Модуль пружності

Модуль пружності - загальна назва кількох фізичних величин, що характеризують здатність твердого тіла (матеріалу, речовини) пружно деформуватися (тобто не постійно) при додатку до нього сили. В області пружної деформації модуль пружності тіла визначається похідною (градієнтом) залежності напруги від деформації, тобто тангенсом кута нахилу діаграми напруг-деформацій:

\ Lambda \ \ stackrel {\ text {def}} {=} \ \ frac {p} {\ varepsilon}

де:

  • λ (лямбда) - модуль пружності;
  • p - напруга, що викликається в зразку діючою силою (одно силі, діленої на площу прикладання сили);
  • \ Varepsilon - пружна деформація зразка, викликана напругою (дорівнює відношенню зміни розміру зразка після деформації до його початкового розміру).

Якщо напруга вимірюється в паскалях, то, оскільки деформація є безрозмірною величиною, одиницею виміру λ також буде паскаль. Альтернативним визначенням є визначення, що модуль пружності - це напруга, достатня для того, щоб викликати збільшення довжини зразка в два рази. Таке визначення не є точним для більшості матеріалів, тому що це значення набагато більше ніж межа текучості матеріалу або значення, при якому подовження стає нелінійним, проте воно може виявитися більш інтуїтивним.

Різноманітність способів, якими можуть бути змінені напруги і деформації, включаючи різні напрямки дії сили, дозволяють визначити безліч типів модулів пружності. Тут дано три основних модулі:

  • Модуль Юнга (E) характеризує опір матеріалу розтягуванню / стисненню при пружною деформації, або властивість об'єкта деформуватися уздовж осі при впливі сили вздовж цієї осі; визначається як відношення напруги до деформації стиснення (подовження). Часто модуль Юнга називають просто модулем пружності.
  • Модуль зсуву або модуль жорсткості (G або \ Mu ) Характеризує здатність матеріалу чинити опір зміні форми при збереженні його об'єму; він визначається як відношення напруги зсуву до деформації зсуву, яка визначається як зміна прямого кута між площинами, за якими діють дотичні напруження). Модуль зсуву є однією зі складових явища в'язкості.
  • Модуль об'ємної пружності або Модуль об'ємного стиснення (K) характеризує здатність об'єкта змінювати свій обсяг під впливом всебічного нормального напруги (об'ємного напруги), однакового в усіх напрямках (виникаючого, наприклад, при гідростатичному тиску). Він дорівнює відношенню величини об'ємного напруги до величини відносного об'ємного стиснення. На відміну від двох попередніх величин, модуль об'ємної пружності нев'язкої рідини відмінний від нуля (для нестисливої ​​рідини - нескінченний).

Існують і інші модулі пружності: коефіцієнт Пуассона, параметри Ламе.

Гомогенні та ізотропні матеріали (тверді), що володіють лінійними пружними властивостями, повністю описуються двома модулями пружності, що представляють собою пару будь-яких модулів. Якщо дана пара модулів пружності, всі інші модулі можуть бути отримані за формулами, наведеними в таблиці нижче.

В нев'язких течіях не існує сдвигового напруги, тому зсувне модуль завжди дорівнює нулю. Це тягне також і рівність нулю модуля Юнга.

Формули перетворення
Пружні властивості гомогенних ізотропних лінійно-пружних матеріалів унікально визначаються будь-якими двома модулями пружності. Таким чином, маючи два модулі, інші можна обчислити за такими формулами:
(\ Lambda, \, G)(E, \, G)(K, \, \ lambda)(K, \, G)(\ Lambda, \, \ nu)(G, \, \ nu)(E, \, \ nu)(K, \, \ nu)(K, \, E)
K = \, \ Lambda + \ frac {2G} {3} \ Frac {EG} {3 (3G-E)}\ Lambda \ frac {1 + \ nu} {3 \ nu}\ Frac {2G (1 + \ nu)} {3 (1-2 \ nu)}\ Frac {E} {3 (1-2 \ nu)}
E = \,G \ frac {3 \ lambda + 2G} {\ lambda + G}9K \ frac {K-\ lambda} {3K-\ lambda}\ Frac {9KG} {3K + G}\ Frac {\ lambda (1 + \ nu) (1-2 \ nu)} {\ nu}2G (1 + \ nu) \,3K (1-2 \ nu) \,
\ Lambda = \,G \ frac {E-2G} {3G-E}K-\ frac {2G} {3}\ Frac {2 G \ nu} {1-2 \ nu}\ Frac {E \ nu} {(1 + \ nu) (1-2 \ nu)}\ Frac {3K \ nu} {1 + \ nu}\ Frac {3K (3K-E)} {9K-E}
G = \,3 \ frac {K-\ lambda} {2}\ Lambda \ frac {1-2 \ nu} {2 \ nu}\ Frac {E} {2 +2 \ nu}3K \ frac {1-2 \ nu} {2 +2 \ nu}\ Frac {3KE} {9K-E}
\ Nu = \,\ Frac {\ lambda} {2 (\ lambda + G)}\ Frac {E} {2G} -1\ Frac {\ lambda} {3K-\ lambda}\ Frac {3K-2G} {2 (3K + G)}\ Frac {3K-E} {6K}
M = \,\ Lambda +2 G \,G \ frac {4G-E} {3G-E}3K-2 \ lambda \,K + \ frac {4G} {3}\ Lambda \ frac {1 - \ nu} {\ nu}G \ frac {2-2 \ nu} {1-2 \ nu}E \ frac {1 - \ nu} {(1 + \ nu) (1-2 \ nu)}3K \ frac {1 - \ nu} {1 + \ nu}3K \ frac {3K + E} {9K-E}

Модулі пружності (Е) для деяких речовин:

Матеріал Е, МПа Е, кгс / см
Алюміній 70000 713800
Вода 2030 20300
Дерево 10000 102000
Кость 30000 305900
Мідь 100000 1020000
Гума * 10 102
Сталь 200000 2039000
Скло 70000 713800