Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Математика в Стародавньому Єгипті



План:


Введення

Дана стаття - частина огляду Історія математики.

Стаття присвячена стану і розвитку математики в Давньому Єгипті в період приблизно з XXX по III століття до н. е..

Найдавніші давньоєгипетські математичні тексти відносяться до початку II тисячоліття до н. е.. Математика тоді використовувалася в астрономії, мореплаванні, землеміри, при будівництві будівель, гребель, каналів і військових укріплень. Грошових розрахунків, як і самих грошей, у Єгипті не було. Єгиптяни писали на папірусі, який зберігається погано, і тому наші знання про математику Єгипту істотно менше, ніж про математики Вавилона або Греції. Ймовірно, вона була розвинена краще, ніж можна уявити, виходячи з дійшли до нас документів - відомо [1], що грецькі математики вчилися у єгиптян [2].

Нам нічого не відомо про розвиток математичних знань у Єгипті як в давніші, так і в більш пізні часи. Після воцаріння Птолемеїв починається надзвичайно плідний синтез єгипетської і грецької культур.


1. Джерела

Частина папірусу Ахмеса.
Завдання з 49 по 55.

Основні збереглися джерела відносяться до періоду Середнього царства, часу розквіту давньоєгипетської культури:

  • Папірус Ахмеса або папірус Ринда - найбільш об'ємний манускрипт, що містить 84 математичні завдання. Написаний близько 1650 р. до н. е..
  • Московський математичний папірус (25 завдань), близько 1850 р. до н. е.., 544 8 см.
  • Так званий "шкіряний сувій", 25 43 см.
  • Папіруси з Лахуні (Кахуна), що містять ряд фрагментів на математичні теми.
  • Берлінський папірус, близько 1300 року до н. е..
  • Каїрські дерев'яні таблички (таблички Ахміма).
  • Папірус Рейснера, приблизно XIX століття до н. е..

Від Нового царства до нас дійшли кілька фрагментів обчислювального характеру.

Автори всіх цих текстів нам невідомі. Дійшли до нас екземпляри - це в основному копії, переписані в період гіксосів. Носії наукових знань тоді іменувалися писарів і фактично були державними або храмовими чиновниками.

Усі завдання з папірусу Ахмеса (записаний ок. 1650 до н. Е..) Мають прикладний характер і пов'язані з практикою будівництва, розмежуванням земельних наділів і т. п. Завдання згруповані не по методам, а за тематикою. По перевазі це завдання на знаходження площ трикутника, чотирикутників і кола, різноманітні дії з цілими числами і аліквотних дробами, пропорційне ділення, знаходження відносин, зведення в різні ступені, визначення середнього арифметичного, арифметичні прогресії, рішення рівнянь першого та другого ступеня з одним невідомим [3].

Повністю відсутні які б то не було пояснення або докази. Шуканий результат або дається прямо, або наводиться короткий алгоритм його обчислення.

Такий спосіб викладу, типовий для науки країн стародавнього Сходу, наводить на думку про те, що математика там розвивалася шляхом індуктивних узагальнень і геніальних здогадок, що не утворюють жодної загальної теорії. Тим не менш, у папірусі є цілий ряд свідчень того, що математика в Древньому Єгипті тих років мала або, принаймні, починала набувати теоретичний характер. Так, єгипетські математики вміли витягати коріння і зводити до рівня, розв'язувати рівняння, були знайомі з арифметичної та геометричною прогресією і навіть володіли зачатками алгебри : при вирішенні рівнянь спеціальний ієрогліф "купа" позначав невідоме.


2. Нумерація (запис чисел)

Ієрогліфічна запис числа 35736

Давньоєгипетська нумерація, тобто запис чисел, була схожа на римську: спочатку були окремі значки для 1, 10, 100, ... 10 000 000, що поєднувалися аддитивно (складаючись). Єгиптяни писали справа наліво, і молодші розряди числа записувалися першими, так що в кінцевому рахунку порядок цифр відповідав нашому. В ієратичне листі вже є окремі позначення для цифр 1-9 і скорочені значки для різних десятків, сотень і тисяч.

Будь-яке число в Стародавньому Єгипті можна було записати двома способами: словами і цифрами. Наприклад, щоб написати число 30, можна було використовувати звичайні ієрогліфи:

Aa15
D36
D58

або те ж саме написати цифрами (три символи десятки):

V20V20V20
Ієрогліфи для зображення чисел
1 10 100 1000 10,000 100,000 1,000,000
Z1
V20
V1
M12
D50
I8
C11
Плита з гробниці принцеси Неферетіабет (2590-2565 до н. Е.., Гіза). Лувр

Множення єгиптяни проводили за допомогою поєднання подвоєнь та складань. Розподіл полягало в підборі дільника, тобто як дію, зворотне множенню.

Особливі значки позначали дробу виду ~ \ Frac {1} {n} і \ Frac {2} {3} . Однак загального поняття дробу \ Frac {m} {n} у них не було, і всі неканонічні дробу представлялися як сума аліквотних дробів. Типові розкладання були зведені в громіздкі таблиці.

Приклади зображення часто зустрічаються дробів
1 / 2 1 / 3 2 / 3 1 / 4 1 / 5
Aa13
r
Z2
D22
r
Z1Z1Z1Z1
r
Z1Z1Z1Z1Z1

Приклад запису дробів з Папірусу Ринда [4]

Z2
Z1Z1
Aa16r
Z1Z1Z1Z1
Z2
r
10
Z1Z1Z1Z1

5 + 1 / 2 + 1 / 7 + 1 / 14 (= 5 5 / 7 )


3. Арифметика

3.1. Знаки додавання і віднімання

Щоб показати знаки додавання або віднімання використовувався ієрогліф

D54
або
D55

Якщо напрямок ніг у цього ієрогліфа збігалося з напрямком письма, тоді він означав "складання", в інших випадках він означав "віднімання". [5]


3.2. Додавання

Якщо при додаванні виходить число більше десяти, тоді десяток записується підвищує ієрогліфом.

Наприклад: 2343 + 1671

M12M12V1V1
V1
V20V20
V20V20
Z1
Z1
Z1

+

M12V1V1V1
V1V1V1
V20V20V20V20
V20V20V20Z1

Збираємо всі однотипні ієрогліфи разом і отримуємо:

M12M12M12V1V1V1V1V1
V1V1V1V1V20
V20V20V20V20V20
V20V20V20V20V20
Z1Z1
Z1Z1

Перетворимо:

M12M12M12V1V1V1V1V1
V1V1V1V1V1
V20Z1Z1
Z1Z1

Остаточний результат виглядає ось так:

M12M12
M12M12
V20Z1Z1
Z1Z1

3.3. Множення

Древньоєгипетське множення є послідовним методом множення двох чисел. Щоб множити числа, їм не потрібно було знати таблиці множення, а достатньо було тільки вміти розкладати числа на кратні підстави, множити ці кратні числа і складати.

Єгипетський метод передбачає розкладання найменшого з двох множників на кратні числа і подальше їх послідовне переумноженіе на другий множник (див. приклад).

Цей метод можна і сьогодні зустріти в дуже віддалених регіонах.


3.4. Розкладання

Єгиптяни використовували систему розкладання найменшого множника на кратні числа, сума яких становила б вихідне число.

Щоб правильно підібрати кратне число, потрібно було знати наступну таблицю значень:

1 x 2 = 2
2 x 2 = 4
4 x 2 = 8
8 x 2 = 16
16 x 2 = 32

Приклад розкладання числа 25:

  • Кратний множник для числа "25" - це 16.
  • 25 - 16 = 9,
  • Кратний множник для числа "9" - це 8,
  • 9 - 8 = 1,
  • Кратний множник для числа "1" - це 1,
  • 1 - 1 = 0

Таким чином "25" - це сума трьох складових: 16, 8 і 1.

Приклад: помножимо "13" на "238":

1 х 238 = 238
4 х 238 = 952
8 х 238 = 1904


13 х 238 = 3094

Відомо, що 13 = 8 + 4 + 1. Кожне з цих складових потрібно помножити на 238. Отримуємо: 13 238 = (8 + 4 + 1) 238 = 8 x 238 + 4 238 + 1 238 = 3094.

3.5. Рівняння

Ієрогліфічна запис рівняння ~ X \ left (\ frac {2} {3} + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {7} +1 \ right) = 37

Приклад завдання з папірусу Ахмеса:

Знайти число, якщо відомо, що від додавання до нього 2 / 3 його і віднімання від результату його третини виходить 10.

4. Геометрія

У галузі геометрії єгиптяни знали точні формули для площі прямокутника, трикутника, трапеції і сфери, могли вираховувати обсяги паралелепіпеда, циліндра і пірамід. Площа довільного чотирикутника із сторонами a, b, c, d обчислювалася приблизно як ~ S = \ frac {{a + c}} {2} \ cdot \ frac {b + d} {2} ; Ця груба формула дає прийнятну точність, якщо фігура близька до прямокутника.

Єгиптяни припускали, що площа кола S діаметром d дорівнює площі квадрата, сторона якого становить 8 / 9 діаметру: ~ S = \ left (d - \ frac {d} {9} \ right) ^ 2 = \ left (\ frac {8} {9} d \ right) ^ 2.

Це правило відповідає значенню \ Pi = 4 \ cdot \ left (\ frac {8} {9} \ right) ^ 2 (≈ 3,1605, похибка менше 1%) [6].

Ще одна помилка міститься в Акмімском папірусі [7] : автор вважає, що якщо радіус кола A є середнє арифметичне радіусів двох інших кіл B і C, то і площа круга A є середнє арифметичне площ кіл B і C.

Обчислення об'єму усіченої піраміди: нехай ми маємо правильну усічену піраміду із стороною нижньої основи a, b верхнього і висотою h; тоді обсяг обчислювався за оригінальною, але точної формулою: ~ V = (a ^ 2 + ab + b ^ 2) \ cdot \ frac {h} {3}.


4.1. Єгипетський трикутник

Єгипетський трикутник

Єгипетським трикутником називається прямокутний трикутник із співвідношенням сторін 3:4:5.

4.2. Обсяг усіченого конуса

Реконструкція водяного годинника по кресленнях з Оксірінхе

Древній сувій папірусу, знайдений в Оксірінхе, свідчить, що єгиптяни могли обчислювати обсяг усіченого конуса. Ці знання ними використовувалися для спорудження водяного годинника. Так, наприклад, відомо, що при Аменхотепе III були побудовані водяний годинник в Карнаку.


Примітки

  1. Ван дер Варден Б. Л. прокидається наука. Математика стародавнього Єгипту, Вавилона і Греції. Указ. соч р., стор. 125: "Фалес подорожував до Єгипту і привіз геометрію в Елладу" (з коментаря Прокла до Евкліду).
  2. "Відповідно до більшості думок, геометрія була вперше відкрита в Єгипті, і виникла при вимірюванні площ" / / Proclus Diadochus. In primum Euclidis Elementorum commentarii - Leipzig, 1873. - С. 64.
  3. Історія математики під редакцією А. П. Юшкевича в трьох томах, М., Наука, 1970, том 1, стор 21-33.
  4. Gardiner Alan H. Egyptian grammar: being an introduction to the study of hieroglyphs 3rd ed., Rev. London: 1957, p. 197.
  5. Cajori Florian A History of Mathematical Notations - Dover Publications, 1993. - P. pp. 229-230. - ISBN 0486677664.
  6. Історія математики під редакцією А. П. Юшкевича в трьох томах, М., Наука, 1970, том 1, стор.30-32.
  7. Глейзер Г. І. Історія математики в школі - ilib.mccme.ru / djvu / istoria / school.htm - М .: Просвещение, 1964. - С. 279.

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Математика в стародавньому Китаї
Християнство в Єгипті
Брак в Стародавньому Римі
Проституція в Стародавньому Римі
Брак в Стародавньому Римі
Рабство в Давньому Єгипті
Історія євреїв в Єгипті
Революція в Єгипті (2011)
Липнева революція в Єгипті
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru