Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Метрика простору-часу



План:


Введення

Схематична двомірна ілюстрація викривлення простору-часу біля масивного тіла

Метрика простору-часу - 4-тензор, який визначає властивості простору-часу в загальної теорії відносності.

Як правило, позначається символом g i j .

В інерціальній системі відліку матриця метричного тензора простору-часу має вигляд

\ Hat {g} = \ left (\ begin {matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ \ 0 & -1 & 0 & 0 \ \ 0 & 0 & -1 & 0 \ \ 0 & 0 & 0 & - 1 \ end {matrix} \ right) .

В неінерційній системах відліку вигляд метрики простору-часу змінюється і загалом залежить від точки простору і моменту часу.

Метрика простору-часу задає викривлення простору, який відчуває спостерігач, який рухається з прискоренням. Так як за принципом еквівалентності спостерігач жодним чином не може відрізнити неінерціонность пов'язаної з ним системи відліку від гравітаційного поля, то метрика простору-часу визначає також викривлення простору в полі масивних тіл.

Просторово-часовий інтервал виражається через метрику простору-часу формулою

ds ^ 2 = g_ {ij} dx ^ i dx ^ j \, .

Так як метрика задає перетворення координат, то її називають також метричним тензором.

Метрика простору-часу використовується для встановлення зв'язку між коваріантними і контраваріантнимі записами будь-якого 4-вектора

A_i = g_ {ij} A ^ j \, .

1. Властивості

Метричний тензор симетричний щодо своїх індексів, тобто g i j = g j i . Це видно із загальної формули для квадрата диференціала просторово-часового інтервалу. Детермінант метрики простору-часу, який позначається через g, негативний.

Контраваріантная форма метричного тензора пов'язана з коваріантний за допомогою повністю антісімметріческого тензора четвертого порядку

E ^ {ijkl} = \ frac {1} {\ sqrt {-g}} e ^ {ijkl} \, ,

де e i j k l - Звичайний повністю антісімметріческій тензор, визначений в інерційній системі відліку, тобто тензор, компоненти якого дорівнюють 1 або -1 і змінюють знак при перестановці будь-яких двох індексів.

Таким чином

g ^ {ij} = \ frac {1} {\ sqrt {-g}} e ^ {ijkl} g_ {kl} \,

Метричний тензор, як і будь-якої симметрический тензор, можливо вибором системи відліку звести до діагонального вигляду. Однак ця операція справедлива тільки до певної точки простору-часу і, в загальному випадку, не може бути проведена для всього простору-часу.


2. Власний час

Квадрат диференціалу просторово-часового інтервалу для однієї просторової точки дорівнює

d s 2 = g 00 (d x 0) 2 = c 2 d τ 2 ,

де с - швидкість світла в вакуумі.

Величину

\ Tau = \ frac {1} {c} \ int \ sqrt {g_ {00}} dx ^ 0

називають власним часом для даної точки простору.

3. Просторовий інтервал

Квадрат відстані між двома нескінченно близькими точками задається формулою

dl ^ 2 = \ gamma_ {\ alpha \ beta} dx ^ \ alpha dx ^ \ beta = \ left (- g_ {\ alpha \ beta} + \ frac {g_ {\ alpha 0} g_ {0 \ beta}} { g_ {00}} \ right) dx ^ \ alpha dx ^ \ beta

Грецькі індекси використовуються тоді, коли підсумовування ведеться лише по просторових координатах. Тензор γ αβ є метричним тензором для тривимірного простору.

Інтегрувати певне таким чином відстань не можна, так як результат залежав би від світової лінії, по якій би велося інтегрування. Таким чином, у загальній теорії відносності поняття відстані між далекими об'єктами в тривимірному просторі втрачає сенс. Єдине виключення - ситуація, в якій метричний тензор g i j не залежить від часу.


4. Зовнішні посилання


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Кривизна простору-часу
Філософія простору-часу
Розмірність простору
Однорідність простору
Ізотропності простору
Метрика
Простору Бервальде-Моора
Психологія сприйняття простору
Кватерніони і обертання простору
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru