Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Межа послідовності



План:


Введення

В математики межею послідовності елементів простору називають елемент того ж простору, який має властивість "притягати", в деякому розумінні, елементи даної послідовності. Властивість послідовності, мати або не мати межу, називають збіжністю: якщо у послідовності є межа, то говорять, що дана послідовність сходиться, в іншому випадку (якщо у послідовності немає межі) говорять, що послідовність розходиться. Часто зустрічається, є межа числової послідовності.

Межею послідовності точок топологічного простору є така точка, кожна околиця якої містить всі елементи послідовності, починаючи з деякого номера. Усі відкриті, в сенсі даної топології, множини, що містять цю точку, утворюють систему околиць цієї точки. В метричному просторі систему околиць утворюють, наприклад, усі відкриті кулі з центром в цій точці. Тому властивість збіжності послідовності елементів метричного простору до даного пункту формулюється як здатність "утримувати" на заданій відстані всі крапки послідовності, починаючи з деякого номера.

Сходяться послідовності мають наступну властивість: кожна підпослідовність сходящейся послідовності сходиться, і її межа збігається з межею вихідної послідовності. Іншими словами, у послідовності не може бути двох різних меж. [1] Може, однак, виявитися, що у послідовності немає меж, але існує підпослідовність (даної послідовності), яка межа має. Якщо з послідовності точок простору можна виділити сходяться підпослідовність, то, кажуть, що даний простір компактно або, точніше, секвенційного компактно.

Поняття границі послідовності безпосередньо пов'язане з поняттям граничної точки (безлічі): якщо у безлічі є гранична точка, то існує послідовність елементів даної множини, що сходиться до даного пункту. Таким чином, у послідовності може бути декілька граничних точок, але, якщо послідовність сходиться, то все граничні точки збігаються один з одним і збігаються з межею самій послідовності.

Межа числової послідовності є основним об'єктом розгляду в математичному аналізі. В загальної топології розглядаються найбільш загальні властивості збіжності, а, також, вводяться і вивчаються узагальнення.


1. Визначення

Нехай дано топологічний простір T і послідовність ~ \ {X_n \}. Тоді, якщо існує елемент x \ in T такий, що

\ Forall U (x) \ exists N: \ forall n (n> N \ Rightarrow x_n \ in U (x)) ,

де U (x) - Відкрите безліч, що містить x , То він називається межею послідовності x n . Якщо простір є метричним, то межу можна визначити за допомогою метрики: якщо існує елемент x \ in T такий, що

\ Forall \ varepsilon> 0 \ exists N: \ forall n (n> N \ Rightarrow d (x_n, x) <\ varepsilon) ,

де d (x, y) - Метрика, то x називається межею x n .


2. Приклади

  • Якщо простір забезпечено антідіскретной топологією, то межею будь-якій послідовності буде будь-який елемент простору.

Примітки

  1. Строго кажучи, необхідно зажадати виконання властивостей отделимости один від одного точок топологічного простору. Наприклад, в Гаусдорфів топологічному просторі дві будь точки є віддільними. Кожне метричний простір є хаусдорфових, тому вказане властивість виконується автоматично.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Межа числової послідовності
Частковий межа послідовності
Дужкові послідовності
Твірна функція послідовності
Зірки до головної послідовності
Межа
Межа (математика)
Межа лісу
Межа плинності
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru