Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Метод Гаусса - Жордана



План:


Введення

Метод Гаусса - Жордана (метод повного виключення невідомих) - метод, який використовується для вирішення квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходження зворотної матриці, знаходження координат вектора у заданому базисі або відшукання рангу матриці. Метод є модифікацією методу Гауса. Названий на честь К. Ф. Гаусса та німецької геодезиста і математика Вільгельма Йордана [1].


1. Алгоритм

  1. Вибирають перший зліва стовпець матриці, в якому є хоч одне відмінне від нуля значення.
  2. Якщо саме верхнє число в цьому стовпці є нуль, то змінюють всю перший рядок матриці з іншого рядком матриці, де в цій колонці немає нуля.
  3. Всі елементи першого рядка ділять на верхній елемент вибраного стовпця.
  4. З решти рядків віднімають перший рядок, помножену на перший елемент відповідного рядка, з метою отримати першим елементом кожного рядка (крім першої) нуль.
  5. Далі проводять таку ж процедуру з матрицею, що виходить з вихідної матриці після викреслювання першого рядка і першого стовпця.
  6. Після повторення цієї процедури n - 1 раз отримують верхню трикутну матрицю
  7. Віднімаємо з передостанній рядки останній рядок, помноженої на відповідний коефіцієнт, за тим, щоб в передостанньому рядку залишилася тільки 1 на головній діагоналі.
  8. Повторюють попередній крок для наступних рядків. У результаті отримують одиничну матрицю і рішення на місці вільного вектора (з ним необхідно проводити всі ті ж перетворення).
  9. Щоб отримати зворотну матрицю, потрібно застосувати всі операції в тому ж порядку до одиничної матриці.

2. Приклад

Для вирішення наступної системи рівнянь:

\ Left \ {\ begin {array} {ccccccl} a & + & b & + & c & = & 0 \ \ 4a & + & 2b & + & c & = & 1 \ \ 9a & + & 3b & + & c & = & 3 \ end {array} \ right.

Запишемо її у вигляді матриці 3 4, де останній рядок є вільним членом:

\ Begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 \! & \ Vline & \! 0 \ \ 4 & 2 & 1 \! & \ Vline & \! 1 \ \ 9 & 3 & 1 \! & \ Vline & \! 3 \ end {pmatrix}

Проведемо наступні дії:

  • До рядку 2 додамо: -4 Рядок 1.
  • До рядку 3 додамо: -9 Рядок 1.

Отримаємо:

\ Begin {pmatrix} 1 & \ 1 & \ 1 \! & \ Vline & \! 0 \ \ 0 & -2 & -3 \! & \ Vline & \! 1 \ \ 0 & -6 & -8 \! & \ Vline & \! 3 \ end {pmatrix}
  • До рядку 3 додамо: -3 Рядок 2.
  • Рядок 2 ділимо на -2
\ Begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 \! & \ Vline & \! \ 0 \ \ 0 & 1 & {3 \ over 2} \! & \ Vline & \! - {1 \ over 2} \ \ 0 & 0 & 1 \! & \ Vline & \! \ 0 \ end {pmatrix}
  • До рядку 1 додамо: -1 Рядок 3.
  • До рядку 2 додамо: -3 / 2 Рядок 3.
\ Begin {pmatrix} 1 & 1 & 0 \! & \ Vline & \! \ 0 \ \ 0 & 1 & 0 \! & \ Vline & \! - {1 \ over 2} \ \ 0 & 0 & 1 \! & \ Vline & \! \ 0 \ end {pmatrix}
  • До рядку 1 додамо: -1 Рядок 2.
\ Begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \! & \ Vline & \! \ {1 \ over 2} \ \ 0 & 1 & 0 \! & \ Vline & \! - {1 \ over 2} \ \ 0 & 0 & 1 \! & \ Vline & \! \ 0 \ end {pmatrix}

У правому стовпчику отримуємо рішення:

a = \ frac {1} {2} \;; \ b = - \ frac {1} {2} \;; \ c = 0 .

Примітки

  1. Транскрипція прізвища Йордан як "Жордан" є помилковою, але вона загальноприйнята і зустрічається в більшості російськомовних джерел.

Література

  • Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. "Schaum's Outlines: Linear Algebra". Tata McGraw-hill edition. Delhi 2001. pp. 69-80.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Метод Гаусса
Метод Гаусса - Зейделя
Метод Гаусса (оптимізація)
Лемма Жордана
Теорема Жордана
Міра Жордана
Ознака Жордана
Дискримінант Гаусса
Постійна Гаусса
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru