Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Математичний аналіз



План:


Введення

Математичний аналіз - сукупність розділів математики, присвячених дослідженню функцій та їх узагальнень методами диференціального і інтегрального числень. При настільки загальної трактуванні до аналізу слід віднести і функціональний аналіз разом з теорією інтеграла Лебега, комплексний аналіз (ТФКП), що вивчає функції, задані на комплексній площині, нестандартний аналіз, який вивчає нескінченно малі і нескінченно великі числа, а також варіаційне числення.

У навчальному процесі до аналізу відносять:

При цьому елементи функціонального аналізу і теорії інтеграла Лебега даються факультативно, а ТФКП, варіаційне числення, теорія диференціальних рівнянь читаються окремими курсами. Строгість викладу слід зразкам кінця XIX століття і зокрема використовує наївну теорію множин.

Програма курсу аналізу, читаного в університетах РФ, приблизно відповідає програмі англо-американського курсу " Calculus " [1].


1. Історія

Попередниками математичного аналізу були античний метод вичерпання і метод неподільних. Всі три напрямки, включаючи аналіз, ріднить загальна вихідна ідея: розкладання на нескінченно малі елементи, природа яких, втім, представлялася авторам ідеї досить туманно. Алгебраїчний підхід (обчислення нескінченно малих) починає з'являтися у Валліса, Джеймса Грегорі і Барроу. Повною мірою нове літочислення як систему створив Ньютон, який, однак, довгий час не публікував свої відкриття. [2]

Офіційною датою народження диференціального обчислення можна вважається травень 1684, коли Лейбніц опублікував першу статтю "Новий метод максимумів і мінімумів ..." [3]. Ця стаття в стислій і малодоступною формі викладала принципи нового методу, названого диференціальним численням.


1.1. Лейбніц і його учні

В кінці XVII століття навколо Лейбніца виникає гурток, найвизначнішими представниками якого були брати Бернуллі, Якоб і Йоганн, і Лопиталь. В 1696, використовуючи лекції І. Бернуллі, Лопиталь написав перший підручник [4], що викладає новий метод в застосуванні до теорії плоских кривих. Він назвав його Аналіз нескінченно малих, давши тим самим і одна з назв новому розділу математики. В основу викладу покладено поняття змінних величин, між якими є певний зв'язок, через яку зміна однієї тягне зміну іншої. У Лопиталя цей зв'язок дається за допомогою плоских кривих: якщо M - Рухома точка плоскої кривої, то її декартові координати x і y , Іменовані діаметром і ординатою кривою, суть змінні, причому зміна x тягне за собою зміну y . Поняття функції відсутній: бажаючи сказати, що залежність змінних задана, Лопиталь каже, що "відома природа кривої". Поняття диференціала вводиться так:

Нескінченно мала частина, на яку безперервно збільшується або зменшується змінна величина, називається її диференціалом ... Для позначення диференціала змінної величини, яка сама виражається однією буквою, ми будемо користуватися знаком або символом d . [5]... Нескінченно мала частина, на яку безперервно збільшується або зменшується диференціал змінної величини, називається ... Другим диференціалом. [6]

Ці визначення пояснюються геометрично, при цьому на рис. нескінченно малі прирости зображені кінцевими. Розгляд спирається на дві вимоги ( аксіоми). Перше:

Потрібно, щоб дві величини, що відрізняються один від одного лише на нескінченно малу величину, можна було брати [при спрощення виразів?] Байдуже одну замість іншої. [7]

Звідси виходить x + d x = x , Далі

d x y = (x + d x) (y + d y) - x y = x d y + y d x + d x d y = (x + d x) d y + y d x = x d y + y d x

та ін. правила диференціювання. Друга вимога говорить:

Потрібно, щоб можна було розглядати криву лінію як сукупність нескінченної кількості нескінченно малих прямих ліній. [8]

Продовження кожної такої лінії називається дотичній до кривої. [9] Досліджуючи дотичну, що проходить через точку M = (x, y) , Лопиталь надає великого значення величині

y \ frac {dx} {dy}-x ,

досягає екстремальних значень у точках перегину кривої, стосовно ж d y до d x не надається ніякого особливого значення.

Примітно знаходження точок екстремуму. Якщо при безперервному збільшенні діаметра x ордината y спочатку зростає, а потім убуває, то диференціал d y спочатку позитивний порівняно з d x , А потім від'ємний.

Але всяка безперервно зростаюча або спадна величина не може перетворитися з позитивної в негативну, не проходячи через нескінченність або нуль ... Звідси випливає, що диференціал найбільшою і найменшою величини має дорівнювати нулю або безкінечності. [10]

Ймовірно, це формулювання не бездоганна, якщо згадати про перший вимозі: хай, скажімо, y = x 2 , Тоді в силу першої вимоги

2 x d x + d x 2 = 2 x d x ;

в нулі права частина дорівнює нулю, а ліва ні. Мабуть слід сказати, що d y можна перетворити у відповідності з першою вимогою так, щоб у точці максимуму d y = 0 . [11]. У прикладах все само собою зрозуміло, і лише в теорії точок перегину Лопиталь пише, що d y дорівнює нулю в точці максимуму, будучи розділений на d x [10].

Далі, за допомогою одних диференціалів формулюються умови екстремуму і розглянуто велику кількість складних завдань, що відносяться в основному до диференціальної геометрії на площині. В кінці книги, в гол. 10, викладено те, що тепер називають правилом Лопіталя, хоча і в не зовсім звичній формі. Нехай величина ординати y кривої виражена дробом, чисельник і знаменник якої звертаються в нуль при x = a . Тоді точка кривої з x = a має ординату y , Що дорівнює відношенню диференціала чисельника до диференціалу знаменника, взятому при x = a .

За задумом Лопиталя написане ним становило першу частину Аналізу, друга ж повинна була містити інтегральне числення, тобто спосіб відшукання зв'язку змінних за відомою зв'язку їх диференціалів. Перше його виклад дано Іоганном Бернуллі в його Математичних лекціях про метод інтеграла [12]. Тут дано спосіб взяття більшості елементарних інтегралів і вказані методи вирішення багатьох диференціальних рівнянь першого порядку.

Вказуючи на практичну корисність і простоту нового методу Лейбніц писав:

Те, що людина, обізнана в цьому обчисленні, може отримати прямо в трьох рядках, інші вчені мужі змушені були шукати, слідуючи складними обхідними шляхами.


1.2. Ейлер

Зміни, що відбулися за наступні півстоліття, відображені у великому трактаті Ейлера. Виклад аналізу відкриває двотомне "Вступ", де зібрані вишукування про різні уявленнях елементарних функцій. Термін "функція" вперше з'являється лише в 1692 у Лейбніца [13], однак на перші ролі його висунув саме Ейлер. Початкова трактування поняття функції полягала в тому, що функція - це вираз для рахунку ( ньому. Rechnungsausdrϋck ) Або аналітичне вираз. [14]

Функція змінної кількості є аналітичний вираз, складений яким-небудь чином з цієї змінної кількості і чисел або постійних кількостей. [15]

Підкреслюючи, що "основна відмінність функцій лежить у способі складання їх з змінного і постійних", Ейлер перераховує дії, "за допомогою яких кількості можуть один з одним поєднуватися і перемішуватися; діями цими є: додавання і віднімання, множення і ділення, піднесення до степеня і вилучення коренів; сюди ж слід віднести також рішення [алгебраїчних] рівнянь. Крім цих дій, які називаються алгебраїчними, існує багато інших, трансцендентних, як-то: показникові, логарифмічні і незліченні інші, що доставляються інтегральним численням ". [16] Таке трактування дозволяла без праці звертатися з багатозначними функціями і не вимагала пояснення, над яким полем розглядається функція: вираз для рахунку визначено для комплексних значень змінних навіть тоді, коли для даної задачі це не потрібно.

Операції у виразі допускалися лише в кінцевому числі, а трансцендентне проникало за допомогою нескінченно великого числа \ Infty [17]. У виразах це число використовується поряд з натуральними числами. Напр., Вважається допустимим такий вираз для експоненти

e ^ x = \ left (1 + \ frac {x} {\ infty} \ right) ^ \ infty ,

в якому лише пізні автори бачили граничний перехід. З аналітичними виразами проводилися різноманітні перетворення, що дозволили Ейлера знайти подання для елементарних функцій у вигляді рядів, нескінченних творів і т. д. Ейлер перетворює вирази для рахунки так, як це роблять в алгебрі, не звертаючи уваги на можливість обчислити значення функції в точці по кожній з написаних формул.

На відміну від Лопиталя Ейлер докладно розглядає трансцендентні функції і особливо два найбільш вивчені їх класи - показові та тригонометричні. Він виявляє, що всі елементарні функції можуть бути виражені за допомогою арифметичних дій і двох операцій - взяття логарифма та експоненти [18].

Сам хід докази прекрасно демонструє техніку використання нескінченно великого. Визначивши синус і косинус за допомогою тригонометричного кола, Ейлер виводить з формул додавання наступне:

(\ Cos x + \ sqrt {-1} \ sin x) (\ cos y + \ sqrt {-1} \ sin y) = \ cos {(x + y)} + \ sqrt {-1} \ sin { (x + y)},

а звідси

2 \ cos nx = (\ cos x + \ sqrt {-1} \ sin x) ^ n + (\ cos x - \ sqrt {-1} \ sin x) ^ n

Вважаючи n = \ infty і z = n x , Він отримує

2 \ cos z = \ left (1 + \ frac {\ sqrt {-1} z} {\ infty} \ right) ^ \ infty + \ left (1 - \ frac {\ sqrt {-1} z} {\ infty } \ right) ^ \ infty = e ^ {\ sqrt {-1} z} + e ^ {- \ sqrt {-1} z} ,

відкидаючи нескінченно малі величини більшого порядку. Використовуючи це і аналогічне вираз, Ейлер отримує і свою знамениту формулу

e ^ {\ sqrt {-1} x} = \ cos {x} + \ sqrt {-1} \ sin {x} .

Вказавши різні вирази для функцій, які тепер називають елементарними, Ейлер переходить до розгляду кривих на площині, накресленим вільним рухом руки. На його думку, не для всякої такої кривої можна відшукати єдине аналітичне вираз). [19] У XIX столітті з подачі Казораті [20] це твердження вважалося помилковим: по теоремі Вейєрштрасса всяка безперервна в сучасному сенсі крива може бути наближено описана поліномами. Насправді Ейлера це чи переконало, адже потрібно ще переписати граничний перехід за допомогою символу \ Infty .

Виклад диференціального обчислення Ейлер починає з теорії кінцевих різниць, за ним у третьому розділі слід філософське роз'яснення про те, що "нескінченно мала кількість є точно нуль", більш за все не влаштувало сучасників Ейлера. Потім з кінцевих різниць при нескінченно малому збільшенні утворюються диференціали, а з інтерполяційної формулу Ньютона - формула Тейлора. Цей метод в істотному сходить до робіт Тейлора (1715 р.). При цьому у Ейлера з'являється стійке ставлення \ Frac {d ^ ky} {dx ^ k} , Яке, однак, розглядається як відношення двох нескінченно малих. Останні розділи присвячені наближеному обчисленню за допомогою рядів.

У тритомній інтегральному обчисленні Ейлер трактує вводить поняття інтеграла так:

Та функція, диференціал якої = X d x , Називається його інтегралом і позначається знаком S , Поставленим попереду. [21]

В цілому ж ця частина трактату Ейлера присвячена більш спільної з сучасної точки зору задачі про інтегрування диференціальних рівнянь. При цьому Ейлер знаходить ряд інтегралів і диференціальних рівнянь, які призводять до нових функцій, напр., Γ -Функції, еліптичні функції і т. д. Суворе доказ їхньої неелементарності було дано в 1830-х роках Якобі для еліптичних функцій і Ліувіля (див. елементарні функції).


1.3. Лагранж

Наступним великим твором, що зіграв значну роль у розвитку концепції аналізу, стала Теорія аналітичних функцій [22] Лагранжа і великий переказ робіт Лагранжа, виконаний Лакруа [23] в кілька еклектичної манері.

Бажаючи позбутися від нескінченно малого зовсім, Лагранж звернув зв'язок між похідними і поруч Тейлора. Під аналітичної функцією Лагранж розумів довільну функцію, досліджувану методами аналізу. Саму функцію він позначив як f (x) , Давши графічний спосіб запису залежності - раніше ж Ейлер обходився одними змінними. Для застосування методів аналізу на думку Лагранжа необхідно, щоб функція розкладалася в ряд

f (x + h) = f (x) + ph + qh ^ 2 + \ dots ,

коефіцієнти якого будуть новими функціями x . Залишається назвати p похідної (диференціальним коефіцієнтом) і позначити його як f '(x) . Таким чином, поняття похідної вводиться на другій сторінці трактату і без допомоги нескінченно малих. Залишається зауважити, що

f '(x + h) = p +2 qh + \ dots ,

тому коефіцієнт q є подвоєною похідної похідної f (x) , Тобто

q = \ frac {1} {2!} f''(x) і т. д. [24]

Такий підхід до трактування поняття похідної використовується в сучасній алгебрі і послужив основою для створення теорії аналітичних функцій Вейерштрасса.

Лагранж оперував такими рядами як формальними і отримав ряд чудових теорем. Зокрема, вперше і цілком строго довів разрешимость початковій завдання для звичайних диференціальних рівнянь у формальних статечних рядах. [25]

Питання про оцінку точності наближень, що доставляються приватними сумами ряду Тейлора, вперше був поставлений саме Лагранжем: наприкінці Теорії аналітичних функцій він вивів те, що тепер називають формулою Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа. [26] Однак, на противагу сучасним авторам, Лагранж не бачив потреби у вживанні цього результату для обгрунтування збіжності ряду Тейлора.

Питання про те, чи дійсно функції, вживані в аналізі, можуть бути розкладені в степеневий ряд, згодом став предметом дискусії. Звичайно, Лагранжу було відомо, що в деяких точках елементарні функції можуть не розкладатися в степеневий ряд, проте в цих точка вони і недіфференціруемий ні в якому сенсі. Коші у своєму алгебраїчному аналізі навів як контрпримера функцію

f (x) = e ^ {-1 / x ^ 2},

довизначення нулем в нулі. Ця функція всюди гладка на речовій осі і в нулі має нульовий ряд Маклорена, який, отже, не сходиться до значення f (x) . Проти цього прикладу Пуассон заперечив, що Лагранж визначав функцію як єдине аналітичне вираз, в прикладі Коші ж функція задана по різному в нулі, і при x \ not = 0 . Лише наприкінці XIX століття Прингсхейм [27] довів, що існує нескінченно диференційовних функція, задана єдиним виразом, ряд Маклорена для якої розходиться. Приклад такої функцією доставляє вираз

\ Psi (x) = \ sum \ limits_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {\ cos {(3 ^ kx)}} {k!} .

1.4. Подальший розвиток

В XVIII столітті були розроблені і практично застосовані такі розділи аналізу, як варіаційне числення, звичайні диференціальні рівняння і диференціальні рівняння в приватних похідних, перетворення Фур'є і виробляють функції. На фундаменті аналізу виникла математична фізика, аналітичні методи глибоко проникли в геометрію і навіть у теорію чисел.

В XIX столітті Коші першим дав аналізу тверде логічне обгрунтування, ввівши поняття границі послідовності, він же відкрив нову сторінку комплексного аналізу. Пуассон, Ліувілль, Фур'є та інші вивчали диференціальні рівняння в приватних похідних і гармонічний аналіз.

В останній третині XIX століття Вейерштрасс справив арифметизации аналізу, вважаючи геометричне обгрунтування недостатнім, і запропонував класичне визначення межі через ε-δ-мову. Він же створив першу строгу теорію безлічі дійсних чисел. В цей же час спроби удосконалення теореми про інтегрованості за Ріманом привели до створення класифікації розривність речових функцій. Також були відкриті "патологічні" приклади (ніде не диференціюються безперервні функції, що заповнюють простір криві). У зв'язку з цим Жордан розробив теорію заходи, а Кантор - теорію множин, і на початку XX століття математичний аналіз був формалізований з їх допомогою. Іншою важливою подією XX століття стала розробка нестандартного аналізу як альтернативного підходу до обгрунтування аналізу.


2. Розділи математичного аналізу


3. Бібліографія

4.1. Енциклопедичні статті


4.1.2. Навчальна література

4.2.2.1. Стандартні підручники

Протягом багатьох років в Росії популярні такі підручники:

  • Курант, Р., Курс диференціального й інтегрального числення (у двох томах). Головна методична знахідка курсу: спочатку просто викладаються основні ідеї, а потім їм даються строгі докази. Написаний курантів у його бутність професором Геттінгенського університету в 1920-х під впливом ідей Клейна, потім в 1930-х перенесений на американський грунт. Російський переклад 1934 р. і його перевидання дає текст з німецької виданню, переклад 1960-х років (т. зв. четверте видання) являє собою компіляцію з німецької та американської версії підручника і в зв'язку з цим дуже багатослівний.
  • Фіхтенгольц, Григорій Михайлович. Курс диференціального й інтегрального числення (у трьох томах) і задачник
  • Демидович, Б. П., Збірник завдань і вправ з математичного аналізу
  • Ляшко І. І. та ін Довідковий посібник з вищої математики. т. 1-5

Деякі ВНЗ мають власні керівництва з аналізу:

  • Архипов Г. І., Садовничий В. А., Чубарик В. Н. Лекції з мат. аналізу.
  • Зорич В. А. Математичний аналіз. Частина I. М.: Наука, 1981. 544 з.
  • Зорич В. А. Математичний аналіз. Частина II. М.: Наука, 1984. 640 с.
  • Каминін Л. І. Курс математичного аналізу (у двох томах). М.: Видавництво Московського Університету, 2001.
  • Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Основи математичного аналізу (у двох частинах) - М .: Физматлит, 2005. - 648 с. - ISBN 5-9221-0536-1.
  • Бутузов В. Ф. та ін Мат. аналіз у питаннях і завданнях
  • Математика в технічному університеті Збірник навчальних посібників в 21 томі.
  • Смирнов В. І. Курс вищої математики, в 5 томах. М.: Наука, 1981 (6-е видання), БХВ-Петербург, 2008 (24-е видання).
  • Решетняк Ю. Г. Курс математичного аналізу. Частина I. Книга 1. Введення в математичний аналіз. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Новосибірськ: Изд-во Ін-ту математики, 1999. 454 з ISBN 5-86134-066-8.
  • Решетняк Ю. Г. Курс математичного аналізу. Частина I. Книга 2. Інтегральне числення функцій однієї змінної. Диференціальне числення функцій багатьох змінних. Новосибірськ: Изд-во Ін-ту математики, 1999. 512 с ISBN 5-86134-067-6.
  • Решетняк Ю. Г. Курс математичного аналізу. Частина II. Книга 1. Основи гладкого аналізу в багатовимірних просторах. Теорія рядів. Новосибірськ: Изд-во Ін-ту математики, 2000. 440 з ISBN 5-86134-086-2.
  • Решетняк Ю. Г. Курс математичного аналізу. Частина II. Книга 2. Інтегральне числення функцій багатьох змінних. Інтегральне числення на многовидах. Зовнішні диференціальні форми. Новосибірськ: Изд-во Ін-ту математики, 2001. 444 с ISBN 5-86134-089-7.
  • Шведов І. А. Компактний курс математичного аналізу, 2003 : Частина 1. Функції однієї змінної, Частина 2. Диференціальне числення функцій багатьох змінних.
  • Богданов Ю. С. Лекції з математичного аналізу (у двох частинах) - Мінськ: БДУ, 1974. - 357 с.

4.2.1.2.2. Підручники підвищеної складності

Підручники:

  • Рудін В. Основи математичного аналізу. М., 1976 - невелика книга, написана дуже чітко і стисло.

Задачники підвищеної складності:

  • Г. Поліа, Г. Сеге, Завдання і теореми з аналізу. Частина 1, Частина 2, 1978. (Велика частина матеріалу відноситься до ТФКП)
  • Pascal, E. (Napoli). Esercizii, 1895, 2 ed., 1909 / / Internet Archiv

4.2.2.2.3. Підручники для гуманітаріїв

  • А. М. Ахтямов Математика для соціологів й економістів. - М.: Физматлит, 2004.
  • Н. Ш. Кремер та ін Вища математика для економістів. Підручник. 3-е изд. - М.: Юніті, 2010


4.2.3.2.4. Задачники

  • Г. Н. Берман. Збірник задач з курсу математичного аналізу: Навчальний посібник для вузів. - 20-е изд. М.: Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1985. - 384 с.
  • П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевников. Вища математика у вправах і завданнях. (В 2-х частинах) - М.: Висш.шк, 1986.
  • Г. І. Запорожець Керівництво вирішення завдань з математичного аналізу. - М.: Вища школа, 1966.
  • І. А. Каплан. Практичні заняття з вищої математики, в 5 частинах .. - Харків, Вид. Харківського держ. ун-ту, 1967, 1971, 1972.
  • А. К. Боярчук, Г. П. Головач. Діференціальний рівняння у прикладах і задачах. Москва. Едіторіал УРСС, 2001.
  • А. В. Пантелєєв, А. С. Якимова, А. В. Босов. Звичайні диференціальні рівняння у прикладах і задачах. "МАІ", 2000
  • А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. Диференціальні рівняння: приклади і задачі. ВШ, 1989.
  • К. Н. Лунгу, В. П. Норін, Д. Т. Письменний, Ю.А Шевченко. Збірник завдань з вищої математики. 1 курс. - 7-е изд. - М.: Айріс-прес, 2008.
  • І. А. Марон. Диференціальне та інтегральне числення в прикладах і задачах (Функції однієї змінної). - М., Физматлит, 1970.
  • В. Д. Черненко. Вища математика в прикладах і завданнях: Навчальний посібник для вузів. У 3 т. - СПб.: Політехніка, 2003.

4.2.4.2.5. Довідники

4.2.5.3. Класичні твори

  • Лопиталь. Аналіз нескінченно малих
  • Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug / Leipzig-Berlin, 1914.
  • Ейлер. Введення в аналіз, Диференціальне числення, Інтегральне числення
  • Коші. Короткий виклад уроків по диференціальному і інтегральному численню
  • Штурм. Курс аналізу. Т.1, 2 - Класичний курс паризької політехнічної школи 1830-х років.
  • Гурса Е. Курс мат. аналізу. T. 1.1, 1.2
  • М. Є. Ващенко-Захарченко, Алгебраїчний Аналіз або Вища Алгебра, 1887. - Перший [джерело не вказано 418 днів] російський підручник з мат. аналізу.

4.3.4. Твори з історії аналізу

  • Том 1 З найдавніших часів до початку Нового часу. (1970)
  • Том 2 Математика XVII сторіччя. (1970)
  • Том 3 Математика XVIII сторіччя. (1972)
  • Маркушевич А. І. Нариси з історії теорії аналітичних функцій. 1951
  • Вілейтнер Г. Історія математики від Декарта до середини XIX століття. 1960

Примітки

  1. Ср, напр., курс Cornell Un - www.math.cornell.edu / Courses / FSM / firstyearcalc.html
  2. Ньютон І. Математичні роботи. M, 1937.
  3. Leibniz / / Acta Eroditorum, 1684. LMS, т. V, c. 220-226. Рус. пер.: Успіхи Мат. Наук, т. 3, ст. 1 (23), с. 166-173.
  4. Лопиталь. Аналіз нескінченно малих. М.-Л.: ГТТІ, 1935. (Далі: Лопиталь) / / Мат. аналіз на EqWorld - eqworld.ipmnet.ru / ru / library / mathematics / calculus.htm
  5. Лопиталь, гл. 1, опр. 2.
  6. Лопиталь, гл. 4, опр. 1.
  7. Лопиталь, гл. 1, вимогу 1.
  8. Лопиталь, гл. 1, вимога 2.
  9. Лопиталь, гл. 2, опр.
  10. 1 2 Лопиталь, 46.
  11. Лопиталь турбується про інше: d y для нього довжина відрізка і потрібно пояснити, що означає її негативність. Зауваження, зроблене в 8-10, можна навіть зрозуміти так, що при убуванні y із зростанням x слід писати d x y = y d x - x d y , Проте далі це не використовується.
  12. Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. - 1914.
  13. Див: Успіхи Мат. Наук, т. 3, ст. 1 (23)
  14. Див Маркушевич А. І. Елементи теорії аналітичних функцій, Учпедгиз, 1944. С. 21 і сл.; Koenig F. Kommentierender Anhang zu Funktionentheorie von F. Klein. Leipzig: Teubner, 1987; а також Історичний нарис у статті Функція
  15. Ейлер. Введення в аналіз. Т. 1. Гол. 1, 4
  16. Ейлер. Введення в аналіз. Т. 1. Гол. 1, 6
  17. Ейлер позначає це число як i , Що не може не плутати сучасного читача.
  18. Запровадження в аналіз, т. 1, гл. 8
  19. Деякі дослідники (див., напр., Історія Математики, т. 2) хочуть бачити у сказаному в другому томі Введення в аналіз паростки нового трактування поняття функції, але в тексті йдеться лише про те, що криві, а зовсім не функції, можуть не бути представимо у вигляді єдиного вираження для рахунку, тобто однієї функції.
  20. Casorati F. Teorica delle funzioni di variabili complesse. Pavia, 1868. P. 191
  21. Ейлер. Інтегральне числення. Т. 1, опр. 2
  22. Lagrange. OEvres. Vol. 9 - gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/en/dms/load/toc /? IDDOC = 41270
  23. Lacroix. Traite du calcul differentiel et du calcul integral. Vol. 1-3. 1 ed., 1798. (Великий Лакруа) / / http://gallica.bnf.fr - gallica.bnf.fr
  24. Див також: Маркушевич А. І. Елементи теорії аналітичних функцій. М., 1944. C. 22-24
  25. Lacroix. Traite, vol. 2, 594.
  26. Див також: Історія математики, т. 3., С. 297-300
  27. Pringssheim A. / / Math. Ann. Bd. 43 (1893); див. також: Маркушевич А. І. Елементи теорії аналітичних функцій. М., 1944. C. 16-17.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Згортка (математичний аналіз)
Ланцюг (математичний аналіз)
Математичний збірник
Математичний маятник
Математичний співпроцесор
Математичний інститут
Математичний рок
Математичний енциклопедичний словник
Фізико-математичний ліцей
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru