Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Математичне формулювання загальної теорії відносності



План:


Введення

У цій статті розглядається математичний базис загальної теорії відносності.



1. Вихідні положення

Наше інтуїтивне сприйняття вказує нам, що простір-час є регулярним і безперервним, тобто не має "дірок". Математично ці властивості позначають, що простір-час буде моделюватися гладким диференційовних різноманіттям 4 вимірювань M 4 , Тобто простором розмірності 4, для якого околиця кожної точки походить локально на чотиривимірний евклідів простір. Гладкість тут означає достатню дифференцируемость, поки без уточнення її ступеня.

Так що крім того з хорошою точністю виконуються закони спеціальної теорії відносності, то таке різноманіття можна наділити лоренцеве метрикою, тобто невиродженим метричним тензором з сигнатурою {-, +, +, +} (Або, що еквівалентно, {+, -, -, -} ). Значення цього розкривається в наступному розділі.


2. Геометрія простору-часу

NB Ця стаття слід класичним угодам знаків Мізнер, Торна і Уїлера [1]

У цій статті приймається також угоду Ейнштейна для підсумовування по повторюваним індексам.

2.1. Метричний тензор

Диференціюється різноманіття [2] M, забезпечене лоренцевих метричним тензором g, і являє собою таким чином Лоренцеве різноманіття, яке складає окремий випадок псевдоріманове різноманіття (визначення "Лоренцо" буде уточнено далі в тексті; див. нижче розділ Лоренцева метрика).

Візьмемо якусь систему координат x μ в околиці точки P , І нехай {\ Mathbf e} _ {\ mu} (x) - Локальний базис в дотичному просторі T x M до різноманіття M в точці x \ in M . Дотичний вектор \ Mathbf w \ in T_xM запишеться тоді як лінійна комбінація базисних векторів:

\ Mathbf {w} \ = \ w ^ {\ mu} \ \ mathbf {e} _ {\ mu}.

При цьому величини \ W ^ {\ mu} називаються контраваріантнимі компонентами вектора w. Метричний тензор \ Mathbf g тоді - симетрична билинейная форма :

\ Mathbf g \ = \ g_ {\ mu \ nu} (x) \ dx ^ {\ mu} \ \ otimes \ dx ^ {\ nu},

де через d x μ позначений дуальний по відношенню до {\ Mathbf e} _ {\ mu} (x) базис в кокасательном просторі T_x ^ * M , То є такі лінійні форми на T x M , Що:

dx ^ {\ nu} ({\ mathbf e} _ {\ mu}) \ = \ \ delta_ {\ mu} ^ {\ nu}.

Далі будемо припускати, що компоненти g μν (x) метричного тензора змінюються в просторі-часі безперервно [3].

Метричний тензор, таким чином, може бути представлений дійсної симетричної матрицею 4x4:

g_ {\ mu \ nu} \ = \ g_ {\ nu \ mu}.

Взагалі будь-яка дійсна матриця 4x4 має апріорі 4 x 4 = 16 незалежних елементів. Умова симетрії зменшує це число до 10: насправді, залишається 4 діагональних елемента, до яких треба додати (16 - 4) / 2 = 6 недіагональних елементів. Тензор g μν має, таким чином, тільки 10 незалежними компонентами.


2.2. Скалярний твір

Метричний тензор визначає для кожної точки x \ in M різноманіття псевдо- скалярний твір ("псевдо-" в тому сенсі, що відсутня позитивна визначеність асоційованої квадратичної форми (квадрата вектора); см. Лоренцева метрика) в дотичному до різноманіття M в точці x псевдоевклидовой просторі T x M . Якщо \ Mathbf u і \ Mathbf v - Два вектора T x M , Їх скалярний твір запишеться як:

\ Mathbf u \ cdot \ mathbf v \ = \ \ mathbf g (\ mathbf u, \ mathbf v) \ = \ g_ {\ mu \ nu} \ u ^ {\ mu} \ v ^ {\ nu}

Зокрема, взявши два базисних вектора, отримуємо компоненти:

g_ {\ mu \ nu} \ = \ \ mathbf g ({\ mathbf e} _ {\ mu}, {\ mathbf e} _ {\ nu}) \ = \ {\ mathbf e} _ {\ mu} \ cdot {\ mathbf e} _ {\ nu}

Зауваження: якщо величини w μ позначають контраваріантние компоненти вектора w, то можна визначити також його коваріантні компоненти як:

w_ {\ mu} \ = \ \ mathbf w \ \ cdot \ mathbf e_ {\ mu}.

2.3. Елементарне відстань - інтервал

Розглянемо вектор елементарного переміщення d \ mathbf P \ = \ \ epsilon ^ {\ mu} \ mathbf e_ {\ mu} між точкою P і нескінченно близької точкою: | \ Epsilon ^ {\ mu} | \ ll 1 . Інваріантної інфінітезимального нормою цього вектора буде дійсне число, позначуване d s 2 , Зване квадратом інтервалу, і рівне:

ds ^ 2 \ = \ g_ {\ mu \ nu} (x) \ \ epsilon ^ {\ mu} \ \ epsilon ^ {\ nu} .

Якщо позначити компоненти вектора елементарного переміщення "по-фізично" \ Epsilon ^ {\ mu} = dx ^ {\ mu} , Інфінітезимального квадрат довжини (інтервалу) запишеться формально як:

ds ^ 2 \ = \ g_ {\ mu \ nu} (x) \ dx ^ {\ mu} \ dx ^ {\ nu}

Увага: у цій формулі, а також і далі, d x μ являє собою дійсне число, яке інтерпретується фізично як "інфінітезимального зміна" координати x μ , А не як диференціальна форма!


2.4. Лоренцева метрика

Уточнимо тепер вираз "лоренцева" (точніше локально лоренцева), яке означає, що метричний тензор має сигнатуру (1,3) і локально співпадає в першому порядку з лоренцеве метрикою спеціальної теорії відносності. Принцип еквівалентності стверджує, що можна "стерти" локально поле гравітації, вибираючи локально інерційну систему координат. З математичної точки зору такий вибір є переформулювання відомої теореми про можливість приведення квадратичної форми до головних осях.

У такій локально інерціальній системі координат X α інваріант d s 2 в точці P запишеться як:

ds ^ 2 \ = \ \ eta_ {\ alpha \ beta} \ dX ^ {\ alpha} \ d X ^ {\ beta} \ = \ - \ c ^ 2 \, dT ^ 2 \, + \, dX ^ 2 \, + \, dY ^ 2 \, + \, dZ ^ 2,

де η αβ є метрикою простору-часу Маньківського, а в малій околиці цієї точки

ds ^ 2 \ = \ (\ eta_ {\ alpha \ beta} + \ delta_ {\ alpha \ beta}) \ dX ^ {\ alpha} \ d X ^ {\ beta},

де δ αβ має мінімум другий порядок малості по відхиленнях координат від точки P , Тобто \ Delta_ {\ alpha \ beta} | _ {P} = 0, \ \ left. \ Frac {\ partial \ delta_ {\ alpha \ beta}} {\ partial X ^ \ alpha} \ right | _ {P} = 0 . Беручи угоду знаків Мізнер, Торна і Уїлера, маємо [1] :

\ Eta_ {\ alpha \ beta} \ = \ \ mathrm {diag} \ (-1, \, +1, \, +1, \, +1 \,)

Далі використовуються наступні звичайні угоди:

  • грецькі індекси змінюються від 0 до 3. Вони відповідають величинам в просторі-часі.
  • латинські індекси змінюються від 1 до 3. Вони відповідають просторовим складовим величин в просторі-часі.

Наприклад, 4-вектор положення запишеться в локально інерціальній системі координат як:

X ^ {\ alpha} \ = \ \ left (\ begin {matrix} X ^ {0} \ \ X ^ {i} \ end {matrix} \ right) \ = \ \ left (\ begin {matrix} X ^ {0} \ \ X ^ {1} \ \ X ^ {2} \ \ X ^ {3} \ end {matrix} \ right) \ = \ \ left (\ begin {matrix} c \, T \ \ X \ \ Y \ \ Z \ end {matrix} \ right).

Увага: насправді кінцеві, а не інфінітезимального збільшення координат не утворюють вектора. Вектор з них виникає лише в однорідному просторі нульової кривизни і тривіальної топології.

Лоренцем характер різноманіття M забезпечує, таким чином, те, що дотичні до M в кожній точці псевдоевклидова простору будуть мати псевдо скалярними творами ("псевдо-" в тому сенсі, що відсутня позитивна визначеність асоційованої квадратичної форми (квадрата вектора)) з трьома строго позитивними власними значеннями (відповідними простору) і одним строго негативним власним значенням (відповідним часом). Зокрема, елементарний інтервал "власного часу", що відокремлює два послідовні події, завжди:

d \ tau ^ 2 \ = \ - \ frac {ds ^ 2} {c ^ 2} \> \ 0.

2.5. Загальні поняття афінної зв'язності і коваріантною похідної

Узагальнено, аффинной связностью називається оператор \ Nabla , Який приводить у відповідність векторному полю \ Mathbf V з дотичного пучка T M поле ендоморфізмов \ Nabla \ mathbf V цього пучка. Якщо {\ Mathbf w} \ in T_xM - Дотичний вектор в точці x \ in M , Зазвичай позначають

\ Nabla_ {\ mathbf w} \ \ mathbf V (x) \ = \ \ nabla \ mathbf V (x, \ mathbf w).

Кажуть, що \ Nabla_ {\ mathbf w} \ mathbf V є " коваріантною похідної "вектора \ Mathbf V в напрямку {\ Mathbf w} . Припустимо до того ж, що \ Nabla \ mathbf V задовольняє додаткового умові: для будь-якої функції f справедливо

\ Nabla_ {\ mathbf w} (f \ mathbf V) \ = \ f \ \ nabla_ {\ mathbf w} \ mathbf V \ + \ df (\ mathbf w) \ \ mathbf V

Коваріантна похідна задовольняє наступним двом властивостям лінійності:

  • лінійність по w, тобто, якими б не були поля векторів w і u і дійсні числа a і b, ми маємо:
\ Nabla_ {(a \ mathbf w + b \ mathbf u)} \ mathbf V \ = \ a \ \ nabla_ {\ mathbf w} \ mathbf V \ + \ b \ \ nabla_ {\ mathbf u} \ mathbf V.
  • лінійність по V, тобто, якими б не були поля векторів X і дійсні числа a і b, ми маємо:
\ Nabla_ {\ mathbf w} (a \ mathbf X + b \ mathbf Y) \ = \ a \ \ nabla_ {\ mathbf w} \ mathbf X \ + b \ \ nabla_ {\ mathbf w} \ mathbf Y.

Як тільки коваріантна похідна визначена для полів векторів, вона може бути поширена на тензорні поля з використанням правила Лейбніца : якщо \ Mathbf T і \ Mathbf S - Два будь-яких тензора, то за визначенням:

\ Nabla_ {\ mathbf w} (\ mathbf T \ otimes \ mathbf S) \ = \ (\ nabla_ {\ mathbf w} \ mathbf T) \ otimes \ mathbf S \ + \ \ mathbf T \ otimes (\ nabla_ {\ mathbf w} \ mathbf S)

Коваріантна похідна поля тензора вздовж вектора w є знову поле тензора того ж типу.


2.6. Зв'язність, асоційована з метрикою

Можна довести, що зв'язність, асоційована з метрикою - зв'язність Леві-Чивіти [1], є єдиною зв'язністю, крім попередніх умов додатково забезпечує те, що для будь-яких полів векторів X, Y, Z з TM

  • \ Nabla_ {\ mathbf X} (\ mathbf g (\ mathbf Y, \ mathbf Z)) \ = \ \ mathbf g (\ nabla_ {\ mathbf X} \ mathbf Y, \ mathbf Z) \ + \ \ mathbf g ( \ mathbf Y, \ nabla_ {\ mathbf X} \ mathbf Z) (Метрично - тензор неметрічності дорівнює нулю).
  • \ Nabla_ {\ mathbf X} \ mathbf Y \ - \ \ nabla_ {\ mathbf Y} \ mathbf X \ = \ [\ mathbf X, \ mathbf Y] , Де [\ Mathbf X, \ mathbf Y] - комутатор Лі від X і Y (відсутність кручення - тензор крутіння дорівнює нулю).

2.7. Опис в координатах

Коваріантна похідна вектора є вектор, і, таким чином, вона може бути виражена як лінійна комбінація всіх базисних векторів:

\ Nabla_ {\ mathbf w} V \ = \ \ left [\, \ nabla_ {\ mathbf w} V \, \ right] ^ \ rho \ \ mathbf e_ \ rho \ = \ \ Gamma ^ \ rho \ \ mathbf e_ \ rho,

де Γ ρ являють собою компоненти вектора коваріантною похідної в напрямку \ Mathbf e_ \ rho (Ця складова залежить від обраного вектора w).

Щоб описати коваріантний похідну, досить описати її для кожного з базисних векторів \ Mathbf e_ \ nu вздовж напрямку \ Mathbf e_ \ mu . Визначимо тоді символи Крістоффеля (або просто Крістоффеля) Γ ρ μν, залежні від 3 індексів [4]

\ Nabla_ {\ mu} {\ mathbf e} _ {\ nu} \ = \ \ nabla_ {{\ mathbf e} _ {\ mu}} {\ mathbf e} _ {\ nu} \ = \ \ Gamma ^ \ rho {} _ {\ mu \ nu} \ {\ mathbf e} _ \ rho

Зв'язність Леві-Чівіта повністю характеризується своїми символами Крістоффеля. Згідно з загальною формулою

\ Nabla_ {\ mathbf w} (f \ mathbf V) \ = \ f \ \ nabla_ {\ mathbf w} \ mathbf V \ + \ df (\ mathbf w) \ \ mathbf V

для вектора V:

\ Nabla_ {\ mu} \ mathbf V \ = \ \ nabla_ {\ mu} (V ^ \ nu \ mathbf e_ \ nu) \ = \ V ^ \ nu \ (\ nabla_ {\ mu} \ mathbf e_ \ nu) \ + \ dV ^ \ nu (\ mathbf e_ \ mu) \ \ mathbf e_ \ nu.

Знаючи, що dV ^ \ nu (\ mathbf e_ \ mu) = \ partial_ \ mu V ^ \ nu , Отримуємо:

\ Nabla_ {\ mu} \ mathbf V \ = \ V ^ \ nu \ \ Gamma ^ \ rho {} _ {\ mu \ nu} \ {\ mathbf e} _ \ rho \ + \ \ partial_ \ mu V ^ \ nu \ \ mathbf e_ \ nu

Перший член цієї формули описує "деформацію" системи координат по відношенню до коваріантною похідної, а другий - зміни координат вектора V. При підсумовуванні по німим індексам ми можемо переписати це співвідношення у формі

\ Nabla_ {\ mu} \ mathbf V \ = \ \ left [\, V ^ \ rho \ \ Gamma ^ \ nu {} _ {\ mu \ rho} \ + \ \ partial_ \ mu V ^ \ nu \, \ right] \ \ mathbf e_ \ nu

З цього отримуємо важливу формулу для компонент:

\ Nabla_ {\ mu} \ mathbf {V} ^ {\ nu} \ = \ \ left [\, \ nabla_ {\ mu} \ mathbf {V} \, \ right] ^ {\ nu} \ = \ \ partial_ {\ mu} V ^ {\ nu} \ + \ \ Gamma_ {~ \ mu \ rho} ^ {\ nu} \ V ^ {\ rho}

Використовуючи формулу Лейбніца, таким же чином можна продемонструвати, що:

\ Nabla_ {\ mu} \ mathbf {V} _ {\ nu} \ = \ \ partial_ {\ mu} V_ {\ nu} \ - \ \ Gamma_ {~ \ mu \ nu} ^ {\ rho} \ V_ { \ rho}.

Щоб обчислити ці складові в явній формі, вирази для символів Крістоффеля повинні бути визначені, виходячи з метрики. Їх легко отримати, написавши наступні умови:

\ Nabla_ {\ mu} \ \ mathbf {g} _ {\ nu \ rho} \ = \ 0.

Розрахунок цієї коваріантною похідної призводить до

\ Gamma ^ \ mu {} _ {\ rho \ sigma} \ = \ \ frac {1} {2} \ g ^ {\ mu \ nu} \ \ left (\ partial_ \ sigma g_ {\ nu \ rho} \ + \ \ partial_ \ rho g_ {\ nu \ sigma} \ - \ \ partial_ \ nu g_ {\ rho \ sigma} \ right),

де g ^ {\ mu \ nu} \ - Компоненти "зворотного" метричного тензора, визначені рівняннями

g ^ {\ mu \ nu} \ g_ {\ nu \ rho} \ = \ \ delta ^ \ mu {} _ \ rho

Символи Крістоффеля "симетричні" [5] по відношенню до нижніх індексах: \ Gamma ^ \ mu {} _ {\ rho \ sigma} = \ Gamma ^ \ mu {} _ {\ sigma \ rho}. \

Зауваження: іноді визначаються також такі символи:

\ Gamma_ {\ nu \ rho \ sigma} \ = \ \ frac {1} {2} \ \ left (\ partial_ \ sigma g_ {\ nu \ rho} \ + \ \ partial_ \ rho g_ {\ nu \ sigma} \ - \ \ partial_ \ nu g_ {\ rho \ sigma} \ right)

одержувані як:

\ Gamma ^ \ mu {} _ {\ rho \ sigma} \ = \ g ^ {\ mu \ nu} \ \ Gamma_ {\ nu \ rho \ sigma}

2.7.1. Тензор кривизни Рімана

Тензор кривизни Рімана R - тензор четвертого валентності, визначений для будь-яких векторних полів X, Y, Z з M як

\ Mathbf R (\ mathbf X, \ mathbf Y) \ mathbf Z \ = \ \ nabla_ {\ mathbf X} \, (\ nabla_ {\ mathbf Y} \ mathbf Z) \ - \ \ nabla_ {\ mathbf Y} \ , (\ nabla_ {\ mathbf X} \ mathbf Z) \ - \ \ nabla_ {[\ mathbf X, \ mathbf Y]} \ mathbf Z \;.

Його компоненти в явній формі виражаються з метричних коефіцієнтів:

R_ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \ = \ \ frac {1} {2} \ left (\ partial ^ 2_ {\ nu \ rho} g_ {\ mu \ sigma} \ + \ \ partial ^ 2_ { \ mu \ sigma} g_ {\ nu \ rho} \ - \ \ partial ^ 2_ {\ nu \ sigma} g_ {\ mu \ rho} \ - \ \ partial ^ 2_ {\ mu \ rho} g_ {\ nu \ sigma} \ right) \ +
+ \ G_ {\ lambda \ tau} \ left (\ Gamma ^ \ lambda {} _ {\ nu \ rho} \ Gamma ^ \ tau {} _ {\ mu \ sigma} \ - \ \ Gamma ^ \ lambda {} _ {\ nu \ sigma} \ Gamma ^ \ tau {} _ {\ mu \ rho} \ right) \;.

Симетрії цього тензора:

R_ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \ = \ R_ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} \;,
R_ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \ = \ - \ R_ {\ nu \ mu \ rho \ sigma} \ = \ - \ R_ {\ mu \ nu \ sigma \ rho} \;.

Він задовольняє також наступному співвідношенню:

R_ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \ + \ R_ {\ mu \ sigma \ nu \ rho} \ + \ R_ {\ mu \ rho \ sigma \ nu} \ = \ 0.

2.8. Тензор кривизни Річчі

Тензор Річчі - тензор валентності 2, визначений сверткой тензора кривизни Рімана

R_ {\ mu \ nu} \ = \ g ^ {\ rho \ sigma} \ R_ {\ rho \ mu \ sigma \ nu} \ = \ R ^ \ sigma_ {~ \ mu \ sigma \ nu} \;.

Його компоненти в явному вигляді через символи Крістоффеля:

R_ {\ mu \ nu} \ = \ \ partial_ {\ rho} \ Gamma ^ {\ rho} {} _ {\ mu \ nu} \ - \ \ partial_ {\ nu} \ Gamma ^ {\ rho} {} _ {\ mu \ rho} \ + \ \ Gamma ^ {\ rho} {} _ {\ mu \ nu} \ Gamma ^ {\ sigma} {} _ {\ rho \ sigma} \ - \ \ Gamma ^ {\ sigma} {} _ {\ mu \ rho} \ Gamma ^ {\ rho} {} _ {\ nu \ sigma} \;.

Цей тензор симетричний: R_ {\ mu \ nu} \ = \ R_ {\ nu \ mu} \ .


2.9. Скалярний кривизна

Скалярний кривизна є інваріантом, що визначаються сверткой тензора Річчі з метрикою

R \ = \ g ^ {\ mu \ nu} \ R_ {\ mu \ nu} \ = \ R ^ \ nu_ {~ \ nu}.

3. Рівняння Ейнштейна

Рівняння гравітаційного поля, які називаються рівняннями Ейнштейна, записуються так

R_ {\ mu \ nu} \ - \ \ frac {1} {2} \, g_ {\ mu \ nu} \, R \ + \ \ Lambda \ g_ {\ mu \ nu} \ = \ \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} \ T_ {\ mu \ nu},

або так

E_ {\ mu \ nu} \ + \ \ Lambda \ g_ {\ mu \ nu} \ = \ \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} \ T_ {\ mu \ nu},

де Λ - космологічна константа, c - Швидкість світла у вакуумі, G - гравітаційна постійна, яка з'являється також в законі всесвітнього тяжіння Ньютона, E_ {\ mu \ nu} = R_ {\ mu \ nu} \ - \ \ frac {1} {2} \, g_ {\ mu \ nu} \, R - тензор Ейнштейна, а T μν - тензор енергії-імпульсу.

Симетричний тензор g μν має тільки 10 незалежних складових, тензорне рівняння Ейнштейна в заданій системі координат еквівалентно системі 10 скалярних рівнянь. Ця система 10 пов'язаних нелінійних рівнянь в приватних похідних в більшості випадків дуже важка для вивчення.


4. Тензор енергії-імпульсу

Тензор енергії-імпульсу може бути записаний у вигляді дійсної симетричної матриці 4x4:

T_ {\ mu \ nu} \ = \ \ left (\ begin {matrix} T_ {00} & T_ {01} & T_ {02} & T_ {03} \ \ T_ {10} & T_ {11} & T_ {12} & T_ {13} \ \ T_ {20} & T_ {21} & T_ {22} & T_ {23} \ \ T_ {30} & T_ {31} & T_ {32} & T_ {33} \ end {matrix} \ right).

У ньому виявляються такі фізичні величини:

  • T 00 - об'ємна щільність енергії. Вона повинна бути позитивною.
  • T 10, T 20, T 30 - щільності компонент імпульсу.
  • T 01, T 02, T 03 - компоненти потоку енергії.
  • Під-матриця 3 x 3 з чисто просторових компонент:
T_ {ik} \ = \ \ left (\ begin {matrix} T_ {11} & T_ {12} & T_ {13} \ \ T_ {21} & T_ {22} & T_ {23} \ \ T_ {31 } & T_ {32} & T_ {33} \ end {matrix} \ right)

- Матриця потоків імпульсів. У механіці рідини діагональні компоненти відповідають тиску, а інші складові - тангенціальним зусиллям (напруженням або в старій термінології - натяг), викликаним в'язкістю.

Для рідини в спокої тензор енергії-імпульсу зводиться до діагональної матриці ~ {\ Rm {diag}} ({{\ rho} c ^ 2}, ~ p, ~ p, ~ p) , Де ~ {\ Rho} є щільність маси, а ~ P - Гідростатичний тиск.


Примітки

  1. 1 2 CW Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler; Gravitation, Freeman & Co. (San Francisco-1973), ISBN 0-7167-0344-0. або Ч. Мізнер, К. ТОРН, Дж. Уілер. Гравітації. том I-III. М. Світ, 1977.
  2. Далі ми скрізь не пишемо індекс 4, уточнюючий розмірність різноманіття "M".
  3. Більш точно, вони повинні бути принаймні класу C .
  4. Увага, символи Крістоффеля не є тензорами.
  5. Слово "симетричні" взято в лапки, оскільки ці індекси в силу свого походження - не тензорні.
Теорії гравітації
Стандартні теорії гравітації Альтернативні теорії гравітації Квантові теорії гравітації Єдині теорії поля
Класична фізика

Релятивістська фізика

  • Загальна теорія відносності
    Математичне формулювання загальної теорії відносності
    Гамильтонова формулювання загальної теорії відносності

Принципи

Класичні

Релятивістські

Багатовимірні

Струнні

Інші


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Пророцтва загальної теорії відносності
Міжнародне товариство загальної теорії відносності і гравітації
Формулювання квантової теорії через інтеграли по траєкторіях
Історія теорії відносності
Золотий вік теорії відносності
Завдання Кеплера у загальній теорії відносності
Список фундаментальних книг і робіт по загальній теорії відносності
Математичне доказ
Математичне просвітництво
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru