Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Математичне доказ



План:


Введення

В математиці доказом називається ланцюжок логічних умовиводів, що показує, що при якомусь наборі аксіом і правил виводу вірно деяке твердження. Залежно від контексту, може матися на увазі доказ у рамках деякої формальної системи (побудована за спеціальними правилами послідовність тверджень, записана на формальній мові) або текст на природною мовою, за яким при бажанні можна відновити формальний доказ. Доведені твердження в математиці називають теоремами (у математичних текстах зазвичай мається на увазі, що доказ ким-небудь знайдено; винятки з цього звичаю в основному складають роботи з логіки, в яких досліджується саме поняття доказу); якщо ні твердження, ні його заперечення ще не доведені, то таке твердження називають гіпотезою. Іноді в процесі доведення теореми виділяються докази менш складних тверджень, званих лемами.


Формальними доказами займається спеціальна галузь математики - теорія доказів. Самі формальні докази математики майже ніколи не використовують, оскільки для людського сприйняття вони дуже складні і часто займають дуже багато місця. Зазвичай доказ має вид тексту, в якому автор, спираючись на аксіоми і доведені раніше теореми, за допомогою логічних засобів показує істинність деякого твердження. На відміну від інших наук, у математиці неприпустимі емпіричні докази: всі твердження доводяться виключно логічними способами. У математиці важливу роль грають математична інтуїція і аналогії між різними об'єктами і теоремами, тим не менше, всі ці кошти використовуються вченими тільки при пошуку доказів, самі докази не можуть грунтуватися на таких засобах. Докази, написані на природних мовах, можуть бути не дуже детальними в розрахунку на те, що підготовлений читач сам зможе відновити деталі. Строгість доказу гарантується тим, що його можна представити у вигляді запису на формальній мові (це і відбувається при комп'ютерній перевірці доказів).

Помилковим доказом називається текст, що містить логічні помилки, тобто такий, за яким не можна відновити формальний доказ. В історії математики були випадки, коли видатні вчені публікували невірні "докази", проте зазвичай їх колеги або вони самі досить швидко знаходили помилки (одна з найбільш часто неправильно доводять теорію - Велика теорема Ферма. До цих пір зустрічаються люди, які не знають про те, що вона доведена, і пропонують нові невірні "докази" [1] [2]). Помилковим може бути лише визнання доказом "докази" на природному або формальною мовою; формальний доказ помилковим не може бути за визначенням.

У математиці існують невирішені проблеми, вирішення яких ученим дуже хотілося б знайти. Деякі з них можна знайти у статті " Гіпотеза ". За докази особливо цікавих і важливих тверджень математичні товариства призначають премії.

В інформатики математичні докази використовуються для верифікації та аналізу правильності алгоритмів і програм. см. логіка в інформатиці } в рамках технологій доказового програмування.


1. Формальне доказ

Коли говорять про формальний доказ, перш за все описують формальну модель - безліч аксіом, записаних за допомогою формальної мови, і правил виводу. Формальним виводом називається кінцеве упорядкований безліч рядків, написаних на формальній мові, таких, що кожна з них або є аксіомою, або отримана з попередніх рядків застосуванням одного з правил виводу. Формальним доказом твердження називається формальний висновок, останнім рядком якого є дане твердження. Твердження, що має формальний доказ, називається теоремою, а множина всіх теорем в даній формальній моделі (розглядається разом з алфавітом формальної мови, множинами аксіом і правил виводу) називається формальної теорією.

Теорія називається повною, якщо для будь-якого затвердження доказовою воно або його заперечення, і несуперечливої ​​, якщо в ній не існує тверджень, які можна довести разом з їх запереченнями (або, еквівалентно, якщо в ній існує хоча б одне недовідне затвердження). Більшість "досить багатих" математичних теорій, як показує Перша теорема Геделя про неповноту, є неповними або суперечливими. Найпоширенішим набором аксіом у наш час є аксіоматика Цермело - Френкеля з аксіомою вибору (хоча деякі математики виступають проти використання останньої). Теорія на основі цієї системи аксіом не повна (наприклад, континуум-гіпотеза не може бути ні доведена, ні спростована в ній - в припущенні, що ця теорія несуперечлива). Незважаючи на повсюдне використання цієї теорії в математиці, її несуперечність не може бути доведена методами її самої. Проте, переважна більшість математиків вірить в її несуперечність, вважаючи, що в іншому разі суперечності вже давно були б виявлені.


Примітки

  1. Гастев Ю., Смілянський М. Кілька слів про Велику теорему Ферма - kvant.mccme.ru/1972/08/neskolko_slov_o_velikoj_teorem.htm / / Квант. - 1972. - Т. 8. - С. 23-25.
  2. Цимбалов А. С. ТЕОРЕМА ФЕРМА - www.conf.muh.ru/080215/thesis_Tsimbalov.htm. Доповідь на конференцію. Сучасна гуманітарна академія. }

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Доказ
Доказ смерті
Доказ (логіка)
Автоматичне доказ
Доказ від протилежного
Доказ з нульовим розголошенням
Доказ одноколірних всіх коней
Математичне просвітництво
Математичне просвітництво
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru