Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Метричний тензор



План:


Введення

Метричний тензор або метрика - це симетричне тензорне поле рангу 2 на гладкому різноманітті, за допомогою якого задаються скалярний твір векторів в дотичному просторі, довжини кривих, кути між кривими і т. д.

В окремому випадку поверхні метрика також називається першої квадратичної формою.

В загальної теорії відносності метрика розглядається в якості фундаментального фізичного поля (гравітаційного) на чотиривимірному різноманітті фізичного простору-часу. Широко використовується і в інших побудовах теоретичної фізики, зокрема, в біметріческіх теоріях гравітації на просторі-часі розглядають відразу дві метрики.

  • (Далі в формулах цієї статті з повторюваними індексами скрізь мається на увазі підсумовування за правилом Ейнштейна, тобто за кожним повторюваному індексом).

1. Способи завдання

1.1. Координатне представлення

Метричний тензор в локальних координатах x ^ 1, x ^ 2, \ dots, x ^ n , Зазвичай задається як коваріантного тензорне поле g_ {ij} \ . Через нього визначаються скалярні твори координатних векторних полів \ Partial_i = \ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} :

\ Left \ langle \ partial_i, \ partial_j \ right \ rangle = g_ {ij}.

А для будь-яких векторних полів, скалярний твір обчислюється за формулою

\ Left \ langle v, w \ right \ rangle = g_ {ij} v ^ iw ^ j ,

де v = v ^ i \ partial_i \, w = w ^ i \ partial_i - Представлення векторних полів у локальних координатах.


1.1.1. Зауваження

Іноді метричний тензор задається двоїстим способом, за допомогою контраваріантного тензора g i j .

У разі невироджених метрик

g ^ {ij} g_ {jk} = \ delta ^ i_k,

де \ Delta ^ i_k - символ Кронекера. В цьому випадку обидва способи еквівалентні, і обидва подання метрики бувають корисні.

Для вироджених метрик іноді зручніше користуватися саме контраваріантной метрикою. Наприклад, субріманова метрика може бути визначена через тензор g i j , Але тензор g i j для неї невизначений.


1.2. Подання в полі реперів

Іноді зручно задавати метричний тензор через вбрання (не обов'язково координатне, як це описано вище) поле реперів, тобто вибором реперної поля ~ \ {E_i (p) \} і матриці g_ {ik} (p) = \ langle e_i (p), e_k (p) \ rangle .

Наприклад, Ріманом метричний тензор може бути заданий ортонормированном полем реперів [1].


1.3. Індукована метрика

Метрика, яка індукується гладким вкладенням r різноманіття M в евклидово простір E , Може бути порахована по формулі:

g = J_r ^ T J_r,

де J r означає матрицю Якобі вкладення r і J ^ T_r - транспонована до неї. Інакше кажучи, скалярні твори базисних координатних векторів дотичного простору \ Frac {\ partial} {\ partial x_i} , Які в цьому випадку можна ототожнити з \ Frac {\ partial r} {\ partial x_i} , Визначаються як

g_ {ij} = g \ left (\ frac \ partial {\ partial x_i}, \ frac \ partial {\ partial x_j} \ right) = \ left \ langle \ frac {\ partial r} {\ partial x_i}, \ frac {\ partial r} {\ partial x_j} \ right \ rangle,

де \ Langle *, * \ rangle позначає скалярний твір у E .


1.3.1. Більш узагальнено

Нехай (N, h) різноманіття з метрикою і r: M \ to N гладке вкладення. Тоді метрика g на M , Визначена рівністю

g (X, Y) = h (d r (X), d r (Y))

називається індукованої метрикою. Тут d r позначає диференціал відображення r .

2. Типи метричних тензорів

Сукупність метричних тензорів g підрозділяється на два класи:

  • невироджені або псевдоріманови метрики, коли \ \ Det (g_ {ij}) \ neq 0 у всіх точках різноманіття. Серед невироджених метричних тензорів, в свою чергу, розрізняються:
    • Ріманом метричний тензор (або ріманова метрика), для якого квадратична форма є позитивно визначеною. Різноманіття з виділеним рімановим метричним тензором називається рімановим, вони мають природну структуру метричного простору.
    • Власне псевдоріманов метричний тензор (або індефінітная метрика), коли форма не є знакоопределенной. Різноманіття з виділеним псевдорімановим метричним тензором називається (Власне) псевдорімановим.
  • Вироджені метрики, коли \ \ Det (g_ {ij}) = 0 або \ \ Det (g ^ {ij}) = 0 в деяких точках.

Зазвичай під метричним тензором без спеціального на те вказівки в математиці розуміється Ріманом метричний тензор, але якщо, розглядаючи невироджених метричний тензор, хочуть підкреслити, що мова йде саме про ріманової, а не псевдорімановом метричного тензора, то про нього говорять як про власне рімановим метричного тензора. У фізиці під метричним тензором зазвичай розуміють лоренцева метрику простору-часу.

Іноді під псевдорімановим тензором і псевдорімановим різноманіттям розуміють те, що вище визначено як власне псевдоріманови метрика і різноманіття, а для перших зберігається тільки термін "невироджених метрика" і відповідно "різноманіття з невиродженої метрикою".


3. Пов'язані визначення

  • Вектор нульової довжини в просторі з метрикою називається псевдорімановой ізотропним (також нульовим або светоподобного) і задає певний ізотропне направлення на різноманітті; наприклад, світло в просторово-часовому континуумі подорожує вздовж ізотропних напрямів.
  • Різноманіття з виділеним рімановим метричним тензором називається рімановим різноманіттям.
  • Різноманіття з виділеним псевдорімановим метричним тензором називається псевдорімановим різноманіттям.
  • Метрики на різноманітті називаються геодезично еквівалентними, якщо їх геодезичні (що розглядаються як непараметрізованние криві) збігаються.

4. Властивості

  • Ріманом метричний тензор може бути введений на будь-якому паракомпактном гладкому різноманітті.
  • Індефінітная метрика не породжує метричного простору. Однак на її основі може бути, принаймні в деяких випадках, спеціальним чином побудована топологія (див. Топологія Александрова), взагалі кажучи, не збігається з природною топологією різноманіття.

5. Метрика і обсяг

Визначник матриці метричного тензора | Det {g i j} | дає квадрат обсягу паралелепіпеда, натягнутого на базисні вектори. (В ортонормированном базисах це одиниця).

Тому величина \ Sqrt {| \ det \ {g_ {ij} \} |} відіграє важливу роль при обчисленні обсягів, а також при інтегруванні за обсягом. Зокрема, \ Sqrt {| \ det \ {g_ {ij} \} |} входить у загальне вираз тензора Леві-Чівіта, використовуваного для обчислення змішаного твори, векторного твори та їх багатовимірних аналогів.

Інтегрування ж за обсягом включає цей множник, наприклад, при необхідності проінтегрувати в координатах якийсь скаляр (щоб результат був інваріантним):

S = \ int s (x) \, d \ Omega = \ int s (x) \ sqrt {| \ det \ {g_ {ij} \} |} \, dx ^ 1 \, dx ^ 2 \, \ ldots \, dx ^ n,

де d Ω - Це елемент n -Мірного обсягу, а d x i - диференціали координат.

  • Для подмногообразій об'єм (площа) визначається як обсяг (площа) щодо індукованої метрики.

6. Приклади

  • Метричний тензор на евклідової площини:
    • В прямокутних декартових координатах одиничного масштабу метричний тензор постійний (не залежить від координат) і представлений одиничної матрицею (його компоненти рівні символу Кронекера)
      g = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ \ 0 & 1 \ end {bmatrix}, \ \ g_ {ij} = \ delta_ {ij}
    • У прямокутних декартових координатах непоодинокі масштабу метричний тензор представлений постійної (не залежної від координат) діагональної матрицею, ненульові компоненти якої визначаються масштабом по кожній осі (взагалі кажучи вони не рівні).
    • У косокутних декартових координатах метричний тензор постійний (не залежить від координат) і позитивно визначений, але в іншому, взагалі кажучи, представлений довільній симетричною матрицею.
    • В полярних координатах : (R, θ)
      g = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ \ 0 & r ^ 2 \ end {bmatrix} \
  • Метричний тензор на сфері. Сфера (двовимірна) радіуса R , Вкладена в тривимірний простір, має природну метрику, індуковану евклідової метрикою осяжний простору. У стандартних сферичних коордіранах (Θ, φ) метрика набуває вигляду:
    g = \ begin {bmatrix} R ^ 2 & 0 \ \ 0 & R ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {bmatrix}.
  • Метричний тензор для тривимірного евклідового простору:
    • В прямокутних декартових координатах одиничного масштабу метричний тензор постійний (не залежить від координат) і представлений одиничної матрицею (його компоненти рівні символу Кронекера)
      g = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \ \ 0 & 1 & 0 \ \ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}, \ \ g_ {ij} = \ delta_ {ij}
    • У прямокутних декартових координатах непоодинокі масштабу метричний тензор представлений постійної (не залежної від координат) діагональної матрицею, ненульові компоненти якої визначаються масштабом по кожній осі (взагалі кажучи вони не рівні).
    • У косокутних декартових координатах метричний тензор постійний (не залежить від координат) і позитивно визначений, але в іншому, взагалі кажучи, представлений довільній симетричною матрицею.
    • В сферичних координатах : (R, θ, φ) :
      g = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \ \ 0 & r ^ 2 & 0 \ \ 0 & 0 & r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {bmatrix}.

7. Ізоморфізм між дотичним і кокасательним простором

Метричний тензор встановлює ізоморфізм між дотичним простором і кокасательним простором : нехай v \ in T_p M - Вектор з дотичного простору, тоді для метричного тензора g на M , Ми отримуємо, що g (v, \ cdot) , Тобто відображення, яке переводить інший вектор w \ in T_p M в число g (v, w) , Є елементом дуального простору лінійних функціоналів (1-форм) T_p ^ * M . Невиродженого метричного тензора (якщо або де вона є) перетворює це відображення в біекцію, а той факт, що g сам по собі є тензор, робить це відображення незалежним від координат.

Для тензорних полів це дозволяє "піднімати і опускати індекси" у будь-якого тензорного поля (жаргонна назва - "жонглювання індексами"). У компонентах операція підняття-опускання індексу, виглядає так:

\ G_ {ij} v ^ j = v_i - Опускання індексу для вектора,
\ G ^ {ij} v_j = v ^ i - Підняття індексу для вектора,
\ G ^ {ij} g_ {mn} T_ {j \ \ \ pq} ^ {\ nrs} = T_ {\ m \ \ pq} ^ {i \ \ rs} - Приклад одночасного підняття індексу j і опускання індексу n для тензора великий валентності.

(До скаляра ця операція, природно, не застосовується).

Для тензороподобних об'єктів (що не є тензорами), як наприклад символи Крістоффеля, перетворення контраваріантних компонент в коваріантний і назад визначається, як правило, так само як і для тензорних. При бажанні жонглювання можна застосувати і до матрицям Якобі, тільки в цьому випадку потрібно простежити за тим, що метрика для підняття-опускання перший індекс буде, звичайно, взагалі кажучи, відрізнятися від метрики для такої ж операції з другим.


Примітки

  1. Див, наприклад,
    • Картан Е. Ж. Ріманова геометрія в ортогональному репере. - М.: изд-во МГУ, [1926-1927] 1960
    • Картан Е. Ж. Теорія кінцевих безперервних груп і диференціальна геометрія викладена методом рухомого репера. - М.: изд-во МГУ, [1930] 1963



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Метричний простір
Тензор
4-тензор
Тензор деформації
Симетричний тензор
Тензор Річчі
Тензор кривизни
Тензор Вейля
Тензор напружень
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru