Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Математична формула


RR5115-0023R.gif

План:


Введення

Ця стаття про позначеннях елементарної математики; Для більш загального контексту см.: Математичні позначення.

Математична формула (від лат. formula - Зменшувальне від forma - образ, вид) - прийнята в математиці (а також фізики та прикладних науках) символічна запис закінченого логічного судження (визначення величини, рівняння, нерівності або тотожності).

У більш широкому сенсі формула - всяка чисто символьна запис (див. нижче), протиставляється в математиці різним виразним способам, які мають геометричну конотацію: кресленнями, графіками, діаграм, графам і т.п.

RR5115-0023R.gif

1. Основні види (чисельних) формул

Як правило, у формулу входять змінні (одна або більше), причому сама формула являє собою не просто вираз, а якесь судження. Таке судження може стверджувати щось про змінні, а може - про застосовувані операціях. Точний зміст формули часто мається на увазі з контексту і його неможливо зрозуміти безпосередньо з її виду. Можна виділити три поширених випадку:

  • Формула повинна повідомити, як шукати значення змінної (рівняння і т.п.);
  • Формула (записувана як "шукане = вираз") визначає величину через свої параметри (аналогічно присвоюванню в програмуванні і іноді записується через диграф ": =" як у мові Pascal, але в принципі може вважатися виродженим окремим випадком рівняння);
  • Формула є власне логічним твердженням: тотожністю (наприклад, аксіомою), твердженням теореми і т.п.

1.1. Рівняння

Рівняння - формула, зовнішня (верхня) зв'язка якого представляє собою бінарне відношення рівності. Проте, важлива особливість рівняння полягає також у тому, що вхідні в нього символи діляться на змінні і параметри (присутність останніх, втім, необов'язково). Наприклад, x 2 = 1 є рівнянням, де x - змінна. Значення змінної, при яких рівність істинно, називаються корінням рівняння : в даному випадку такими є два числа 1 і -1. Як правило, якщо рівняння на одну змінну не є тотожністю (див. нижче), то корені рівняння є дискретне, найчастіше кінцеве (можливо і пусте) безліч.

Якщо в рівняння входять параметри, то його зміст - для заданих параметрів знайти коріння (тобто значення змінної, при якому рівність вірно). Іноді це можна сформулювати як знаходження неявній залежності змінної від параметра (параметрів). Наприклад x 2 = a розуміється як рівняння на x (це звичайна буква для позначення змінної, поряд з y, z і t). Корінням рівняння є квадратний корінь з a (вважається, що їх є два, різних знаків). Слід зазначити, що подібна формула, сама по собі, задає лише бінарне відношення між x і a і її можна розуміти у зворотний бік, як рівняння на a щодо x. У даному елементарному випадку, мова може йти скоріше про визначення a через x: a = x 2 .


1.2. Тотожності

Тотожність - судження, вірне при будь-яких значеннях змінних. Зазвичай, під тотожністю увазі тотожне вірне рівність, хоча зовні тотожності може стояти і нерівність або якесь інше ставлення. У багатьох випадках тотожність можна розуміти як певне властивість використовуваних в ньому операцій, наприклад тотожність a + b = b + a стверджує комутативність складання.

За допомогою математичної формули досить складні пропозиції можуть бути записані в компактній і зручній формі. Формули, що стають справжніми при будь-якому заміщенні змінних конкретними об'єктами з деякої області, називаються тотожно-істинними в даній області. Наприклад: "для будь-яких a і b має місце рівність (A + b) ^ 2 = a ^ 2 +2 ab + b ^ 2 \, ". Дане тотожність можна вивести з аксіом додавання і множення в комутативної кільці, які самі по собі також мають вигляд тотожностей.

Тотожність може і не включати в себе змінні і бути арифметичним (або якихось ще) рівністю, як наприклад 6 ^ 3 = 3 ^ 3 + 4 ^ 3 + 5 ^ 3 \, .


1.3. Наближені рівності

x \,sin (x) \, - Наближене рівність при малих x \, ;

1.4. Нерівності

Формула-нерівність може розумітися в обох описаних на початку розділу сенсах: як тотожність (наприклад, нерівність Коші - Буняковського) або ж, подібно рівнянню, як завдання на відшукання безлічі (а точніше, підмножини області визначення), якому може належати змінна, або змінні.

2. Використовувані операції

У даному розділі будуть перераховані операції, які використовуються в алгебри, а також деякі загальновживані функції з математичного аналізу.

2.1. Додавання і віднімання

Використовуються знаки " + "і" - "(останній на листі досить слабо відрізнити від дефіса). Унарний мінус може бути використаний лише при першому (лівому) доданку, оскільки в іншому випадку виникали б неохайні і надлишкові конструкції "a + (- b)" і "a - (-b)", нічим не відрізняються за змістом від більш простих " a - b) "і" a + b "відповідно.

Унаслідок асоціативності складання, розстановка дужок для завдання порядку виконання складання не має математичного сенсу. В алгебрі складовими називають аргументи як складання, так і віднімання. Порядок виконання віднімання, при відсутності дужок, такий, що віднімаються виявляється лише член, виписаний безпосередньо праворуч від знака віднімання, а не результат виконання операцій будь-яких додавання і віднімання, записаних правіше. Таким чином зі знаком мінус входять в суму лише ті "складові", безпосередньо ліворуч від яких знак "-" є.


2.2. Множення

Знак множення найчастіше опускається. Це не викликає двозначності, оскільки змінні позначаються зазвичай поодинокими буквами, а виписувати множення записаних цифрами констант один на одного безглуздо. У рідкісних випадках, коли двозначності не уникнути, множення позначається центрованим по вертикалі символом точки "". Символ "" застосовується лише у шкільній арифметиці, в технічних текстах (в особливому контексті), а також деякі системи вставляють його на місці знаку множення при перенесення формули на інший рядок (зазвичай однак, перенесення по знаку множення уникається).


2.3. Розподіл

Розподіл у формулах записується за допомогою дробової риси. У шкільній арифметиці застосовується також "" ( обелюс).

2.4. Піднесення до степеня

Planned section.svg
Цей розділ статті ще не написаний.
Згідно з задумом одного з учасників Вікіпедії, на цьому місці повинен розташовуватися спеціальний розділ.
Ви можете допомогти проекту, написавши цей розділ.

2.5. Елементарні функції

Planned section.svg
Цей розділ статті ще не написаний.
Згідно з задумом одного з учасників Вікіпедії, на цьому місці повинен розташовуватися спеціальний розділ.
Ви можете допомогти проекту, написавши цей розділ.

2.6. Абсолютна величина, знак і т.п.

Planned section.svg
Цей розділ статті ще не написаний.
Згідно з задумом одного з учасників Вікіпедії, на цьому місці повинен розташовуватися спеціальний розділ.
Ви можете допомогти проекту, написавши цей розділ.

2.7. Пріоритет операцій та дужки

Planned section.svg
Цей розділ статті ще не написаний.
Згідно з задумом одного з учасників Вікіпедії, на цьому місці повинен розташовуватися спеціальний розділ.
Ви можете допомогти проекту, написавши цей розділ.

3. Інші різновиди "формул"

У багатьох розділах математики використовується схожа алгебро-подібний запис, хоча її зміст нерідко сильно відрізняється.

У булевой алгебри - см. булева формула.

У теорії множин - см. операції над множинами.

Заготівля розділу
Цей розділ не завершений.
Ви допоможете проекту, виправивши і доповнивши його.

4. Приклади

Наприклад:

y = \ ln (x) + \ sin (x) \, - Функція одного дійсного аргументу або однозначна функція;

z = \ frac {y ^ 3} {y ^ 2 + x ^ 2} - Функція декількох аргументів чи багатозначна функція (графік однією з найбільш чудових кривих - верзьера Аньєзі);

y = 1 - | 1 - x | \, - Не диференціюється функція в точці x = 1 \, (Безперервна ламана лінія не має дотичній);

x ^ 3 + y ^ 3 = 3axy \, - Рівняння, тобто неявна функція (графік кривої " Декартом лист ");

t_n = n! \, - целочисленная функція;

y = y ^ 3 \ sin (nx) \, - парна функція;

y = tg (x) \, - непарна функція;

f (P) = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} - Функція точки, відстань від точки до початку (декартових) координат;

y = \ frac {1} {x - 3} \, - Розривна функція в точці x = 3 \, ;

x = a [t-sin (t)] \,; \, \, \, y = a [1-cos (t)] - Параметрично задана функція (графік циклоїди);

y = l n (x) , x = e y - Пряма і зворотна функції;


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Математична фізика
Математична константа
Математична енциклопедія
Математична генеалогія
Математична логіка
Математична олімпіада
Математична структура
Математична біологія
Математична картографія
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru