Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Матриця повороту


Nuvola apps important recycle.svg

План:


Введення

Nuvola apps important recycle.svg
Ця стаття або розділ потребує переробки.
Будь ласка, поліпшите статтю відповідно до правилами написання статей.

Матрицею повороту (або матрицею напрямних косинусів) називається ортогональна матриця, яка використовується для виконання власного ортогонального перетворення в евклідовому просторі. При множенні матриці повороту на вектор довжина вектора зберігається, при цьому визначник матриці повороту позитивний (і дорівнює 1).

На відміну від матриці переходу матриця повороту при множенні на вектор-стовпець перетворює координати вектора відповідно до поворотом вектора (а не поворотом координатних осей). При цьому координати повернутого вектора виходять в тій же (нерухомої) системі координат.


1. Матриця повороту в двовимірному просторі

У двовимірному просторі поворот можна описати одним кутом \; \ Theta з наступною матрицею лінійного перетворення в декартовій системі координат :

M (\ theta) = \ begin {pmatrix} \ cos {\ theta} & - \ sin {\ theta} \ \ \ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {pmatrix}

Поворот виконується шляхом множення матриці повороту на вектор -стовпець, що описує обертаємо точку:

\ Begin {bmatrix} x '\ \ y' \ \ \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \ \ \ sin \ theta & \ cos \ theta \ \ \ end { bmatrix} \ begin {bmatrix} x \ \ y \ \ \ end {bmatrix} .

Координати (x ', y') в результаті повороту точки (x, y) мають вигляд:

x '= x \ cos \ theta - y \ sin \ theta \, ,
y '= x \ sin \ theta + y \ cos \ theta \, .

Позитивним кутах при цьому відповідає обертання вектора проти годинникової стрілки у звичайній, правобічної системі координат, і за годинниковою стрілкою в лівосторонньої системі координат.


2. Матриця повороту в тривимірному просторі

Матрицями обертання навколо осі декартової системи координат на кут α в тривимірному просторі є:

  • Обертання навколо осі x:
M_x (\ alpha) = \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \ \ 0 & \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha \ \ 0 & \ sin \ alpha & \ cos \ alpha \ end {pmatrix} ,
  • Обертання навколо осі y:
M_y (\ alpha) = \ begin {pmatrix} \ cos \ alpha & 0 & \ sin \ alpha \ \ 0 & 1 & 0 \ \ - \ sin \ alpha & 0 & \ cos \ alpha \ end {pmatrix} ,
  • Обертання навколо осі z:
M_z (\ alpha) = \ begin {pmatrix} \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha & 0 \ \ \ sin \ alpha & \ cos \ alpha & 0 \ \ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix} .

Позитивним кутах при цьому відповідає обертання вектора проти годинникової стрілки в правої системі координат, і за годинниковою стрілкою в лівій системі координат, якщо дивитися на площину обертанні з боку півпростору, де значення координат осі, навколо якої здійснюється поворот, позитивні. Права система координат пов'язана з вибором правого базису (див. правило свердлика).


3. Зміна осі повороту

Нехай \; M - Матриця повороту навколо осі з ортом \; N на кут \; \ Alpha , \; M ' - Матриця повороту навколо осі з ортом \; N ' на той же кут, причому

\; N '= M''\ cdot \; n,

де \; M'' - Матриця повороту, що змінює орт осі повороту \; N . Тоді

M '= M''\ cdot M \ cdot M''^ {\; T},

де \; M''^ {\; T} - транспонована матриця \; M'' .


4. Перестановочного поворотів

Якщо \; M_1 - Матриця повороту навколо осі з ортом \; N на кут \; \ Alpha , \; M_2 - Матриця повороту навколо осі з ортом \; M на кут \; \ Beta , То M_2 \ cdot M_1 - Матриця, що описує поворот, який є результатом двох послідовно здійснених поворотів ( \; M_1 і \; M_2 ), Оскільки

(M_2 \ cdot M_1) \ cdot r = M_2 \ cdot (M_1 \ cdot r).

При цьому послідовність поворотів можна поміняти, видозмінивши поворот \; M_1 :

M_2 \ cdot M_1 = M'_1 \ cdot M_2,

де матриця \; M'_1 - Матриця повороту на кут \; \ Alpha навколо осі c ортом \; N ', поверненим за допомогою повороту \; M_2 :

n '= M_2 \ cdot n, \ qquad M'_1 = M_2 \ cdot M_1 \ cdot M_2 ^ T,

оскільки M_2 ^ T \ cdot M_2 = E , Тому що матриця повороту є ортогональної матрицею ( \; E - одинична матриця). Зауважимо, що коммутативности поворотів у звичайному сенсі немає, тобто

M_2 \ cdot M_1 \ neq M_1 \ cdot M_2.

5. Вираз матриці повороту через кути Ейлера

Послідовні повороти близько осей \; Z, X ', Z'' на кут прецесії ( \; \ Alpha ), Кут нутації ( \; \ Beta ) І на кут власного обертання ( \; \ Gamma ) Призводять до наступного виразу для матриці повороту:

M (\ alpha, \ beta, \ gamma) = \ begin {pmatrix} \ cos \ alpha \ cos \ gamma - \ sin \ alpha \ cos \ beta \ sin \ gamma & - \ cos \ alpha \ sin \ gamma - \ sin \ alpha \ cos \ beta \ cos \ gamma & \ sin \ alpha \ sin \ beta \ \ \ sin \ alpha \ cos \ gamma + \ cos \ alpha \ cos \ beta \ sin \ gamma & - \ sin \ alpha \ sin \ gamma + \ cos \ alpha \ cos \ beta \ cos \ gamma & - \ cos \ alpha \ sin \ beta \ \ - \ sin \ beta \ sin \ gamma & \ sin \ beta \ cos \ gamma & \ cos \ beta \ end {pmatrix}

Вісь \; X ' - Вісь X, повернена першим поворотом (на \; \ Alpha ), \; Z'' - Вісь Z, повернена першим і другим поворотом (на \; \ Alpha і \; \ Beta ). Внаслідок перестановочного поворотів наведена матриця відповідає поворотам на кути \; \ Gamma , \; \ Beta , \; \ Alpha навколо осей Z, X, Z:

M (\ alpha, \ beta, \ gamma) = M_z (\ alpha) \ cdot M_x (\ beta) \ cdot M_z (\ gamma) .

У випадку, якщо повороти задаються в іншій послідовності, матриця повороту знаходиться перемножуванням матриць для обертання навколо відповідних декартових осей координат, наприклад:

  • 1) Поворот близько осей: X, Y, X
  • 2) Відповідно: X, Y, Z
  • 3) X, Z, X
  • 4) X, Z, Y
  • 5) Y, X, Y
  • 6) Y, X, Z
  • 7) Y, Z, X
  • 8) Y, Z, Y
  • 9) Z, X, Y
  • 10) Z, X, Z
  • 11) Z, Y, X
  • 12) Z, Y, Z

6. Вираз матриці повороту через кут повороту θ і одиничний вектор осі обертання \ Hat {\ mathbf {v}} = (x, y, z)

В декартових координатах матриця повороту має вигляд:

M (\ hat {\ mathbf {v}}, \ theta) = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta + (1 - \ cos \ theta) x ^ 2 & (1 - \ cos \ theta) xy - (\ sin \ theta) z & (1 - \ cos \ theta) xz + (\ sin \ theta) y \ \ (1 - \ cos \ theta) yx + (\ sin \ theta) z & \ cos \ theta + (1 - \ cos \ theta) y ^ 2 & (1 - \ cos \ theta) yz - (\ sin \ theta) x \ \ (1 - \ cos \ theta) zx - (\ sin \ theta) y & (1 - \ cos \ theta) zy + (\ sin \ theta) x & \ cos \ theta + (1 - \ cos \ theta) z ^ 2 \ end {pmatrix}

7. Вираз матриці повороту через кватерніони

Якщо заданий кватерніони q = (w, x, y, z), то відповідна матриця повороту має вигляд:

Q = \ begin {bmatrix} 1 - 2 y ^ 2 - 2 z ^ 2 & 2 xy - 2 zw & 2 xz + 2 yw \ \ 2 xy + 2 zw & 1 - 2 x ^ 2 - 2 z ^ 2 & 2 yz - 2 xw \ \ 2 xz - 2 yw & 2 yz + 2 xw & 1 - 2 x ^ 2 - 2 y ^ 2 \ end {bmatrix}.

8. Властивості матриці повороту

Якщо \ Mathbf {M} - Матриця, що задає поворот навколо осі \ Vec n на кут φ , То:

  • | \ Mathbf {M} \ vec v | = | \ vec v |\ Forall \ vec v
  • \ Mathbf {M} \ vec n = \ vec n
  • (\ Mathbf {M} \ vec v, \ vec v) = (1 - \ cos \ varphi) (\ vec n \ cdot \ vec v) ^ 2 + (\ vec v) ^ 2 \ cos \ varphi
  • \ Operatorname {Tr} (\ mathbf {M}) = 1 + 2 \ cos \ varphi ( слід матриці обертання)
  • \ Det \ mathbf {M} = 1 (Матриця має одиничний визначник).
  • якщо рядки (або стовпці матриці) розглядати як координати векторів \ Vec a, \ vec b, \ vec c , То вірні наступні співвідношення):
    • | \ Vec a | = | \ vec b | = | \ vec c | = 1
    • \ Vec a \ cdot \ vec b = 0, \ vec b \ cdot \ vec c = 0, \ vec c \ cdot \ vec a = 0
    • \ Vec a \ times \ vec b = \ vec c, \ vec b \ times \ vec c = \ vec a, \ vec c \ times \ vec a = \ vec b
  • Матриця зворотного повороту виходить звичайним Транспонированием матриці прямого повороту, т. о. \ Mathbf {M} ^ \ mathrm {-1} = \ mathbf {M} ^ \ mathrm {T} .

Література

  • Лур'є А. І. Аналітична механіка - М .: Физматлит - 1961 р. - 824 с.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Точка повороту
Z-матриця
Матриця
Розріджена матриця
Трикутна матриця
Матриця як філософія
Кососімметрічная матриця
Матриця Якобі
Матриця (фото)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru