Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Многочлен



План:


Введення

Многочлен (або поліном) від n змінних - це кінцева формальна сума виду

\ Sum_I c_I x_1 ^ {i_1} x_2 ^ {i_2} \ cdots x_n ^ {i_n} ,

де I = (i_1, i_2, \ dots, i_n) є набір з цілих невід'ємних чисел (називається мультііндекс), c I - Число (зване "коефіцієнт многочлена"), що залежить тільки від мультііндекса I.

Зокрема, многочлен від однієї змінної є кінцева формальна сума виду

c_0 + c_1x ^ 1 + \ dots + c_nx ^ n.

де c i фіксовані коефіцієнти, а x - Змінна.

Многочлени складають один з найважливіших класів елементарних функцій.


1. Вивчення і застосування

Вивчення поліноміальних рівнянь і їх рішень становило чи не головний об'єкт "класичної алгебри". З вивченням многочленів пов'язаний цілий ряд перетворень в математиці: введення в розгляд нуля, негативних, а потім і комплексних чисел, а також поява теорії груп як розділу математики і виділення класів спеціальних функцій в аналізі.

Технічна простота обчислень, пов'язаних з многочленами, у порівнянні з більш складними класами функцій, а також той факт, що безліч многочленів щільно в просторі безперервних функцій на компактних подмножествах евклідова простору (див. апроксимаційні теорема Вейєрштрасса), сприяли розвитку методів розкладання в ряди і поліноміальної інтерполяції в математичному аналізі.

Многочлени також відіграють ключову роль в алгебраїчної геометрії, об'єктом якої є множини, визначені як рішення систем многочленів. Особливі властивості перетворення коефіцієнтів при множенні многочленів використовуються в алгебраїчній геометрії, алгебри, теорії вузлів та інших розділах математики для кодування, або вирази многочленами властивостей різних об'єктів.


2. Пов'язані визначення

  • Многочлен називається унітарним або наведеним, якщо його старший коефіцієнт дорівнює одиниці.
  • Многочлен виду c x_1 ^ {i_1} x_2 ^ {i_2} \ cdots x_n ^ {i_n} називається одночленів або мономах
    • Одночлен, відповідний мультііндексу I = (0, \ dots, \, 0) називається вільним членом.
  • У випадку, коли многочлен має всього два ненульових члена, його називають двучленной або біном,
  • У випадку, коли многочлен має всього три ненульових члена, його називають тричленної.
  • Повної ступенем (ненульового) одночлена c_I x_1 ^ {i_1} x_2 ^ {i_2} \ cdots x_n ^ {i_n} називається ціле число | I | = i_1 + i_2 + \ dots + i_n .
    • Ступенем многочлена називається максимальна зі ступенів його одночленів, тотожний нуль не має ступені
  • Безліч мультііндексов I , Для яких коефіцієнти c I ненульові, називається носієм многочлена, а його опукла оболонка - багатогранником Ньютона.
  • Коефіцієнти многочлена зазвичай беруться з певного комутативної кільця R (Найчастіше поля, наприклад, поля речових або комплексних чисел). У цьому випадку, щодо операцій додавання і множення многочлени утворюють кільце (більше того асоціативно-комутативну алгебру над кільцем R без дільників нуля) яке позначається: R [x_1, x_2, \ dots, x_n].

3. Подільність

Многочлен, який можна представити у вигляді добутку многочленів нижчих ступенів з коефіцієнтами з даного поля, називається приводиться (над даним полем), в іншому випадку - непріводімим. Непріводімие багаточлени грають в кільці многочленів роль, подібну до ролі простих чисел в кільці цілих чисел. Наприклад, вірна теорема: якщо твір p q ділиться на непріводімий многочлен λ , То p або q ділиться на λ . Кожен многочлен, ступеня більшою нуля, розкладається в даному полі у твір непріводімий множників єдиним чином (з точністю до множників нульової ступеня).

Наприклад, многочлен x 4 - 2 , Непріводімий в поле раціональних чисел, розкладається на три множника в поле дійсних чисел і на чотири множника в поле комплексних чисел.

Взагалі, кожен многочлен від одного змінного x розкладається в поле дійсних чисел на множники першого та другого ступеня, в поле комплексних чисел - на множники першого ступеня ( основна теорема алгебри).

Для двох і більшого числа змінних цього вже не можна стверджувати. Над будь-яким полем для будь-якого n> 2 існують многочлен від n змінних, Непріводімие в будь-якому розширенні цього поля. Такі многочлени називаються абсолютно непріводімим.


4. Поліноміальні функції

Нехай A є алгебра над кільцем R . Довільний многочлен p (x) \ in R [x_1, x_2, \ dots, x_n] визначає поліноміальну функцію

p_R: A \ to A .

Найчастіше розглядають випадок A = R .

У випадку, якщо R є поле речових або комплексних чисел (а також будь-яке інше поле з нескінченним числом елементів), функція f_p: R ^ n \ to R повністю визначає многочлен p. Проте в загальному випадку це невірно, наприклад: многочлени p_1 (x) \ equiv x і p_2 (x) \ equiv x ^ 2 з \ Z_2 [x] визначають тотожно рівні функції \ Z_2 \ to \ Z_2 .


5. Властивості


6. Варіації і узагальнення

  • Якщо у визначенні допустити також негативні ступеня, то отриманий об'єкт називається многочленом Лорана (див. ряд Лорана).
  • Квазімногочлен
  • Тригонометричний многочлен

Література

  • Винберг Е. Б. Алгебра багаточленів - М .: Просвещение, 1980. - 176 с.
  • Солодовников А. С, Батьківщина М. А. Задачник-практикум з алгебри - М .: Просвещение, 1985. - 127 с.
  • В. В. Прасолов Многочлени - МЦНМО, 2003. - 336 с. - ISBN 5-94057-077-1.
  • Тадея Д. К., соминського І. С. Збірник задач з вищої алгебри - М ., 1977.



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Примітивний многочлен
Інтерполяційний многочлен
Многочлен Бернштейна
Анулює многочлен
Гармонійний многочлен
Характеристичний многочлен матриці
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru