Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Математична логіка



План:


Введення

Математична логіка (теоретична логіка, символічна логіка) - розділ математики, що вивчає докази і питання підстав математики. "Предмет сучасної математичної логіки різноманітний." [1] Відповідно до визначення П. С. Порецкого, "математична логіка є логіка по предмету, математика за методом". Відповідно до визначення Н. І. Кондакова, "математична логіка - друга, після традиційної логіки, щабель у розвитку формальної логіки, що застосовує математичні методи та спеціальний апарат символів і досліджує мислення за допомогою числень (формалізованих мов). " [2] Це визначення відповідає визначенню С. К. Кліні : математична логіка - це "логіка, що розвивається за допомогою математичних методів". [3] Також А. А. Марков визначає сучасну логіку "точною наукою, яка застосовує математичні методи". [4] Всі ці визначення не суперечать, а доповнюють один одного.

Застосування в логіці математичних методів стає можливим тоді, коли судження формулюються на деякому точному мовою. Такі точні мови мають дві сторони: синтаксис і семантику. Синтаксисом називається сукупність правил побудови об'єктів мови (зазвичай званих формулами). Семантикою називається сукупність угод, що описують наше розуміння формул (або деяких з них) і дозволяють вважати одні формули вірними, а інші - ні.

Важливу роль в математичній логіці мають поняття дедуктивної теорії і обчислення. Обчисленням називається сукупність правил виводу, що дозволяють вважати деякі формули виведеними. Правила виведення поділяються на два класи. Одні з них безпосередньо кваліфікують деякі формули як виведені. Такі правила виведення прийнято називати аксіомами. Інші ж дозволяють вважати виведеними формули A , Синтаксично пов'язані деяким заздалегідь певним способом з кінцевими наборами A_1, \ ldots A_n виведених формул. Широко застосовуваним правилом другого типу є правило modus ponens: якщо виведені формули A і (A \ to B) , То виводиться і формула B .

Ставлення числень до семантики виражається поняттями семантичної придатності та семантичної повноти обчислення. Обчислення І називається семантично придатним для мови Я, якщо будь-яка виведена в І формула мови Я є вірною. Аналогічно, обчислення І називається семантично повним в мові Я, якщо будь-яка вірна формула мови Я виведена в І.

Математична логіка вивчає логічні зв'язки і відносини лежать в основі логічного (дедуктивного) виводу з використанням мови математики .

Багато хто з розглянутих в математичній логіці мов мають семантично повними і семантично придатними исчислениями. Зокрема, відомий результат К. Геделя про те, що так зване класичне числення предикатів є семантично повним і семантично придатним для мови класичної логіки предикатів першого порядку. З іншого боку, є чимало мов, для яких побудова семантично повного і семантично придатного обчислення неможливо. У цій області класичним результатом є теорема Геделя про неповноту, яка стверджує неможливість семантично повного і семантично придатного числення для мови формальної арифметики.

Варто зазначити, що на практиці безліч елементарних логічних операцій є обов'язковою частиною набору інструкцій всіх сучасних мікропроцесорів і відповідно входить до мови програмування. Це є одним з найважливіших практичних додатків методів математичної логіки, що вивчаються в сучасних підручниках інформатики.


1. Розділи математичної логіки

Примітки

  1. С. І. Адян, Математична енциклопедія, М.: "Радянська енциклопедія", т.3, с. 568, 571.
  2. Н. І. Кондаков, Логічний словник-довідник, М.: "Наука", 1975, с. 259.
  3. С. К. Кліні, Математична логіка, М., 1973, с.12.
  4. А. А. Марков, Велика радянська енциклопедія, Вид. 3, Предмет і метод сучасної логіки.

Література

  • Формальна логіка. (Підручник.) Частина друга. Символічна логіка. Відп. редактор: доц. І. Н. Бродський. - Л.: ЛГУ, 1977.
  • Марков А. А.. Елементи математичної логіки. М.: Изд-во МГУ, 1984.
  • Новиков П. С. Елементи математичної логіки. 2-ое вид. М.: Наука, 1973. - 400 с.
  • Столл Р. Р. Множини. Логіка. Аксіоматичні теорії. М.: Просвещение, 1968. - 232 с.
  • Стяжкин Н. І. Формування математичної логіки. М.: Наука, 1967. 508 з.
  • Шенфілд Дж. Математична логіка. М.: Наука, 1975.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Літерал (математична логіка)
Сигнатура (математична логіка)
Математична економіка
Математична хімія
Математична картографія
Математична статистика
Математична структура
Математична структура
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru