Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Математичний маятник


Simple pendulum height.png

План:


Введення

Simple pendulum height.png

Математичний маятник - осцилятор, що представляє собою механічну систему, що складається з матеріальної точки, що знаходиться на невагомою нерастяжимой нитки або на невагомому стержні в однорідному полі сил тяжіння. Період малих власних коливань математичного маятника довжини L нерухомо підвішеного в однорідному полі тяжіння з прискоренням вільного падіння g дорівнює

T = 2 \ pi \ sqrt {L \ over g}

і не залежить [1] від амплітуди і маси маятника.

Плоский математичний маятник зі стрижнем - система з одного ступенем свободи. Якщо ж стержень замінити на розтяжну нитку, то це система з двома ступенями свободи зі зв'язком. Приклад шкільної задачі, в якій важливий перехід від однієї до двох ступенями свободи.

При малих коливаннях фізичний маятник коливається так само, як математичний з наведеної довжиною.


1. Рівняння коливань маятника

Коливання математичного маятника описуються звичайним диференціальним рівнянням виду

\ Ddot x + \ omega ^ 2 \ \ sin {x} = 0,

де \ Omega - Позитивна константа, обумовлена ​​виключно з параметрів маятника. Невідома функція x (t) - Це кут відхилення маятника в момент t від нижнього положення рівноваги, виражений в радіанах; \ Omega = \ sqrt {g / L} , Де L - Довжина підвісу, g - прискорення вільного падіння. Рівняння малих коливань маятника близько нижнього положення рівноваги (т. зв. Гармонійне рівняння) має вигляд:

\ Ddot x + \ omega ^ 2x = 0 .

2. Рішення рівняння руху

2.1. Гармонійні коливання

Маятник, що здійснює малі коливання, рухається по синусоїді. Оскільки рівняння руху є звичайним ДУ другого порядку, для визначення закону руху маятника необхідно задати два початкових умови - координату і швидкість, з яких визначаються дві незалежних константи:

~ X = A \ sin (\ theta_0 + \ omega t),

де A - амплітуда коливань маятника, \ Theta_0 - Початкова фаза коливань, \ Omega - циклічна частота, яка визначається з рівняння руху. Рух, що здійснюється маятником, називається гармонійними коливаннями


2.2. Нелінійний маятник

Для маятника, який вчиняє коливання з великою амплітудою, закон руху більш складний:

\ Sin \ frac {x} {2} = \ varkappa \ cdot \ operatorname {sn} (\ omega t | \ varkappa),

де \ Operatorname {sn} - Це синус Якобі. Для \ Varkappa <1 він є періодичною функцією, при малих \ Varkappa збігається зі звичайним тригонометричним синусом.

Параметр \ Varkappa визначається виразом

\ Varkappa = \ frac {\ varepsilon + \ omega ^ 2} {2 \ omega ^ 2},

де \ Varepsilon = \ frac {E} {mL ^ 2} - Енергія маятника в одиницях t -2.

Період коливань нелінійного маятника

T = \ frac {2 \ pi} {\ Omega}, \ Omega = \ frac {\ pi} {2} \ frac {\ omega} {K (\ varkappa)},

де K - еліптичний інтеграл першого роду.

Для обчислень практично зручно розкладати еліптичний інтеграл в ряд:

T = T_0 \ left \ {1 + \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ 2 \ sin ^ {2} \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right) + \ left ( \ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4} \ right) ^ 2 \ sin ^ {4} \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right) + \ dots + \ left [\ frac { \ left (2n - 1 \ right)!!} {\ left (2n \ right)!!} \ right] ^ 2 \ sin ^ {2n} \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right) + \ dots \ right \} , Де T_0 = 2 \ pi \ sqrt \ frac {L} {g} - Період малих коливань, \ Alpha - Максимальний кут відхилення маятника від вертикалі.

При кутах до 1 радіана (≈ 60 ) з прийнятною точністю (помилка менше 1%) можна обмежитися першим наближенням:

T = T_0 \ left (1 + \ frac {1} {4} \ sin ^ {2} \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right) \ right) .

2.3. Рух по сепаратріси

Рух маятника по сепаратріси є неперіодичним. У нескінченно далекий момент часу він починає падати з крайнього верхнього положення в якусь сторону з нульовою швидкістю, поступово набирає її, і зупиняється, повернувшись у вихідне положення.

3. Цікаві факти

Незважаючи на свою простоту, математичний маятник пов'язаний з рядом цікавих явищ.

  • Якщо амплітуда коливання маятника близька до π, тобто, рух маятника на фазової площини близько до сепаратріси, то під дією малої періодичної змушує сили система демонструє хаотична поведінка. Це одна з найпростіших механічних систем, в якій хаос виникає під дією періодичного обурення.
  • Якщо точка підвісу не нерухома, а робить коливання, то в маятника може з'явитися нове положення рівноваги. Якщо точка підвісу досить швидко коливається вгору-вниз, то маятник набуває стійке положення "догори ногами". Така система називається маятником Капіци.

Примітки

  1. в першому наближенні

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Маятник
Крутильних маятник
Фізичний маятник
Маятник Капіци
Пружинний маятник
Маятник Фуко
Маятник Фуко (роман)
Математичний рок
Математичний інститут
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru