Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Математична структура



План:


Введення

Математична структура - назва, що об'єднує поняття, спільною рисою яких є їх придатність до множинам, природа яких не визначена. Для визначення самої структури задають відносини, в яких знаходяться елементи цих множин. Потім постулюють, що дані відносини задовольняють певним умовам, що є аксіомами розглянутої структури. Побудувати аксіоматичну теорію даної структури - це означає вивести логічні наслідки з аксіом структури, відмовившись від будь-яких інших припущень щодо самих аналізованих елементів, і, зокрема, від всяких гіпотез щодо їх "природи".


1. Основні типи структур

Відносини, які є вихідною точкою у визначенні структури, можуть бути досить різноманітними.

Найважливішим типом структур є алгебраїчні структури. Наприклад, ставлення, зване "законом композиції", тобто відношення між трьома елементами, яке визначає однозначно третій елемент як функцію двох перших. Коли відносини у визначенні структури є "законами композиції", відповідна математична структура називається структурою алгебри. Наприклад, структури лупи, групи, поля визначається двома законами композиції з належним чином обраними аксіомами. Так додавання і множення на безлічі дійсних чисел визначають поле на безлічі цих чисел.

Другий важливий тип представляють структури, визначені відношенням порядку, тобто структури порядку. Це відношення між двома елементами x, \; y , Яке частіше за все ми висловлюємо словами " x менше або дорівнює y "І яке в загальному випадку позначається як x R y . У цьому випадку не передбачається, що це відношення однозначно визначає один з елементів x, \; y як функцію іншого. В теорії множин часто замість терміна "структура порядку" використовується термін " решітка ".

Третім типом структур є топологічні структури (або топології). У них знаходять абстрактну математичну формулювання інтуїтивні поняття околиці, межі і безперервності.


2. Ієрархія структур математики

Група математиків, об'єднана під ім'ям Ніколя Бурбаки, представили математику як ієрархію структур, що йдуть від простого до складного, від загального до приватного. Ієрархія по Бурбаки, описана в статті "Архітектура математики" (1948), представляється трирівневої:

  1. Основні (породжують) математичні структури. У центрі знаходяться основні типи структур. Найголовнішими, так би мовити, породжують структури ( фр. les structures-meres ) З них є
    У кожному з цих типів структур присутня достатня різноманітність. При цьому слід розрізняти найбільш загальну структуру розглянутого типу з найменшим числом аксіом і структури, які виходять з неї в результаті її збагачення додатковими аксіомами, кожна з яких тягне за собою і нові наслідки.
  2. Складні математичні структури. У складні ( фр. multiples ) Структури входять одночасно одна або кілька породжують структур, але не просто комбінований один з одним, а органічно скомбіновані за допомогою зв'язують їх аксіом. Наприклад, топологічна алгебра вивчає структури, що визначаються законами композицій і топологічної структурою, які пов'язані тією умовою, що алгебраїчні операції є безперервними (у розглянутій топології) функціями елементів. Іншим прикладом є алгебраїчна топологія, яка розглядає деякі безлічі точок простору, визначені топологічними властивостями, як елементи, з яких виробляються алгебраїчні операції.
  3. Приватні математичні структури. У приватних структурах елементи розглянутих множин, які до цього в загальних структурах були абсолютно невизначеними, отримують певну індивідуальність. Саме таким чином отримують такі теорії класичної математики, як математичний аналіз функцій дійсної та комплексної змінної, диференціальну геометрію, алгебраїчну геометрію.

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Структура
Математична олімпіада
Математична біологія
Математична логіка
Математична фізика
Математична генеалогія
Математична енциклопедія
Математична картографія
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru