Знаймо

Додати знання

приховати рекламу



Цей текст може містити помилки.

Математична модель



План:


Введення

Математична модель - це математичне подання реальності [1].

Математичне моделювання - процес побудови і вивчення математичних моделей.

Усі природні та суспільні науки, що використовують математичний апарат, по суті займаються математичним моделюванням: замінюють реальний об'єкт його математичної моделлю і потім вивчають останню.


1. Визначення

Ніяке визначення не може в повному обсязі охопити реально існуючу діяльність з математичного моделювання. Незважаючи на це, визначення корисні тим, що в них робиться спроба виділити найбільш суттєві риси.

Визначення моделі по А. А. Ляпунову : Моделювання - це опосередковане практичне або теоретичне дослідження об'єкта, при якому безпосередньо вивчається не сам цікавить нас об'єкт, а деяка допоміжна штучна або природна система ( модель):

  1. знаходиться в деякому об'єктивному відповідно до пізнаваним об'єктом;
  2. здатна заміщати його в певних відносинах;
  3. дає при її дослідженні, в кінцевому рахунку, інформацію про сам моделюється об'єкті. [2]

За підручником Совєтова та Яковлєва [3] : "модель (лат. modulus - міра) - це об'єкт-заступник об'єкта-оригіналу, що забезпечує вивчення деяких властивостей оригіналу. "(с. 6)" Заміщення одного об'єкта іншим для одержання інформації про найважливіші властивості об'єкта-оригіналу за допомогою об'єкта-моделі називається моделюванням. "(с. 6)" Під математичним моделюванням будемо розуміти процес встановлення відповідності даному реальному об'єкту деякого математичного об'єкта, званого математичної моделлю, і дослідження цієї моделі, що дозволяє отримувати характеристики аналізованого реального об'єкта. Вид математичної моделі залежить як від природи реального об'єкта, так і завдань дослідження об'єкта і необхідної достовірності і точності вирішення цього завдання. "

За Самарському та Михайлову [4], математична модель - це "" еквівалент "об'єкта, що відображає в математичній формі найважливіші його властивості - закони, яким він підпорядковується, зв'язку, властиві складовим його частинам, і т. д. "Існує в тріадах" модель- алгоритм - програма "." Створивши тріаду "модель-алгоритм-програма", дослідник отримує в руки універсальний, гнучкий і недорогий інструмент, який спочатку налагоджується, тестується в пробних обчислювальних експериментах. Після того, як адекватність (достатня відповідність) тріади вихідному об'єкту встановлена, з моделлю проводяться різноманітні й докладні " досліди ", що дають всі необхідні якісні і кількісні властивості і характеристики об'єкта." (с.7-8)

За монографії Мишкіс [5] : "Перейдемо до загального визначення. Нехай ми збираємося досліджувати деяку сукупність S властивостей реального об'єкту a за допомогою математики (тут термін об'єкт розуміється в найбільш широкому сенсі: об'єктом може служити не тільки те, що зазвичай іменується цим словом, але і будь-яка ситуація, явище, процес і т. д.). Для цього ми вибираємо (як кажуть, будуємо) "математичний об'єкт" a ' - Систему рівнянь, або арифметичних співвідношень, або геометричних фігур, або комбінацію того й іншого і т. д., - дослідження якого засобами математики і повинно відповісти на поставлені питання про властивості S . У цих умовах a ' називається математичною моделлю об'єкта a щодо сукупності S його властивостей. "(с.8)

За Севостьянова А. Г. [6] : "Математичної моделлю називається сукупність математичних співвідношень, рівнянь, нерівностей тощо, що описують основні закономірності, притаманні досліджуваному процесу, об'єкту або системі."

Трохи менш загальне визначення математичної моделі, засноване на ідеалізації "вхід - вихід - стан", запозиченої з теорії автоматів, дає Wiktionary : "Абстрактне математичне подання процесу, пристрою або теоретичної ідеї, воно використовує набір змінних, щоб представляти входи, виходи і внутрішні стани, а також безлічі рівнянь і нерівностей для опису їх взаємодії. " [7]

Нарешті, найбільш лаконічне визначення математичної моделі: " Рівняння, що виражає ідею. " [8]


2. Класифікація моделей

2.1. Формальна класифікація моделей

Формальна класифікація моделей грунтується на класифікації використовуваних математичних засобів. Часто будується у формі дихотомій. Наприклад, один з популярних наборів дихотомій [9] :

і так далі. Кожна побудована модель є лінійною або нелінійною, детермінованою або стохастичною, ... Природно, що можливі і змішані типи: в одному відношенні зосереджені (за частиною параметрів), в іншому - розподілені моделі і т. д.


2.2. Класифікація за способом подання об'єкта

Поряд з формальною класифікацією, моделі розрізняються за способом подання об'єкта:

Структурні моделі представляють об'єкт як систему зі своїм пристроєм і механізмом функціонування. Функціональні моделі не використовують таких подань і відбивають тільки зовні сприймається поведінка (функціонування) об'єкта. У їх граничному вираженні вони називаються також моделями "Чорного ящика" [13] Можливі також комбіновані типи моделей, які іноді називають моделями "сірого ящика".


2.3. Змістовні та формальні моделі

Практично всі автори, що описують процес математичного моделювання, вказують, що спочатку будується особлива ідеальна конструкція, змістовна модель [14]. Усталеної термінології тут немає, і інші автори називають цей ідеальний об'єкт концептуальна модель [15], умоглядна модель [16] або предмодель [17]. При цьому фінальна математична конструкція називається формальною моделлю або просто математичною моделлю, отриманою в результаті формалізації даної змістовної моделі (предмоделі). Побудова змістовної моделі може здійснюватися за допомогою набору готових ідеалізацій, як в механіці, де ідеальні пружини, тверді тіла, ідеальні маятники, пружні середовища і т. п. дають готові структурні елементи для змістовного моделювання. Проте в областях знання, де не існує повністю завершених формалізованих теорій (передній край фізики, біології, економіки, соціології, психології, і більшості інших областей), створення змістовних моделей різко ускладнюється.


2.4. Змістовна класифікація моделей

У роботі Р. Пайерлса ( англ. R. Реiеrls ) [18] дана класифікація математичних моделей, що використовуються в фізики і, ширше, в природничих науках. У книзі А. Н. Горбаня і Р. Г. Хлебопроса [19] ця класифікація проаналізована і розширена. Ця класифікація сфокусована, в першу чергу, на етапі побудови змістовної моделі.


2.4.1. Тип 1: Гіпотеза (таке могло б бути)

Ці моделі "є пробне опис явища, причому автор або вірить в його можливість, або вважає навіть його справжнім". За Р. Пайерлса це, наприклад, модель Сонячної системи по Птолемею і модель Коперника (вдосконалена Кеплером), модель атома Резерфорда і модель Великого Вибуху.

Ніяка гіпотеза в науці не буває доведена раз і назавжди. Дуже чітко це сформулював Річард Фейнман :

"У нас завжди є можливість спростувати теорію, але, зверніть увагу, ми ніколи не можемо довести, що вона правильна. Припустимо, що ви висунули гіпотезу вдалу, розрахували, до чого це веде, і з'ясували, що всі її слідства підтверджуються експериментально. Значить Чи означає це, що ваша теорія правильна? Ні, просто-напросто це означає, що вам не вдалося її спростувати. " [20]

Якщо модель першого типу побудована, то це означає що вона тимчасово визнається за істину і можна сконцентруватися на інших проблемах. Однак це не може бути точкою в дослідженнях, але тільки тимчасової паузою: статус моделі першого типу може бути тільки тимчасовим.


2.4.2. Тип 2: Феноменологічна модель (поводимося так, як якщо б...)

Феноменологічна модель містить механізм для опису явища. Однак цей механізм недостатньо переконливий, не може бути достатньо підтверджений наявними даними або погано узгоджується з наявними теоріями і накопиченим знанням про об'єкт. Тому феноменологічні моделі мають статус тимчасових рішень. Вважається, що відповідь все ще невідомий і необхідно продовжити пошук "істинних механізмів". До другого типу Пайерлс відносить, наприклад, моделі теплорода і кваркової модель елементарних часток.

Роль моделі в дослідженні може змінюватися з часом, може статися так, що нові дані і теорії підтвердять феноменологічні моделі і ті будуть підвищені до статусу гіпотези. Аналогічно, нове знання може поступово прийти в суперечність з моделями-гіпотезами першого типу і ті можуть бути переведені у другій. Так, Кваркова модель поступово переходить в розряд гіпотез; атомізм у фізиці виник як тимчасове рішення, але з ходом історії перейшов у перший тип. А ось моделі ефіру, пройшли шлях від типу 1 до типу 2, а зараз знаходяться поза наукою.

Ідея спрощення дуже популярна при побудові моделей. Але спрощення буває різним. Пайерлс виділяє три типи спрощень в моделюванні.


2.4.3. Тип 3: Наближення (щось вважаємо дуже великим або дуже малим)

Якщо можна побудувати рівняння, що описують досліджувану систему, то це не означає, що їх можна вирішити навіть за допомогою комп'ютера. Загальноприйнятий прийом в цьому випадку - використання наближень (моделей типу 3). Серед них моделі лінійного відгуку. Рівняння замінюються лінійними. Стандартний приклад - закон Ома.

Якщо ми використовуємо модель ідеального газу для опису досить розріджених газів, то це - модель типу 3 (наближення). При більш високій щільності газу теж корисно уявляти собі більш просту ситуацію з ідеальним газом для якісного розуміння і оцінок, але тоді це вже тип 4.


2.4.4. Тип 4: Спрощення (опустимо для ясності деякі деталі)

У моделі типу 4 відкидаються деталі, які можуть помітно і не завжди контрольовано вплинути на результат. Одні і ті ж рівняння можуть слугувати моделлю типу 3 (наближення) або 4 (опустимо для ясності деякі деталі) - це залежить від явища, для вивчення якого використовується модель. Так, якщо моделі лінійного відгуку застосовуються при відсутності більш складних моделей (тобто не проводиться лінеаризація нелінійних рівнянь, а просто шукаються лінійні рівняння, опісиваюшіе об'єкт), то це вже феноменологічні лінійні моделі, і ставляться вони до наступного типу 4 (всі нелінійні деталі " для ясності "опускаємо).

Приклади: застосування моделі ідеального газу до неідеальному, рівняння стану Ван-дер-Ваальса, більшість моделей фізики твердого тіла, рідин і ядерної фізики. Шлях від мікроопісанія до властивостей тіл (або середовищ), що складаються з великого числа частинок, дуже довгий. Доводиться відкидати багато деталей. Це призводить до моделей 4-го типу.


2.4.5. Тип 5: Евристична модель (кількісного підтвердження немає, але модель сприяє глибшому проникненню в суть справи)

Евристична модель зберігає лише якісне подобу реальності і дає передбачення тільки "по порядку величини". Типовий приклад - наближення середньої довжини вільного пробігу в кінетичної теорії. Воно дає прості формули для коефіцієнтів в'язкості, дифузії, теплопровідності, узгоджувалися з реальністю по порядку величини.

Але при побудові нової фізики далеко не відразу виходить модель, яка дає хоча б якісний опис об'єкта - модель п'ятого типу. У цьому випадку часто використовують модель по аналогією, яка відображатиме дійсність хоч в який-небудь межі.


2.4.6. Тип 6: Аналогія (врахуємо тільки деякі особливості)

Р. Пайерлс наводить історію використання аналогій в першій статті В. Гейзенберга про природу ядерних сил. "Це відбулося після відкриття нейтрона, і хоча сам В. Гейзенберг розумів, що можна описувати ядра складаються з нейтронів і протонів, він не міг все ж позбутися думки, що нейтрон повинен у кінцевому рахунку складатися з протона і електрона. При цьому виникала аналогія між взаємодією в системі нейтрон - протон і взаємодією атома водню і протоном. Ця-то аналогія і привела його до висновку, що повинні існувати обмінні сили взаємодії між нейтроном і протоном, які аналогічні обмінним силам в системі H - H + , Обумовленим переходом електрона між двома протонами. ... Пізніше було все-таки доведено існування обмінних сил взаємодії між нейтроном і протоном, хоча ними не вичерпувалося повністю взаємодія між двома частинками ... Але, слідуючи все тієї ж аналогії, В. Гейзенберг прийшов до висновку про відсутність ядерних сил взаємодії між двома протонами і до постулированию відштовхування між двома нейтронами. Обидва останніх виведення знаходяться в суперечності з даними пізніших досліджень ".


2.4.7. Тип 7: Уявний експеримент (головне полягає в спростуванні можливості)

А. Ейнштейн був одним з великих майстрів уявного експерименту. Ось один з його експериментів. Він був придуманий в юності і, врешті-решт, привів до побудови спеціальної теорії відносності. Припустимо, що в класичній фізиці ми рухаємося за пучком зі швидкістю світла. Ми будемо спостерігати періодично змінюється в просторі і постійне у часі електромагнітне поле. Згідно рівнянь Максвелла, цього бути не може. Звідси юний Ейнштейн уклав: або закони природи змінюються при зміні системи відліку, або швидкість світла не залежить від системи відліку. Він обрав другий - більш красивий варіант. Інший знаменитий уявний експеримент Ейнштейна - Парадокс Ейнштейна - Подільського - Розена.

А ось і тип 8, широко поширений в математичних моделях біологічних систем.


2.4.8. Тип 8: Демонстрація можливості (головне - показати внутрішню несуперечливість можливості)

Це теж уявні експерименти з уявними сутностями, що демонструють, що передбачуване явище узгоджується з базовими принципами і внутрішньо несуперечливо. У цьому основна відмінність від моделей типу 7, які розкривають приховані протиріччя.

Один з найзнаменитіших таких експериментів - геометрія Лобачевського ( Лобачевський називав її "уявною геометрією"). Інший приклад - масове виробництво формально - кінетичних моделей хімічних і біологічних коливань, автоволн та ін Парадокс Ейнштейна - Подільського - Розена був задуманий як модель 7 типу, для демонстрації суперечливості квантової механіки. Цілком незапланованим чином він з часом перетворився на модель 8 типу - демонстрацію можливості квантової телепортації інформації.

В основі змістовної класифікації - етапи, які передують математичного аналізу і обчислень. Вісім типів моделей по Р. Пайерлса суть вісім типів дослідницьких позицій при моделюванні.


3. Приклад

Розглянемо механічну систему, що складається з пружини, закріпленої з одного кінця, і вантажу масою m , Прикріпленого до вільного кінця пружини. Будемо вважати, що вантаж може рухатися тільки в напрямку осі пружини (наприклад, рух відбувається уздовж стрижня). Побудуємо математичну модель цієї системи. Будемо описувати стан системи відстанню x від центру вантажу до його положення рівноваги. Опишемо взаємодію пружини і вантажу за допомогою закону Гука ( F = - k x ) Після чого скористаємося другим законом Ньютона, щоб виразити його у формі диференціального рівняння :

m \ ddot x =- kx,

де \ Ddot x означає другу похідну від x за часом: \ Ddot x = \ frac {d ^ 2 x} {dt ^ 2} .

Отримане рівняння описує математичну модель розглянутої фізичної системи. Ця модель називається "гармонійним осцилятором ".

За формальної класифікації ця модель лінійна, детерміністкая, динамічна, зосереджена, безперервна. В процесі її побудови ми зробили безліч припущень (про відсутність зовнішніх сил, відсутності тертя, малості відхилень і т. д.), які в реальності можуть не виконуватися.

По відношенню до реальності це, частіше за все, модель типу 4 спрощення ("опустимо для ясності деякі деталі"), оскільки опущені деякі істотні універсальні особливості (наприклад, диссипация). У деякому наближенні (скажімо, поки відхилення вантажу від рівноваги невелика, при малому терті, протягом не занадто великого часу і при дотриманні деяких інших умов), така модель досить добре описує реальну механічну систему, оскільки відкинуті фактори роблять пренебрежимо малий вплив на її поведінку . Однак модель можна уточнити, взявши до уваги якісь з цих факторів. Це призведе до нової моделі, з більш широкою (хоча й знову обмеженою) областю застосовності.

Втім, при уточненні моделі складність її математичного дослідження може істотно зрости і зробити модель фактично марною. Найчастіше більш проста модель дозволяє краще і глибше досліджувати реальну систему, що більш складна (і, формально, "більш правильна").

Якщо застосовувати модель гармонійного осцилятора до об'єктів, далеких від фізики, її змістовний статус може бути іншим. Наприклад, при додатку цієї моделі до біологічних популяцій, її слід віднести, швидше за все, до типу 6 аналогія ("врахуємо тільки деякі особливості").


4. Жорсткі і м'які моделі

Гармонійний осцилятор - приклад так званої "твердої" моделі. Вона отримана в результаті сильної ідеалізації реальної фізичної системи. Для вирішення питання про її застосування необхідно зрозуміти, наскільки істотними є чинники, якими ми знехтували. Іншими словами, потрібно досліджувати "м'яку" модель, що виходить малим обуренням "жорсткою". Вона може здаватися, наприклад, наступним рівнянням:

m \ ddot x =- kx + \ varepsilon f (x, \ dot x),

Тут f (x, \ dot x) - Деяка функція, в якій може враховуватися сила тертя або залежність коефіцієнта жорсткості пружини від ступеня її розтягування, ε - Деякий малий параметр. Явний вигляд функції f нас в даний момент не цікавить. Якщо ми доведемо, що поведінка м'якої моделі принципово не відрізняється від поведінки жорсткою (незалежно від явного виду збурюючих факторів, якщо вони досить малі), завдання зведеться до дослідження жорсткої моделі. В іншому випадку застосування результатів, отриманих при вивченні жорсткої моделі, зажадає додаткових досліджень. Наприклад, рішенням рівняння гармонійного осцилятора є функції виду x (t) = A \ sin \ sqrt {k} t + B \ cos \ sqrt {k} t , Тобто коливання з постійною амплітудою. Чи випливає з цього, що реальний осцилятор буде нескінченно довго коливатися з постійною амплітудою? Ні, оскільки розглядаючи систему з як завгодно малим тертям (завжди присутнім в реальній системі), ми отримаємо затухаючі коливання. Поведінка системи якісно змінилося.

Якщо система зберігає своє якісне поведінка при малому обуренні, кажуть, що вона структурно стійка. Гармонійний осцилятор - приклад структурно-нестійкої (негрубой) системи. [21] Тим не менш, цю модель можна застосовувати для вивчення процесів на обмежених проміжках часу.


5. Універсальність моделей

Найважливіші математичні моделі звичайно мають важливу властивість універсальності: принципово різні реальні явища можуть описуватися однієї і тієї ж математичною моделлю. Скажімо, гармонійний осцилятор описує не тільки поводження вантажу на пружині, а й інші коливальні процеси, часто мають зовсім іншу природу: малі коливання маятника, коливання рівня рідини в U -Образному посудині або зміну сили струму в коливальному контурі. Таким чином, вивчаючи одну математичну модель, ми вивчаємо відразу цілий клас описуваних нею явищ. Саме цей ізоморфізм законів, які висловлюються математичними моделями в різних сегментах наукового знання, подвиг Людвіга фон Берталанфі на створення " Загальної теорії систем ".


6. Пряма і зворотна задачі математичного моделювання

Існує безліч завдань, пов'язаних з математичним моделюванням. По-перше, треба придумати основну схему модельованого об'єкта, відтворити його в рамках ідеалізацій даної науки. Так, вагон поїзда перетворюється в систему пластин і більше складних тіл з різних матеріалів, кожен матеріал задається як його стандартна механічна ідеалізація (щільність, модулі пружності, стандартні характеристики), після чого складаються рівняння, по дорозі якісь деталі відкидаються, як несуттєві, здійснюються розрахунки, порівнюються з вимірюваннями, модель уточнюється, і так далі. Проте для розробки технологій математичного моделювання корисно розібрати цей процес на основні складові елементи.

Традиційно виділяють два основні класи задач, пов'язаних з математичними моделями: прямі й зворотні.

Пряма задача: структура моделі і всі її параметри вважаються відомими, головне завдання - провести дослідження моделі для витягання корисного знання про об'єкт. Яку статичне навантаження витримає міст? Як він буде реагувати на динамічне навантаження (наприклад, на марш роти солдатів, або на проходження поїзда на різній швидкості), як літак подолає звуковий бар'єр, не розвалиться він від флаттера, - ось типові приклади прямого завдання. Постановка правильної прямої задачі (завдання правильного питання) вимагає спеціального майстерності. Якщо не задані правильні питання, то міст може обрушитися, навіть якщо була побудована гарна модель для його поведінки. Так, в 1879 р. у Великобританії обрушився металевий міст через річку Тей, конструктори якого побудували модель моста, розрахували його на 20-кратний запас міцності на дію корисного навантаження, але забули про постійно дмуть у тих місцях вітрах. І через півтора року він впав. [22]

У простому випадку (одне рівняння осцилятора, наприклад) пряме завдання дуже проста і зводиться до явного вирішення цього рівняння.

Зворотній завдання: відомо безліч можливих моделей, треба вибрати конкретну модель на підставі додаткових даних про об'єкт. Найчастіше, структура моделі відома, і необхідно визначити деякі невідомі параметри. Додаткова інформація може полягати в додаткових емпіричних даних, або у вимогах до об'єкта (задача проектування). Додаткові дані можуть надходити незалежно від процесу розв'язання оберненої задачі (пасивне спостереження) або бути результатом спеціально планованого в ході вирішення експерименту (активне спостереження).

Одним з перших прикладів віртуозного розв'язання оберненої задачі з максимально повним використанням доступних даних був побудований І. Ньютоном метод відновлення сил тертя за спостережуваними затухаючим коливань.

Як інший приклад можна привести математичну статистику. Завдання цієї науки - розробка методів реєстрації, опису й аналізу даних спостережень і експериментів з метою побудови ймовірнісних моделей масових випадкових явищ [23]. Тобто безліч можливих моделей обмежено імовірнісними моделями. У конкретних задачах безліч моделей обмежено сильніше.


7. Комп'ютерні системи моделювання

Для підтримки математичного моделювання розроблені системи комп'ютерної математики, наприклад, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim та ін [24] Вони дозволяють створювати формальні й блокові моделі як простих, так і складних процесів і пристроїв і легко міняти параметри моделей у ході моделювання. Блокові моделі представлені блоками (найчастіше графічними), набір і з'єднання яких задаються діаграмою моделі.


8. Додаткові приклади

8.1. Модель Мальтуса

Швидкість росту пропорційна поточним розміром популяції. Вона описується диференціальним рівнянням

\ Dot x = \ alpha x,

де α - Деякий параметр, який визначається різницею між народжуваністю і смертністю. Рішенням цього рівняння є експоненціальна функція x (t) = x 0 e α t . Якщо народжуваність перевищує смертність ( α> 0 ), Розмір популяції необмежено і дуже швидко зростає. Зрозуміло, що насправді цього не може відбуватися через обмеженість ресурсів. При досягненні деякого критичного обсягу популяції модель перестає бути адекватною, оскільки не враховує обмеженість ресурсів. Уточненням моделі Мальтуса може служити логістична модель, яка описується диференціальним рівнянням Ферхюльста

\ Dot x = \ alpha \ left (1 - \ frac {x} {x_ {s}} \ right) x,

де x s - "Рівноважний" розмір популяції, при якому народжуваність в точності компенсується смертністю. Розмір популяції в такій моделі прагне до рівноважного значення x s , Причому така поведінка структурно стійко.


8.2. Система хижак-жертва

Припустимо, що на деякій території мешкають два види тварин : кролики (харчуються рослинами) і лисиці (харчуються кроликами). Нехай число кроликів x , Число лисиць y . Використовуючи модель Мальтуса з необхідними поправками, що враховують поїдання кроликів лисицями, приходимо до наступної системі, що носить ім'я моделі Лотки - Вольтерра :

\ Begin {cases} \ dot x = (\ alpha-cy) x; \ \ \ dot y = (- \ beta + dx) y. \ End {cases}

Ця система має рівноважний стан, коли число кроликів і лис постійно. Відхилення від цього стану призводить до коливань чисельності кроликів і лисиць, аналогічним коливанням гармонійного осцилятора. Як і у випадку гармонійного осцилятора, це поведінка не є структурно стійким : мале зміна моделі (наприклад, що враховує обмеженість ресурсів, необхідних кроликам) може призвести до якісної зміни поведінки. Наприклад, рівноважний стан може стати стійким, і коливання чисельності будуть затухати. Можлива і протилежна ситуація, коли будь-яке мале відхилення від положення рівноваги призведе до катастрофічних наслідків, аж до повного вимирання одного з видів. На питання про те, який з цих сценаріїв реалізується, модель Вольтерра - Лотки відповіді не дає: тут потрібні додаткові дослідження.


Примітки

  1. "A mathematical representation of reality" (Encyclopaedia Britanica)
  2. Новік І. Б., Про філософських питаннях кібернетичного моделювання. М., Знання, 1964.
  3. Рад Б. Я., Яковлєв С. А., Моделювання систем: Учеб. для вузів - lib.sibnet.ru/book/9596 - 3-е изд., перераб. і доп. - М.: Вища. шк., 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
  4. Самарський А. А., Михайлов А. П. Математичне моделювання. Ідеї. Методи. Приклади. - lib.sibnet.ru/book/9595 - 2-е изд., испр .. - М .: Физматлит, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
  5. Мишкіс А. Д., Елементи теорії математичних моделей. - lib.sibnet.ru/book/9594 - 3-е изд., испр. - М.: КомКніга, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
  6. Севостьянов, А.Г. Моделювання технологічних процесів: підручник / О.Г. Севостьянов, П.А. Севостьянов. - М.: Легка та харчова промисловість, 1984. - 344 с.
  7. Wiktionary: mathematical model - en.wiktionary.org / wiki / mathematical_model
  8. CliffsNotes.com. Earth Science Glossary. 20 Sep 2010 - www.cliffsnotes.com/Section/id-305499, articleId-57021.html
  9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII +562 pp. ISBN 3-540-35885-4
  10. "Теорія вважається лінійної або нелінійної залежно від того, який - лінійний або нелінійний - математичний апарат, які - лінійні або нелінійні - математичні моделі вона використовує. ... Ез заперечення останньої. Сучасний фізик, доведіть йому заново створювати визначення такої важливої ​​сутності, як нелінійність , швидше за все, вчинив би інакше, і, віддавши перевагу нелінійності як більш важливою і поширеною з двох протилежностей, визначив би лінійність як "не нелінійність". "Данилов Ю. А., Лекції з нелінійної динаміки. Елементарне введення. Серія "Синергетика: від минулого до майбутнього". Ізд.2. - M.: URSS, 2006. - 208 с. ISBN 5-484-00183-8
  11. "Динамічні системи, модельований кінцевим числом звичайних диференціальних рівнянь, називають зосередженими або точковими системами. Вони описуються за допомогою конечномерного фазового простору і характеризуються кінцевим числом ступенів свободи. Одна і та ж система в різних умовах може розглядатися або як зосереджена, або як розподілена. Математичні моделі розподілених систем - це диференціальні рівняння в приватних похідних, інтегральні рівняння або звичайні рівняння з запізнілим аргументом. Число ступенів свободи розподіленої системи нескінченно, і потрібно нескінченне число даних для визначення її стану. "Аніщенко В. С., Динамічні системи, Соросівський освітній журнал , 1997, № 11, с. 77-84.
  12. 1 2 3 "Залежно від характеру досліджуваних процесів у системі S всі види моделювання можуть бути розділені на детерміновані та стохастичні, статичні та динамічні, дискретні, безперервні і дискретно-безперервні. Детерминированное моделювання відображає детерміновані процеси, тобто процеси, в ​​яких передбачається відсутність всяких випадкових впливів; стохастичне моделювання відображає імовірнісні процеси та події. ... Статичне моделювання служить для опису поведінки об'єкта в будь-який момент часу, а динамічне моделювання відображає поведінку об'єкта в часі. Дискретне моделювання служить для опису процесів, які передбачаються дискретними, відповідно безперервне моделювання дозволяє відобразити безперервні процеси в системах, а дискретно-безперервне моделювання використовується для випадків, коли хочуть виділити наявність як дискретних, так і безперервних процесів. "Рад Б. Я., Яковлєв С. А., Моделювання систем: Учеб. для вузів - 3-е изд., перераб. і доп. - М.: Вища. шк., 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
  13. Зазвичай в математичній моделі відбивається структура (пристрій) модельованого об'єкта, суттєві для цілей дослідження властивості та взаємозв'язки компонентів цього об'єкта; така модель називається структурною. Якщо ж модель відображає тільки те, як об'єкт функціонує - наприклад, як він реагує на зовнішні впливи, - то вона називається функціональної або, образно, чорним ящиком. Можливі й моделі комбінованого типу. Мишкіс А. Д., Елементи теорії математичних моделей. - 3-е изд., Испр. - М.: КомКніга, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
  14. "Очевидний, але найважливіший початковий етап побудови або вибору математичної моделі - це отримання по можливості більш чіткого уявлення про моделюється об'єкті і уточнення його змістовної моделі, засноване на неформальних обговореннях. Не можна шкодувати часу і зусиль на цей етап, від нього значною мірою залежить успіх всього дослідження. Не раз бувало, що значна праця, витрачена на вирішення математичної задачі, опинявся малоефективним або навіть змарнованим через недостатню увагу до цієї сторони справи. "Мишкіс А. Д., Елементи теорії математичних моделей. - 3-е изд., Испр. - М.: КомКніга, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4, с. 35.
  15. "Опис концептуальної моделі системи. На цьому підетапи побудови моделі системи: а) описується концептуальна модель М в абстрактних термінах і поняттях, б) дається опис моделі з використанням типових математичних схем; в) приймаються остаточно гіпотези і припущення; г) обгрунтовується вибір процедури апроксимації реальних процесів при побудові моделі. "Рад Б. Я., Яковлєв С. А., Моделювання систем: Учеб. для вузів - 3-е изд., перераб. і доп. - М.: Вища. шк., 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2, с. 93.
  16. Блехман І. І., Мишкіс А. Д., Пановко Н. Г., Прикладна математика: Предмет, логіка, особливості підходів. З прикладами з механіки: Навчальний посібник. - 3-е изд., Испр. і доп. - М.: УРСС, 2006. - 376 с. ISBN 5-484-00163-3, Глава 2.
  17. "Конструювання моделі починається зі словесно-смислового опису об'єкта чи явища. ... Даний етап можна назвати формулюванням предмоделі." Самарський А. А., Михайлов А. П., Математичне моделювання. Ідеї. Методи. Приклади, - М.: Физматлит, 2001, 320 C. ISBN 5-9221-0120-X. c. 25.
  18. Реiеrls R. Model-Making in Physics. - Contemp. Phys., January / February 1980, v. 21, pp. 3-17; Переклад: Пайерлс Р., Побудова фізичних моделей, УФН, 1983, № 6.
  19. Горбань О. М., Хлебопрос Р. Г., Демон Дарвіна: Ідея оптимальності і природний відбір - ddarwin.narod.ru. - М: Наука. Гол ред. фіз.-мат. лит., 1988. - 208 с. - (Проблеми науки і технічного прогресу) - ISBN 5-02-013901-7 (Глава " Виготовлення моделей - ddarwin.narod.ru/node5.html ")
  20. Фейнман P., Характер фізичних законів. Бібліотечка "Квант", Випуск 62. - М.: Наука, Вид. друге, виправлене, 1987; Лекція 7. У пошуках нових законів. - vivovoco.rsl.ru/VV/Q_PROJECT/FEYNMAN/LECTURE7.HTM
  21. Арнольд В. І. Жорсткі і м'які математичні моделі - www.mccme.ru/edu/index.php?ikey=viarn-models - М .: МЦНМО, 2004. - ISBN 5-94057-134-4.
  22. Наука-будівництва - claw.ru/a-tehno/kinder/0710.htm, Технічна енциклопедія
  23. Імовірнісні розділи математики / Под ред. Ю. Д. Максимова - Спб.: "Іван Федоров", 2001. - С. 400. - 592 с. - ISBN 5-81940-050-X.
  24. Дьяконов В. П. Matlab R2006/2007/2008. Simulink 5/6/7. Основи застосування. Серія: Бібліотека професіонала. - М.: Солон-Прес, 2008. - 800 с. - ISBN 978-5-91359-042-8

Література

  1. Безручко Б. П., Смирнов Д. А. Математичне моделювання та хаотичні часові ряди - nonlinmod.sgu.ru / books.htm - Саратов: ГосУНЦ "Коледж", 2005. - ISBN 5-94409-045-6.
  2. Блехман І. І., Мишкіс А. Д., Пановко Н. Г. Прикладна математика: Предмет, логіка, особливості підходів. З прикладами з механіки: Навчальний посібник. - lib.sibnet.ru/book/9592 - 3-е изд., испр. і доп. - М.: УРСС, 2006. - 376 с. - ISBN 5-484-00163-3
  3. Введення в математичне моделювання. Навчальний посібник. Під ред. П. В. Трусова - М .: Логос, 2004. - ISBN 5-94010-272-7.
  4. Горбань О. М. - www.famous-scientists.ru/10525/, Хлебопрос Р. Г. Демон Дарвіна: Ідея оптимальності і природний відбір - ddarwin.narod.ru. - М: Наука. Гол. ред. фіз.-мат. лит., 1988. - 208 с. (Проблеми науки і технічного прогресу). - ISBN 5-02-013901-7. - (Глава " Виготовлення моделей - ddarwin.narod.ru/node5.html ").
  5. Журнал Математичне моделювання - www.imamod.ru/journal/ (заснований в 1989 році)
  6. Малков С. Ю., 2004. Математичне моделювання історичної динаміки: підходи і моделі - lib.sibnet.ru/book/4867 / / Моделювання соціально-політичної та економічної динаміки / Ред. М. Г. Дмитрієв. - М.: РГСУ. - С. 76-188.
  7. Мишкіс А. Д. Елементи теорії математичних моделей. - lib.sibnet.ru/book/9594 - 3-е изд., испр. - М.: КомКніга, 2007. - 192 с. - ISBN 978-5-484-00953-4
  8. Самарський А. А., Михайлов А. П. Математичне моделювання. Ідеї. Методи. Приклади. - lib.sibnet.ru/book/9595 - 2-е изд., испр .. - М .: Физматлит, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
  9. Рад Б. Я., Яковлєв С. А. Моделювання систем: Учеб. для вузів - lib.sibnet.ru/book/9596 - 3-е изд., перераб. і доп. - М.: Вища. шк., 2001. - 343 с. - ISBN 5-06-003860-2
  10. Дьяконов В. П. Matlab R2006/2007/2008. Simulink 5/6/7. Основи застосування. Серія: Бібліотека професіонала. - М.: Солон-Прес, 2008. - 800 с. - ISBN 978-5-91359-042-8
  11. Цимбал Б. П. Математичне моделювання складних систем в металургії - www.matematicheskoe-modelirovanie.ru - Кемерово-Москва: "Російські університети" Кузбассвузіздат - АСТШ, 2006. - ISBN 5-202-00925-9.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Математична фізика
Математична олімпіада
Математична біологія
Математична картографія
Математична структура
Математична генеалогія
Математична енциклопедія
Математична логіка
Математична константа
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru