Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Метрика Хаусдорфа



План:


Введення

Метрика Хаусдорфа є природна метрика, визначена на множині всіх непустих компактних підмножин метричного простору. Таким чином, метрика Хаусдорфа перетворює множину всіх непорожніх компактних підмножин метричного простору в метричний простір.

Мабуть, перша згадка цієї метрики міститься в книзі Хаусдорфа "Теорія множин", перше видання 1914 року. Двома роками пізніше, та ж метрика описується в книзі Бляшці "Круг і куля", можливо незалежно, оскільки не містить посилання на книгу Хаусдорфа.


1. Визначення

Нехай X і Y суть два непустих компактних підмножини метричного простору M . Тоді відстань по Хаусдорфу, d_H (X, \; Y) , Між X і Y є мінімальне число r таке, що замкнута r -Околиця X містить Y і також замкнута r -Околиця Y містить X .

Іншими словами, якщо | Xy | позначає відстань між точками x і y в M то

d_H (X, \; Y) = \ max \ left \ {\ sup_ {x \ in X} \ inf_ {y \ in Y} | xy |, \; \ sup_ {y \ in Y} \ inf_ {x \ in X} | xy | \ right \}.

2. Властивості

Нехай F (M) позначає множину всіх непорожніх компактних підмножин метричного простору M з метрикою Хаусдорфа:

  • Топологія простору F (M) повністю визначається топологією M .
  • (Теорема Бляшке) F (M) компактно тоді і тільки тоді, коли компактно M .
  • F (M) повно тоді і тільки тоді, коли M повне.

3. Варіації і узагальнення

  • Іноді метрика Хаусдорфа розглядається на множині всіх замкнутих підмножин метричного простору, в цьому випадку відстань між деякими підмножинами може дорівнювати нескінченності.
  • Іноді метрика Хаусдорфа розглядається на множині всіх підмножин метричного простору. У цьому випадку вона є лише псевдометрікой і не є метрикою, так як "відстань" між різними підмножинами може дорівнювати нулю.
  • В евклідової геометрії, часто застосовується метрика Хаусдорфа з точністю до конгруентності. Нехай X і Y два компактних підмножини евклідового простору, тоді D_H (X, \; Y) визначається як мінімум d_H (I (X), \; Y) по всім рухам евклідового простору I . Строго кажучи, ця метрика на просторі класів конгруентності компактних підмножин евклідового простору.
  • Метрика Громова - Хаусдорфа аналогічна метриці Хаусдорфа з точністю до конгруентності. Вона перетворює безліч (ізометричних класів) компактних метричних просторів в метричний простір.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Теорема Хаусдорфа
Міра Хаусдорфа
Розмірність Хаусдорфа
Принцип максимуму Хаусдорфа
Метрика
Метрика Шварцшильда
Метрика (поезія)
Метрика Геделя
Індукована метрика
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru