Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Метод Ейлера



План:


Введення

Метод Ейлера - найбільш простий чисельний метод рішення (систем) звичайних диференціальних рівнянь. Вперше описаний Леонардом Ейлером у 1768 році в роботі "Інтегральне числення" [1]. Метод Ейлера є явним, однокроковим методом першого порядку точності, заснованому на апроксимації інтегральної кривої кусково лінійною функцією, т. зв. ламаної Ейлера.

Ламана Ейлера (червона лінія) - наближене рішення в п'яти вузлах задачі Коші та точне рішення цієї задачі (виділено синім кольором)

1. Опис методу

Нехай дана задача Коші для рівняння першого порядку

\ Frac {dy} {dx} = f (x, y),

y_ {| _ {x = x_0}} = y_0,

де функція f визначена на деякій області D \ subset R ^ 2 . Рішення розшукується на інтервалі (X_0, b] . На цьому інтервалі введемо вузли

x_0 <x_1 <\ dots <x_n \ le b.

Наближене рішення у вузлах x_i , Яке позначимо через y_i визначається за формулою

y_i = y_ {i-1} + (x_i-x_ {i-1}) f (x_ {i-1}, y_ {i-1}), \ quad i = 1,2,3, \ dots, n .

Ці формули узагальнюються на випадок систем звичайних диференціальних рівнянь.


2. Оцінка похибки

Метод Ейлера є методом першого порядку. Якщо функція f неперервна в D і безперервно дифференцируема по змінній y в D , То має місце наступна оцінка похибки

\ Left | y (x_i)-y_i \ right | = O (h),

де h - Середній крок, тобто існує C> 0 така, що C ^ {-1} \ le (x_i-x_ {i-1}) / h \ le C .

Зауважимо, що умови гладкості на праву частину, що гарантують єдиність розв'язку задачі Коші, необхідні для обгрунтування збіжності методу Ейлера.


3. Значення методу Ейлера

Метод Ейлера був історично першим методом чисельного розв'язання задачі Коші. О. Коші використовував цей метод для доказу існування розв'язку задачі Коші. Зважаючи на невисоку точності та обчислювальної нестійкості для практичного знаходження розв'язків задачі Коші метод Ейлера застосовується рідко. Однак у виду своєї простоти метод Ейлера знаходить своє застосування в теоретичних дослідженнях диференціальних рівнянь, задач варіаційного обчислення і ряду інших математичних проблем.


4. Модифікований метод Ейлера з перерахунком

Обчислення за методом Ейлера з перерахунком робляться в два етапи.

Прогноз:

\ Tilde y_i = y_ {i-1} + (x_i-x_ {i-1}) f (x_ {i-1}, y_ {i-1}) .

Корекція:

y_i = y_ {i-1} + \ frac {(x_i-x_ {i-1})} {2} (f (x_ {i-1}, y_ {i-1}) + f (x_i, \ tilde y_i)) .

Модифікований метод Ейлера з перерахунком має другий порядок точності, проте для його реалізації необхідно двічі обчислювати праву частину функції. Зауважимо, що метод Ейлера з перерахунком являє собою різновид методів Рунге-Кутта (предиктор-коректор).


Література

  • Ейлер Л. Інтегральне числення. Том 1. - М.: ГІТТЛ. 1956. [1]
  • Бабенко К. І. Основи чисельного аналізу. - М.: Наука. 1986.

Примітки

  1. Ейлер Л. Інтегральне числення, том 1, розділ 2, гл. 7.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Гіпотеза Ейлера
Формула Ейлера
Рівняння Ейлера
Пряма Ейлера
Круги Ейлера
Функція Ейлера
Критерій Ейлера
Рівняння Ейлера
Кути Ейлера
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru