Механічне рівновагу

Механічне рівновага - стан механічної системи, при якому сума всіх сил, діючих на кожну її частинку, дорівнює нулю і сума моментів всіх сил, прикладених до тіла відносно будь довільно взятої осі обертання, також дорівнює нулю.

У стані рівноваги тіло знаходиться в спокої (вектор швидкості дорівнює нулю) у вибраній системі відліку або рухається рівномірно прямолінійно або обертається без дотичного прискорення.


1. Визначення через енергію системи

В механіці суцільного середовища, де приймається гіпотеза суцільності, таке визначення не застосовується. До того ж дане визначення нічого не говорить про одну з найбільш важливих характеристик рівноваги - його стійкості. Тому більш загальне і поширене визначення механічної рівноваги звучить так: Механічне рівновага - стан системи, при якому її положення в конфігураційному просторі знаходиться в точці з нульовим градієнтом потенційної енергії.

Так як енергія і сили пов'язані фундаментальними залежностями, це визначення еквівалентно першому. Однак визначення через енергію може бути розширене для того, щоб отримати інформацію про стійкість положення рівноваги.


2. Види рівноваги

Наведемо приклад для системи з одного ступенем свободи. У цьому випадку достатньою умовою положення рівноваги буде наявність локального екстремуму в досліджуваній точці. Як відомо, умовою локального екстремуму функції, що диференціюється є рівність нулю її першої похідної. Щоб визначити, коли ця точка є мінімумом або максимумом, необхідно проаналізувати її другу похідну. Стійкість положення рівноваги характеризується наступними варіантами:

  • нестійку рівновагу;
  • стійка рівновага;
  • байдуже рівновагу.

2.1. Нестійку рівновагу

У разі, коли друга похідна від'ємна, потенційна енергія системи знаходиться в стані локального максимуму. Це означає, що положення рівноваги нестійке. Якщо система буде зміщена на невелику відстань, то вона продовжить свій рух за рахунок сил, діючих на систему.

2.2. Стійка рівновага

Друга похідна> 0: потенційна енергія в стані локального мінімуму, положення рівноваги стійко (див. Теорема Лагранжа про стійкість рівноваги). Якщо систему змістити на невелику відстань, вона повернеться назад в стан рівноваги. Рівновага стійко, якщо центр ваги тіла займає найнижча становище порівняно з усіма можливими сусідніми положеннями.


2.3. Байдуже рівновагу

Друга похідна = 0: в цій області енергія не варіюється, а положення рівноваги є байдужим. Якщо система буде зміщена на невелику відстань, вона залишиться в новому положенні.

  • Види стійкості
  • Нестійку рівновагу

  • Стійка рівновага

  • Байдуже рівновагу


2.4. Стійкість в системах з великим числом ступенів свободи

Якщо система має кілька ступенів свободи, то може виявитися, що при відхиленнях уздовж конкретного напрямку рівновагу стійко, але якщо рівновага нестійка хоча б в одному напрямку, то воно хитке і в цілому. Найпростішим прикладом такої ситуації є точка рівноваги типу "сідловина" або "перевал".

Рівновага системи з декількома ступенями свободи буде стійким лише в тому випадку, якщо воно стійко по всіх напрямках.