Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Модуль над кільцем



План:


Введення

Модуль над кільцем - одне з основних понять в абстрактної алгебри, що є узагальненням двох алгебраїчних понять - векторного простору (тут кільцем є поле), і абелевих групи (де кільце співпадає з кільцем цілих чисел \ Z ).

Поняття модуля лежить в основі комутативної алгебри, яка відіграє важливу роль в різних областях математики, таких як


1. Визначення

Нехай R \ - Кільце (як правило, вважається комутативних c одиничним елементом). R \ -Модулем називається абелева група M \ з операцією множення на елементи кільця R \

R \ times M \ to M, \ quad (r, m) \ mapsto rm,

яка задовольняє таким умовам:

1) \ Forall m \ in M, \, \ forall r_1, r_2 \ in R \ quad (r_1r_2) m = r_1 (r_2m),
2) \ Exists 1 \ in R: \ forall m \ in M ​​\ quad 1m = m1 = m.
3) \ Forall m_1, m_2 \ in M, \, \ forall r \ in R \ quad r (m_1 + m_2) = rm_1 + rm_2,
4) \ Forall m \ in M, \, \ forall r_1, r_2 \ in R \ quad (r_1 + r_2) m = r_1m + r_2m.

Примітка: У разі некомутативних кільця такі модулі часто називаються лівими. Правими модулями називають у цьому випадку такі об'єкти, у яких умова 1) замінено наступним:

\ Forall m \ in M, \, \ forall r_1, r_2 \ in R \ quad (r_1r_2) m = r_2 (r_1m), , Що набагато зручніше формулювати, записуючи елемент кільця при множенні праворуч від елемента модуля:

\ Forall m \ in M, \, \ forall r_1, r_2 \ in R \ quad m (r_1r_2) = (mr_1) r_2, , Звідси і термінологія.

Будь-яке кільце R можна розглядати як модуль над собою (в некомутативних випадку воно є також правим модулем над собою).

Модуль називається простим, якщо він не містить нетривіальних подмодулей.

Модуль E називається полуприем, якщо виконуються наступні еквівалентні умови:

1) E розкладається в суму простих модулів,
2) E розкладається в пряму суму простих модулів,
3) для будь-якого подмодуля F існує подмодуль G, що їх пряма сума є E.

2. Пов'язані визначення і властивості

  • Подмодулем модуля M_R \ називається підгрупа B \ групи M \ , Замкнута щодо множення на елементи з R \ , Тобто така, що
\ Forall b \ in B, \ r \ in R \: rb \ in B .
  • Якщо кільце R розглядати як модуль над собою то його подмодулі є лівими ідеалами, якщо кільце розглядати як правий модуль, то правими ідеалами, в комутативної випадку поняття лівого і правого ідеалів збігаються.
  • Гомоморфизмом або R - Гомоморфізмом R -Модулів A і B називається гомоморфізм груп \ Phi: A \ to B , Для якого виконано додаткову умову \ Phi (ra) = r \ phi (a) \ forall a \ in A, r \ in R . Безліч всіх таких гомоморфізмом позначають через Hom_R (A, \ B) . На цій множині можна ввести структуру абелевих групи, визначаючи 0, - і + равенствами
0a = 0, \ (- \ phi) a = - (\ phi a), \ (\ phi + \ psi) a = \ phi a + \ psi a .
  • Модуль називають Артинова ( нетеровим), якщо кожна спадна (зростаюча) послідовність його подмодулей стабілізується за кінцеве число кроків.

3. Приклади

  • Будь абелева група - модуль над кільцем цілих чисел.
  • Лінійне простір над полем F є модулем над F .
  • Лінійне простір V - Модуль над кільцем всіх своїх лінійних перетворень L (V)
  • Диференціальні форми на гладкому різноманітті M забезпечені природною структурою модуля над кільцем всіх гладких функцій на M .

4. Історія

Найпростіші приклади модулів (кінцеві абелеві групи, тобто \ Z -Модулі) з'являються вже у Гаусса як групи класів бінарних квадратичних форм. Загальне поняття модуля зустрічається вперше в 60-80-х рр.. 19 в. в роботах Дедекинда і Кронекера, присвячених арифметиці полів алгебраїчних чисел і алгебраїчних функцій. Проводилося приблизно в цей же час дослідження скінченновимірних асоціативних алгебр, і зокрема групових алгебр кінцевих груп (Б. Пірс, Ф. Фробеніус), привело до вивчення ідеалів деяких некомутативних кілець. Спочатку теорія модулів розвивалась переважно як теорія ідеалів деякого кільця. Лише пізніше в роботах Е. Нетер і В. Крулля (W. Krull) було відмічено, що багато результати зручніше формулювати і доводити в термінах довільних модулів, а не тільки ідеалів.


Література

  • Ван дер Варден Б.Л. Алгебра-М:, Наука, 1975
  • Зарисского О., Самюель П. коммутативна алгебра т.1-М:, ІЛ, 1963
  • Ленг С. Алгебра-М:, Світ, 1967

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Алгебра над кільцем
Алгебра над кільцем
Модуль
Модуль (програмування)
Нетер модуль
Здійсненний модуль
Вільний модуль
Артін модуль
Модуль стоку
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru