пандіагональний квадрат - магічний квадрат, в якому також з магічною константою збігаються суми чисел по ламаним діагоналях (діагоналі, які утворюються при згортанні квадрата в тор) в обох напрямках.

Існує 48 диявольських квадратів 4 4 з точністю до поворотів і відображень. Якщо взяти до уваги ще й симетрію щодо торических паралельних переносів, то залишається тільки 3 істотно різних квадрата:

1 8 13 12
14 11 2 7
4 5 16 9
15 10 3 6
1 12 7 14
8 13 2 11
10 3 16 5
15 6 9 4
1 8 11 14
12 13 2 7
6 3 16 9
15 10 5 4

Пандіагональние квадрати існують для непарного порядку n> 3, для будь-якого порядку подвійний парності n = 4k (k = 1,2,3 ...) і не існують для порядку одинарної парності n = 4 k + 2 ( k = 1,2,3, \ dots ).

Пандіагональние квадрати четвертого порядку мають ряд додаткових властивостей, за які їх називають досконалими. Досконалих квадратів непарного порядку не існує. Серед пандіагональних квадратів подвійний парності вище 4 є досконалі. [7]

Пандіагональних квадратів п'ятого порядку 3600. З урахуванням торических паралельних переносів має 144 різних пандіагональних квадратів. Один з них зображений нижче.

1 15 24 8 17
9 18 2 11 25
12 21 10 19 3
20 4 13 22 6
23 7 16 5 14
Розламані діагоналі пандіагонального квадрата

Якщо пандіагональний квадрат ще й асоціативний, то він носить назву ідеальний [8]. Приклад ідеального магічного квадрата:

21 32 70 26 28 69 22 36 65
40 81 2 39 77 7 44 73 6
62 10 51 58 18 47 57 14 52
66 23 34 71 19 33 67 27 29
4 45 74 3 41 79 8 37 78
53 55 15 49 63 11 48 59 16
30 68 25 35 64 24 31 72 20
76 9 38 75 5 43 80 1 42
17 46 60 13 54 56 12 50 61

Відомо, що не існує ідеальних магічних квадратів порядку n = 4k +2 і квадрата порядку n = 4. У той же час, існують ідеальні квадрати порядку n = 8. [9] Методом побудови складових квадратів можна побудувати на базі даного квадрата восьмого порядку ідеальні квадрати порядку n = 8k, k = 5,7,9 ... і порядку n = 8 ^ p , p = 2,3,4 ... [10] У 2008 р. розроблений комбінаторний метод побудови ідеальних квадратів порядку n = 4k, k = 2, 3, 4, ...


3. Побудова магічних квадратів

3.1. Метод терас

Описано Ю. В. Чебраковим в "Теорії магічних матриць".

Для заданого непарного n накреслимо квадратну таблицю розміром nxn. Влаштуємо до цієї таблиці з усіх чотирьох сторін тераси (пірамідки). В результаті отримаємо ступінчасту симетричну фігуру.

Y
4 5
3 4 10
2 3 9 15
1 2 8 14 20
0 1 7 13 19 25
-1 6 12 18 24
-2 11 17 23
-3 16 22
-4 21
.
X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Починаючи з лівого вершини ступінчастою фігури, заповнимо її діагональні ряди послідовними натуральними числами від 1 до N 2 .

Після цього для отримання класичної матриці N-го порядку числа, що знаходяться в терасах, поставимо на ті місця таблиці розміром NxN, в яких вони опинилися б, якщо переміщати їх разом з терасами до того моменту, поки підстави терас не приєднаються до протилежної сторони таблиці.

Y
4
3
2 3 16 9 22 15
1 20 8 21 14 2
0 7 25 13 1 19
-1 24 12 5 18 6
-2 11 4 17 10 23
-3
-4
.
X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4


3 16 9 22 15
20 8 21 14 2
7 25 13 1 19
24 12 5 18 6
11 4 17 10 23

3.2. Інші способи

Правила побудови магічних квадратів діляться на три категорії в залежності від того, який порядок квадрата: Непара, дорівнює подвоєному непарному числу або дорівнює учетверенной непарному числу. Загальний метод побудови всіх квадратів невідомий, хоча широко застосовуються різні схеми. [11] [12] Знайти всі магічні квадрати порядку n вдається тільки для n \ le 4 , Тому становлять великий інтерес приватні процедури побудови магічних квадратів при n> 4 . Найпростіше конструкція для магічного квадрата непарного порядку. Потрібно в клітку з координатами (I, j) поставити число

1 + ((i - j + (n - 1) / 2) mod n) n + ((i + j + (n + 1) / 2) mod n).

Ще простіше побудова виконати наступним чином. Береться матриця nxn. Усередині її будується ступінчастий ромб. У ньому клітинки зліва вгору по діагоналях заповнюються послідовним поруч непарних чисел. Визначається значення центральної комірки C. Тоді в кутах магічного квадрата значення будуть такими: верхня права клітинка C-1; нижня ліва клітинка C +1; нижня права осередок Cn; верхня ліва клітинка C + n. Заповнення порожніх клітинок в східчастих кутових трикутниках ведеться з дотриманням простих правил: 1) за рядками числа зліва направо збільшуються з кроком n + 1, 2) по стовпцях зверху вниз числа збільшуються з кроком n-1.

Також розроблені алгоритми побудови пандіагональних квадратів, [13] [14] і ідеальних магічних квадратів 9x9. [15] [16] Ці результати дозволяють будувати ідеальні магічні квадрати порядків n = 9 (2 k + 1) для k = 0,1,2,3, \ dots . [8] [17] Існують також загальні методи компоновки ідеальних магічних квадратів непарного порядку n> 3 . [18] [19] Розроблено методи побудови ідеальних магічних квадратів порядку n = 8k, k = 1,2,3 ... [20] і досконалих магічних квадратів. [21] Пандіагональние і ідеальні квадрати парному-непарного порядку вдається скомпонувати лише в тому випадку, якщо вони нетрадиційні. [22] [23] [24] Тим не менш, можна знаходити майже пандіагональние квадрати [25] Знайдена особлива група ідеально-скоєних магічних квадратів (традиційних і нетрадиційних) [26].


4. Приклади більш складних квадратів

Методично суворо відпрацьовані магічні квадрати непарного порядку і порядку подвійний парності. [27] Формалізація квадратів порядку одинарної парності набагато важче, що ілюструють такі схеми:

18 24 5 6 12
22 3 9 15 16
1 7 13 19 25
10 11 17 23 4
14 20 21 2 8
64 2 3 61 60 6 7 57
9 55 54 12 13 51 50 16
17 47 46 20 21 43 42 24
40 26 27 37 36 30 31 33
32 34 35 29 28 38 39 25
41 23 22 44 45 19 18 48
49 15 14 52 53 11 10 56
8 58 59 5 4 62 63 1
100 99 93 7 5 6 4 8 92 91
11 89 88 84 16 15 17 83 82 20
30 22 78 77 75 26 74 73 29 21
61 39 33 67 66 65 64 38 32 40
60 52 48 44 56 55 47 43 49 51
50 42 53 54 46 45 57 58 59 41
31 62 63 37 36 35 34 68 69 70
71 72 28 27 25 76 24 23 79 80
81 19 18 14 85 86 87 13 12 90
10 9 3 94 95 96 97 98 2 1

Існують кілька десятків інших методів побудови магічних квадратів


5. Шаховий підхід

Відомо, що шахи, як і магічні квадрати, з'явилися десятки століть тому в Індії. Тому невипадково виникла ідея шахового підходу до побудови магічних квадратів. Вперше цю думку висловив Ейлер. Він спробував отримати повний магічний квадрат безперервним обходом коня. Однак, це зробити йому не вдалося, оскільки в головних діагоналях суми чисел відрізнялися від магічної константи. Проте шахова розбивка дозволяє створювати будь-який магічний квадрат. Цифри заповнюються регулярно і порядково з урахуванням кольору клітинок.

Зображення схем побудови магічних квадратів.

Примітки

  1. 404 - laplas.narod.ru/alfavit_1.files/pril_3.htm
  2. http://telesmi.narod.ru/new_synthesis/page09.htm - telesmi.narod.ru/new_synthesis/page09.htm
  3. Mathline: Magic Squares and Stars - www.pbs.org/teachers/mathline/concepts/historyandmathematics/activity2.shtm (Англ.)
  4. В. Є. Єремєєв " Традиційна наука Китаю - science.rsuh.ru / eremeev / china / index.htm ", Глава 5: Математика.
  5. М. Макарова " Магічний квадрат Дюрера - www.klassikpoez.narod.ru / dyurer.htm "
  6. А. К. Дьюдені " Просіювання числового піску в пошуках простих чисел - www.codenet.ru / progr / alg / chis.php "
  7. М. Макарова " Досконалі магічні квадрати - www.klassikpoez.narod.ru / soversh.htm "
  8. 1 2 Г. Александров " Ідеальні магічні квадрати порядку n = 9 + 18 k , Де k = 2,3,4, \ dots - Renuar911.narod.ru/Ideal_9_plus_18k.htm "
  9. H. Danielsson " Ultramagisches Quadrat 8. Ordnung - www.magic-squares.de/eigenschaften/ultramagisch/beispiel2.html " (Нім.)
  10. М. Макарова " Ідеальні квадрати парному-парного порядку - www.klassikpoez.narod.ru/ideal8.htm "
  11. Енциклопедія "Кругосвет": " Магічний квадрат - www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/1001543a1.htm ".
  12. М. Макарова " Методи побудови магічних квадратів (оглядова стаття) - www.natalimak1.narod.ru/metody1.htm "
  13. Г. Александров " Метод побудови ідеального магічного квадрата непарного порядку - renuar911.narod.ru/ideal_mk.html "
  14. Г. Александров
  15. Г. Александров
  16. М. Макарова " Магічні квадрати дев'ятому порядку - www.klassikpoez.narod.ru/mk9.htm "
  17. М. Макарова " Пандіагональние квадрати непарних порядків кратних дев'яти - www.klassikpoez.narod.ru/ideal9.htm "
  18. Г. Александров
  19. Н. Макарова
  20. М. Макарова " Метод побудови ідеальних квадратів порядку n = 8k - www.klassikpoez.narod.ru/idealch1.htm "
  21. Н. Макарова
  22. Є. Слкуні " Нетрадиційні пандіагональние магічні квадрати 6-го порядку - www.iatp.am / slkuni / gre-la.htm "
  23. Н. Макарова
  24. Г. Александров " Ідеальний нетрадиційний магічний квадрат порядку n = 4k +2 - renuar911.narod.ru/ideal_netra.html
  25. Г. Александров " Майже пандіагональние магічні квадрати порядку 4k +2 - renuar911.narod.ru/magicProstChetn.mht "
  26. Г. Александров " Ідеальний досконалий магічний квадрат парного порядку - renuar911.narod.ru/ideal_sov.html
  27. http://bspu.ab.ru/ ~ festival/kon2001/teacher/konspect/inform/stepanowa_nowichihina.rtf - bspu.ab.ru / ~ festival/kon2001/teacher/konspect/inform/stepanowa_nowichihina.rtf

Література

  • Я. В. Успенський Вибрані математичні розваги - Сіяч, 1924.
  • Б. А. Кордемский Математична кмітливість - ilib.mccme.ru / djvu / klassik / smekalka.htm - М .: ГІФМЛ, 1958. - 576 с.
  • М. М. Постніков Магічні квадрати - М .: Наука, 1964.
  • Н. М. Рудін Від магічного квадрата до шахів - М .: Фізкультура і спорт, 1969.
  • Є. Я. Гуревич Таємниця стародавнього талісмана - М .: Наука, 1969.
  • М. Гарднер Математичні дозвілля - М .: Світ, 1972.
  • Енциклопедичний словник юного математика - М .: Педагогіка, 1989.
  • Ю. В. Чебраков Магічні квадрати. Теорія чисел, алгебра, комбінаторний аналіз - СПб. : СПб держ. техн. ун-т, 1995.
  • Ю. В. Чебраков Теорія магічних матриць - chebrakov.narod.ru / - СПб. , 2008.
  • М. Гарднер Глава 17. Магічні квадрати та куби / / Подорож у часі - publ.lib.ru / ARCHIVES / G / GARDNER_Martin / Puteshestvie_vo_vremeni. [Djv]. Zip - М .: Світ, 1990.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Магічний реалізм
Магічний куб
Квадрат
Кодекартов квадрат
Декартом квадрат
Квадрат Полібія
Семіотичний квадрат
Латинську квадрат
Квадрат (кінь)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru