Маятник Капіци

Одна з конструкцій маятника Капіци: мотор приводить кривошип, який через шатун і важіль передає вібрацію на перевернутий маятник.

Маятником Капіци називається система, що складається з грузика, прикріпленого до легкої нерастяжимой спиці, яка кріпиться до вібрує підвісу. Маятник носить ім'я академіка і нобелівського лауреата П. Л. Капіци, який побудував в 1951 р. теорію для опису такої системи [1]. При нерухомій точці підвісу, модель описує звичайний математичний маятник, для якого є два положення рівноваги: ​​у нижній точці і в верхній точці. При цьому рівновага математичного маятника у верхній точці є нестійким, і будь-яке як завгодно мале обурення призводить до втрати рівноваги.

Дивною особливістю маятника Капіци є те, що всупереч інтуїції перевернуте (вертикальне) положення маятника може бути стійким у разі швидких вібрацій підвісу. Хоча таке спостереження було зроблено ще в 1908 р. А. Стефенсоном [2], протягом тривалого часу не малося математичного пояснення причин такої стійкості. П. Л. Капіца експериментально досліджував такий маятник, а також побудував теорію динамічної стабілізації, розділяючи рух на "швидкі" та "повільні" змінні і ввівши ефективний потенціал. Робота П. Л. Капіци, опублікована в 1951 році [1], відкрила новий напрям у фізиці - вібраційну механіку. Метод П. Л. Капіци використовується для опису коливальних процесів в атомній фізиці, фізики плазми, кібернетичної фізики. Ефективний потенціал, що описує "повільну складову руху", описується в томі "механіка" курсу теоретичної фізики Л. Д. Ландау [3].

Маятник Капіци цікавий ще й тим, що в такий простій системі можна спостерігати параметричні резонанси, коли нижнє положення рівноваги не є більше стійким і амплітуда малих відхилень маятника наростає з часом [4]. Також, при великій амплітуді змушують коливань в системі можуть реалізовуватися хаотичні режими, коли в перерізі Пуанкаре спостерігаються дивні атрактори.


1. Позначення

Схема маятника Капіци

Направимо вісь y вертикально вгору, а вісь x горизонтально, так щоб плоске рух маятника відбувалося в площині ( x - y ). Введемо позначення:

  • \ Nu - Частота змушують вертикальних гармонійних коливань підвісу,
  • a - Амплітуда змушують коливань,
  • \ Omega_0 = \ sqrt {g / l} - Власна частота коливань математичного маятника,
  • g - Прискорення вільного падіння,
  • l - Довжина легкого стрижня,
  • m - Маса тягарця.

Якщо кут між стрижнем і віссю y позначити як \ Varphi , То залежність координат грузика від часу запишеться наступними формулами:

\ Begin {matrix} \ left \ {\ begin {matrix} x & = & l \ sin \ varphi \ \ y & = & - l \ cos \ varphi - a \ cos \ nu t \ end {matrix} \ right. \ End {matrix}

2. Енергія маятника

Потенційна енергія маятника в полі тяжіння задається положенням грузика по вертикалі як

\ Begin {matrix} E_ {POT} = - mg (l \ cos \ varphi + a \ cos \ nu t) \;. \ End {matrix}

В кінетичної енергії крім звичайного доданка E_ {KIN} = m l ^ 2 \ dot \ varphi ^ 2/2 , Що описує рух математичного маятника, є додаткові складові, викликані вібрацією підвісу:

\ Begin {matrix} E_ {KIN} = \ frac {ml ^ 2} {2} \ dot \ varphi ^ 2 + mal \ nu ~ \ sin (\ nu t) \ sin (\ varphi) ~ \ dot \ varphi + \ frac {ma ^ 2 \ nu ^ 2} {2} \ sin ^ 2 (\ nu t) \;. \ End {matrix}

Повна енергія дається сумою кінетичної і потенційної енергій E = E_ {KIN} + E_ {POT} , А лагранжіана системи їх різницею L = E_ {KIN} - E_ {POT} .

Для математичного маятника повна енергія є сохраняющейся величиною, тому кінетична енергія E_ {KIN} і потенційна енергія E_ {POT} на графіку їх залежності від часу t симетричні відносно горизонтальної прямої. З теореми Віріа випливає, що середня кінетична і потенційна енергії в гармонійному осцилляторе рівні. Тому горизонтальна пряма, щодо якої мається симетрія E_ {KIN} і E_ {POT} , Відповідає половині повної енергії.

Характерні залежності потенційної і кінетичної енергій від часу для математичного маятника

Якщо підвіс коливається, то повна енергія більше не зберігається. Кінетична енергія є більш чутливою до вимушує коливанням, ніж потенційна. Потенційна енергія E_ {POT} = mgy обмежена як зверху, так і знизу -Mg (l + a) <E_ {POT} <mg (l + a) , В той час як кінетична енергія обмежена тільки знизу E_ {KIN} \ ge 0 . При великих значеннях частоти \ Nu , Кінетична енергія може бути багато більше потенційної.

Характерні залежності потенційної і кінетичної енергій від часу для маятника Капіци

3. Рівняння руху

Рух маятника задовольняє рівнянням Ейлера - Лагранжа. Залежність фази маятника \ Varphi від часу визначає положення тягарця [5] :

\ Begin {matrix} \ frac {d} {dt} \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot \ varphi} = \ frac {\ partial L} {\ partial \ varphi} \;. \ End {matrix}

Диференціальне рівняння, що описують еволюцію фази маятника

\ Begin {matrix} \ ddot \ varphi = - (a ~ \ nu ^ 2 \ cos \ nu t ~ + g) \ frac {\ sin \ varphi} {l} \;, \ end {matrix}

нелінійно через наявного в ньому множника \ Sin \ varphi . Наявність нелінійного доданка може призводити до хаотичного поведінки і появі дивних атракторів.


4. Положення рівноваги

Коливання маятника Капіци в глобальному (нижньому) мінімумі.

Модель маятника Капіци є більш загальною, ніж модель математичного маятника. Остання виходить в граничному випадку a = 0 . Фазовий портрет математичного маятника добре відомий. На координатній площині це просто окружність x ^ 2 + y ^ 2 = l ^ 2 = const . Якщо в початковий момент часу енергія маятника була більше, ніж максимум потенційної енергії E> mgl , То траєкторія буде замкнутою і циклічної. Якщо ж енергія маятника була менше E <mgl , То він буде робити періодичні коливання близько єдиною стійкою точки рівноваги з найменшим значенням потенційної енергії x = 0, ~ y =-l . У разі математичного маятника повна енергії системи не змінюється.

Коливання маятника Капіци в в локальному (верхньому) мінімумі.

У випадку a \ ne 0 система більш не є замкнутою і її повна енергія може змінюватися. Якщо при цьому, частота змушують коливань \ Nu багато більше частоти власних коливань \ Omega_0 , То такий випадок можна проаналізувати математично. Виявляється [1], що якщо ввести ефективний потенціал, у якому рухається маятник (повільно відносно частоти \ Nu ), То цей потенціал може мати два локальних мінімуму - один, як і раніше в нижній точці (0,-l) , А інший у верхній точці (0, l) . Тобто точка (0, l) абсолютно нестійкої рівноваги для математичного маятника, може виявитися точкою стійкої рівноваги для маятника Капіци.


5. Фазовий портрет

Портрет системи в координатному просторі для маятника Капіци при відносно невеликій амплітуді змушують коливань

Цікаві фазові портрети можуть бути отримані для значень параметрів, недоступних для аналітичного розгляду, наприклад у випадку великої амплітуди коливання підвісу a \ approx l [6] [7]. Якщо збільшити амплітуду змушують коливань до половини довжини маятника a = l / 2 , То вийде картина аналогічна тій, яка зображена на малюнку.

Портрет системи в координатному просторі для маятника Капіци при великій амплітуді змушують коливань

При подальшому збільшенні амплітуди a (Починаючи від значення a = l ), Весь внутрішній простір починає "замазуватися" повністю, тобто, якщо раніше не всі внутрішні точки координатного простору були доступні, то тепер система може побувати в будь-якій точці. Очевидно, що подальше збільшення довжини a принципово більш не змінить картину.


6. Цікаві факти

  • Як зазначав П. Л. Капіца, маятниковий годинник на вібруючому підставі завжди поспішають.
  • У коридорі інституту фізичних проблем стояла працююча модель маятника Капіци, і будь-який бажаючий міг на власні очі переконатися, як при її включенні маятник піднімався і залишався у вертикальному положенні.
  • Метод ефективного потенціалу був розроблений П. Л. Капіцею під час роботи над високочастотним генератором "ніготроном", названим так за місцем дослідження у себе на дачі на Ніколіна Горі. Для того щоб не було проблем з "секретністю" при публікації методу, П. Л. Капіца придумує просту фізичну модель, до якої був би застосовний цей метод. Таким чином, з'являються статті [1] про маятник з вібруючим підвісом.
  • П. Л. Капіца пропонував вирішити завдання в зміненому варіанті вступникам до нього в аспірантуру. Була потрібна відшукати умова стійкості акробата на дошці, покладеній на циліндр, що лежить на боку. Очікуваний відповідь була, що якщо акробат починав швидко переступати ногами, то його становище ставало стійким.
  • При ходьбі стійкість тіла збільшується в кілька разів у порівнянні зі стійкістю при стоянні. Цей біомеханічний феномен до теперішнього часу не вивчений. Існує гіпотеза, яка пояснює стійкість тіла при ходьбі коливальними рухами центру гомілковостопного суглоба. Тіло людини представляється з позиції перевернутого маятника з центром в області гомілковостопних суглобів, який набуває стійкість у вертикальному положенні, якщо його центр здійснює коливання вгору-вниз з досить високою частотою (маятник Капіци).

Література

  1. 1 2 3 4 Капіца П. Л. "Динамічна стійкість маятника при коливної точки підвісу" ЖЕТФ, т. 21, вип. 5. с. 588-597 (1951); Капіца П. Л. "Маятник з вібруючим підвісом", УФН, т. 44. Вип. 1. С. 7-20 (1951).
  2. A. Stephenson "On an induced stability" Phil. Mag. 15, 233 (1908)
  3. Ландау, Л. Д., Ліфшиц, Є. М. Механіка. - Видання 5-е, стереотипне. - М .: Физматлит, 2004. - 224 с. - ("Теоретична фізика", том I). - ISBN 5-9221-0055-6
  4. Бутіків Є. І. "Маятник з осцилюючих підвісом (до 60-річчя маятника Капіци"), навчальний посібник.
  5. Крайнов В. П. Вибрані математичні методи в теоретичній фізиці. Видавництво МФТІ (1996).
  6. Астрахарчік Г.Е і Астрахарчік Н. А. "Дослідження маятника Капіци" (GE Astrakharchik, NA Astrakharchik "Numerical study of Kapitza pendulum") arXiv: 1103.5981 (2011)
  7. Візуалізація в реальному часі рухів маятника Капіци доступна в інтернеті на маятника можуть бути вибрані довільно і вводяться вручну.