Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Математика



План:


Введення

Евклід. Деталь "Афінської школи" Рафаеля

Математика (від др.-греч. μάθημα - Вивчення, наука) - наука про структури, порядку і відносинах, яка історично склалася на основі операцій підрахунку, вимірювання та опису форм реальних об'єктів [1]. Математичні об'єкти створюються шляхом ідеалізації властивостей реальних чи інших математичних об'єктів і записи цих властивостей на формальній мові. Математика не відноситься до природничих наук, але широко використовується в них як для точного формулювання їх змісту, так і для отримання нових результатів [2]. Математика - фундаментальна наука, яка надає (загальні) мовні засоби інших наук; тим самим вона виявляє їх структурний взаємозв'язок і сприяє знаходженню найзагальніших законів природи [3].


1. Основні відомості

Ідеалізовані властивості досліджуваних об'єктів або формулюються у вигляді аксіом, або перераховуються у визначенні відповідних математичних об'єктів. Потім за суворими правилами логічного висновку з цих властивостей виводяться інші дійсні властивості ( теореми). Ця теорія в сукупності утворює математичну модель досліджуваного об'єкта. Таким чином спочатку, виходячи з просторових і кількісних співвідношень, математика отримує більш абстрактні співвідношення, вивчення яких також є предметом сучасної математики.

Традиційно математика ділиться на теоретичну, що виконує поглиблений аналіз внутріматематіческіх структур, і прикладну, яка надає свої моделі іншим наукам і інженерним дисциплінам, причому деякі з них займають прикордонне з математикою положення. Зокрема, формальна логіка може розглядатися і як частина філософських наук, і як частина математичних наук; механіка - і фізика, і математика; інформатика, комп'ютерні технології та алгоритміка ставляться як до інженерії, так і до математичних наук і т. д. В літературі було запропоновано багато різних визначень математики (див. нижче).


2. Етимологія

Слово "математика" походить від др.-греч. μάθημα (Mthēma), що означає вивчення, знання, наука, і др.-греч. μαθηματικός (Mathēmatiks), спочатку означає сприйнятливий, встигаючий [4], пізніше відноситься до вивчення, згодом відноситься до математики. Зокрема, μαθηματικὴ τέχνη (Mathēmatikḗ tkhnē), на латині ars mathematica, означає мистецтво математики.


3. Визначення

Одне з перших визначень предмета математики дав Декарт [5] :

До області математики відносяться лише ті науки, в яких розглядається або порядок, або міра і зовсім не суттєво, чи будуть це числа, фігури, зірки, звуки або що-небудь інше, в чому відшукується цей захід. Таким чином, повинна існувати якась загальна наука, яка пояснює все що відноситься до порядку і заходу, не входячи в дослідження ніяких приватних предметів, і ця наука повинна називатися не іноземним, але старим, уже увійшов у вжиток ім'ям Загальної математики.

За радянських часів вважалося класичним визначення з БСЕ [6], дане А. Н. Колмогоровим :

Математика ... наука про кількісні відносини і просторові форми дійсного світу.

Це визначення Енгельса [7]; правда, далі Колмогоров пояснює, що всі використані терміни треба розуміти в самому розширеному і абстрактному сенсі.

Формулювання Бурбаки [8] :

Сутність математики ... представляється тепер як вчення про відносини між об'єктами, про яких нічого не відомо, крім описують їх деяких властивостей, - саме тих, які в якості аксіом покладені в основу теорії ... Математика є набір абстрактних форм - математичних структур.

Наведемо ще кілька сучасних визначень.

Сучасна теоретична ("чиста") математика - це наука про математичні структурах, математичних инвариантах різних систем і процесів [9].

Математика - наука, що надає можливість обчислення моделей, що приводяться до стандартного (канонічного) вигляду. Наука про знаходження рішень аналітичних моделей (аналіз) засобами формальних перетворень [10].

Герман Вейль песимістично оцінив можливість дати загальноприйняте визначення предмета математики:

Питання про підстави математики і про те, що являє собою в кінцевому рахунку математика, залишається відкритим. Ми не знаємо якогось напрямку, який дозволить в кінці кінців знайти остаточну відповідь на це питання, і чи можна взагалі очікувати, що подібний "остаточний" відповідь буде коли-небудь отриманий і визнаний всіма математиками.

"Математізірованіе" може залишитися одним із проявів творчої діяльності людини, подібно музикування або літературної творчості, яскравим і самобутнім, але прогнозування його історичних доль не піддається раціоналізації і не може бути об'єктивним [11].


4. Розділи математики

1. Математика як навчальна дисципліна поділяється в Російській Федерації на елементарну математику, досліджувану в середній школі та освічену дисциплінами:

і вищу математику, досліджувану на нематематичних спеціальностях вузів. Дисципліни, що входять до складу вищої математики, варіюються в залежності від спеціальності.

Програма навчання за спеціальністю математика [12] утворена наступними навчальними дисциплінами:

2. Математика як спеціальність науковців Міністерством освіти і науки Російської Федерації [13] підрозділяється на спеціальності:

3. Для систематизації наукових робіт використовується розділ "Математика" [14] універсальної десяткової класифікації (УДК).

4. Американське математичне товариство (AMS) виробило свій стандарт для класифікації розділів математики. Він називається Mathematics Subject Classification. Цей стандарт періодично оновлюється. Поточна версія - це MSC 2010. Попередня версія - MSC 2000.


5. Позначення

Внаслідок того, що математика працює з надзвичайно різноманітними і досить складними структурами, система позначень також дуже складна. Сучасна система запису формул сформувалася на основі європейської алгебраїчній традиції, а також математичного аналізу (поняття функції, похідної тощо). Геометрія споконвіку користувалася наочним (геометричним же) поданням. У сучасній математиці поширені також складні графічні системи запису (наприклад, комутативні діаграми), нерідко також застосовуються позначення на основі графів.


6. Коротка історія

Стос, використовувалися інками для запису чисел

Академіком А. Н. Колмогоровим запропонована така структура історії математики:

  1. Період зародження математики, впродовж якого був накопичений достатньо великий фактичний матеріал;
  2. Період елементарної математики, що починається в VI - V століттях до н.е.. і завершується в кінці XVI століття ("Запас понять, з якими мала справу математика до початку XVII століття, складає і до теперішнього часу основу "елементарної математики", що викладається в початковій і середній школі ");
  3. Період математики змінних величин, що охоплює XVII - XVIII століття, "який можна умовно назвати також періодом" вищої математики "";
  4. Період сучасної математики - математики XIX - XX століття, в ході якого математикам довелося "поставитися до процесу розширення предмета математичних досліджень свідомо, поставивши перед собою завдання систематичного вивчення з досить загальної точки зору можливих типів кількісних відносин і просторових форм".
Цифри майя

Розвиток математики почалося разом з тим, як людина стала використовувати абстракції скільки-небудь високого рівня. Проста абстракція - числа; осмислення того, що два яблука і два апельсини, незважаючи на всі їх відмінності, мають щось спільне, а саме займають обидві руки однієї людини, - якісне досягнення мислення людини. Крім того, що стародавні люди дізналися, як рахувати конкретні об'єкти, вони також зрозуміли, як обчислювати і абстрактні кількості, такі, як час : дні, сезони, року. З елементарного рахунку природним чином почала розвиватися арифметика : складання, віднімання, множення і поділ чисел.

Розвиток математики спирається на писемність і вміння записувати числа. Напевно, стародавні люди спочатку висловлювали кількість шляхом малювання рисочок на землі або видряпували їх на деревині. Давні інки, не маючи іншої системи писемності, представляли і зберігали числові дані, використовуючи складну систему мотузяних вузлів, так звані стос. Існувало безліч різних систем числення. Перші відомі записи чисел були знайдені в папірусі Ахмеса, створеному єгиптянами Середнього царства. Індійська цивілізація розробила сучасну десяткову систему числення, що включає концепцію нуля.

Історично основні математичні дисципліни з'явилися під впливом необхідності вести розрахунки в комерційній сфері, при вимірі земель і для передбачення астрономічних явищ і, пізніше, для вирішення нових фізичних завдань. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.


7. Философия математики

7.1. Цели и методы

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики - создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика - обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, - то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику - количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде - одно из главных направлений математического творчества.

Другое направление, наряду с абстрагированием - обобщение. Например, обобщая понятие " пространство " до пространства n-измерений. " Пространство \R^n, при n > 3 является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях ". [15]

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода : сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель.


7.2. Підстави

Вопрос сущности и оснований математики обсуждался со времён Платона. Начиная с XX века наблюдается сравнительное согласие в вопросе, что надлежит считать строгим математическим доказательством, однако отсутствует согласие в понимании того, что в математике считать изначально истинным. Отсюда вытекают разногласия как в вопросах аксиоматики и взаимосвязи отраслей математики, так и в выборе логических систем, которыми следует при доказательствах пользоваться.

Помимо скептического, известны нижеперечисленные подходы к данному вопросу.


7.2.1. Теоретико-множественный подход

Предлагается рассматривать все математические объекты в рамках теории множеств, чаще всего с аксиоматикой Цермело - Френкеля (хотя существует множество других, равносильных ей). Данный подход считается с середины XX века преобладающим, однако в действительности большинство математических работ не ставят задач перевести свои утверждения строго на язык теории множеств, а оперируют понятиями и фактами, установленными в некоторых областях математики. Таким образом, если в теории множеств будет обнаружено противоречие, это не повлечёт за собой обесценивание большинства результатов.


7.2.2. Логицизм

Данный подход предполагает строгую типизацию математических объектов. Многие парадоксы, избегаемые в теории множеств лишь путём специальных уловок, оказываются невозможными в принципе.

7.2.3. Формалізм

Данный подход предполагает изучение формальных систем на основе классической логики.

7.2.4. Интуиционизм

Интуиционизм предполагает в основании математики интуиционистскую логику, более ограниченную в средствах доказательства (но, как считается, и более надёжную). Интуиционизм отвергает доказательство от противного, многие неконструктивные доказательства становятся невозможными, а многие проблемы теории множеств - бессмысленными (неформализуемыми).


7.2.5. Конструктивная математика

Конструктивная математика - близкое к интуиционизму течение в математике, изучающее конструктивные построения [ прояснить ]. Согласно критерию конструктивности - " существовать - значит быть построенным ". [16] Критерий конструктивности - более сильное требование, чем критерий непротиворечивости. [17]

8. Основні теми

8.1. Числа

Понятие "число" первоначально относилось к натуральным числам. В дальнейшем оно было постепенно распространено на целые, рациональные, действительные, комплексные и другие числа.

1,\;2,\;\ldotsНатуральные числа
0,\;1,\;-1,\;\ldotsЦілі числа
1, \; -1, \; \ frac {1} {2}, \; \ frac {2} {3}, \; 0 {,} 12, \; \ ldotsРаціональні числа
1, \; -1, \; \ frac {1} {2}, \; 0 {,} 12, \; \ pi, \; \ sqrt {2}, \; \ ldotsРечові числа
-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots1, \; i, \; j, \; k, \; \ pi j-\ frac {1} {2} k, \; \ dots
Комплексні числа Кватернионы

Числа - Натуральные числа - Целые числа - Рациональные числа - Вещественные числа - Комплексные числа - Гиперкомплексные числа - Кватернионы - Октонионы - Седенионы - Гипервещественные числа - Сюрреальные числа - p -адические числа - Математические постоянные - Названия чисел - Бесконечность - Базы

Числовые системы
Рахункові
безлічі
Натуральні числа ( \ Scriptstyle \ mathbb {N}) Целые ( \scriptstyle\mathbb{Z}) Рациональные ( \scriptstyle\mathbb{Q}) Алгебраические ( \scriptstyle\overline{\mathbb{Q}}) Периоды Вычислимые
Речові числа
и их расширения
Вещественные ( \scriptstyle\mathbb{R}) Комплексные ( \scriptstyle\mathbb{C}) Кватернионы ( \ Scriptstyle \ mathbb {H}) Числа Кэли (октавы, октонионы) ( \ Scriptstyle \ mathbb {O}) Седенионы ( \ Scriptstyle \ mathbb {S}) Процедура Кэли-Диксона (en) Дуальные Гиперкомплексные Superreal number (англ.) Hyperreal number (англ.) Surreal number (англ.)
Інші
числові системи
Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординал) p-адические Супернатуральные числа
Див також Подвійні числа Ірраціональні числа Трансцендентні Числовий промінь

8.2. Перетворення

36 \ div 9 = 4 Integral as region under curve.svg Vector field.svg \ Int 1_S \, d \ mu = \ mu (S)
Арифметика Диференціальне і інтегральне числення Векторний аналіз Аналіз
\ Frac {d ^ 2} {dx ^ 2} y = \ frac {d} {dx} y + c Limitcycle.svg LorenzAttractor.png
Диференціальні рівняння Динамічні системи Теорія хаосу

Арифметика - Векторний аналіз - Аналіз - Теорія міри - Диференціальні рівняння - Динамічні системи - Теорія хаосу - Перелік функцій


8.3. Структури

Теорія множин - Абстрактна алгебра - Теорія груп - Алгебраїчні структури - Алгебраїчна геометрія - Теорія чисел - Топологія - Лінійна алгебра - Універсальна алгебра - Теорія категорій - Теорія послідовностей


8.4. Просторові відносини

Більш наочні підходи в математиці.

Pythagorean.svg Taylorsine.gif Osculating circle.svg
Геометрія Тригонометрія Диференціальна геометрія
Torus.jpg Koch curve.svg
Топологія Фрактали

Геометрія - Тригонометрія - Алгебраїчна геометрія - Топологія - Диференціальна геометрія - Диференціальна топологія - Алгебраїчна топологія - Лінійна алгебра - Фрактали


8.5. Дискретна математика

Дискретна математика містить засоби, які застосовуються над об'єктами, здатними приймати тільки окремі, не безперервні значення.

\ Forall x (P (x) \ Rightarrow P (x ')) DFAexample.svg Caesar3.svg 6n-graf.png
Математична логіка Теорія обчислюваності Криптографія Теорія графів

Комбінаторика - Теорія множин - Теорія решіток - Математична логіка - Теорія обчислюваності - Криптографія - Теорія функціональних систем - Теорія графів - Теорія алгоритмів - Логічні числення - Інформатика


9. Коди в системах класифікації знань

10. Онлайнові сервіси

Існує велика кількість сайтів, що надають сервіс для математичних розрахунків. Більшість з них англомовні. [19] З російськомовних можна відзначити сервіс математичних запитів пошукової системи Nigma.

Примітки

  1. Енциклопедія Britannica - www.britannica.com/EBchecked/topic/369194/mathematics
  2. Webster's Online Dictionary -
  3. Глава 2. Математика як мова науки - ou.tsu.ru/hischool/filmatem/42.htm. Сибірський відкритий університет.
  4. Великий давньогрецький словник (αω) - slovarus.info / grk.php
  5. Декарт Р. Правила для керівництва розуму. М.-Л.: Соцекгіз, 1936.
  6. Див: Математика - slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00046/12000.htm БСЕ
  7. Маркс К., Енгельс Ф. Твори. 2-е вид. Т. 20. С. 37.
  8. Бурбаки Н. Архітектура математики. Нариси з історії математики / Переклад І. Г. Башмакова під ред. К. А. Рибникова. М.: ІЛ, 1963. С. 32, 258.
  9. Казиев В. М. Введення в математику - www.intuit.ru/department/mathematics/intmath/1/
  10. Мухін О. І. Моделювання систем - stratum.ac.ru/textbooks/modelir/lection01.html Навчальний посібник. Перм: рци ПДТУ.
  11. Герман Вейль / / Клайн М. Математика. Втрата визначеності - djvu.504.com1.ru: 8019/WWW/673fd31efac2253c4781be62fb9ba2fc.djvu - М .: Світ, 1984. - С. 16.
  12. Державний освітній стандарт вищої професійної освіти. Спеціальність 01.01.00. "Математика". Кваліфікація - Математик. Москва, 2000 (Складено під керівництвом О. Б. Лупанова)
  13. Номенклатура спеціальностей наукових працівників - затверджена наказом Міністерства освіти та науки Росії від 25.02.2009 № 59
  14. УДК 51 Математика - www.teacode.com/online/udc/51/51.html
  15. Я. С. Бугров, С. М. Нікольський. Елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії. М.: Наука, 1988. С. 44.
  16. Н. І. Кондаков. Логічний словник-довідник. М.: Наука, 1975. С. 259.
  17. Г. І. Рузавін. Про природу математичного знання. М.: 1968.
  18. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm - www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/ grnti/gr27.htm
  19. Наприклад: http://mathworld.wolfram.com - mathworld.wolfram.com

Література

Енциклопедії
Книги
  • Клайн М. Математика. Втрата визначеності - djvu.504.com1.ru: 8019/WWW/673fd31efac2253c4781be62fb9ba2fc.djvu - М .: Світ, 1984.
  • Клайн М. Математика. Пошук істини. М.: Мир, 1988.
  • Клейн Ф. Елементарна математика з точки зору вищої.
Цікава математика
  • Бобров С. П. Чарівний дворога - www.math.ru / lib / book / djvu / dvurog.djvu М.: Дитяча література, 1967. 496 с.
  • Дьюдені Г. Е. Кентерберійські головоломки, 200 знаменитих головоломок миру; п'ятсот двадцять головоломок
  • Керрол Л. Історія з вузликами; Логічна гра
  • Таунсенд Чарлз Баррі. Зіркові головоломки; Найвеселіші головоломки; Найважчі головоломки із старовинних журналів

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
F4 (математика)
E6 (математика)
G2 (математика)
E8 (математика)
Комплекс (математика)
Математика майя
Ротор (математика)
Оптимізація (математика)
Максимум (математика)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru