Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Модулярная функція



Модулярная функція - голоморфних функцій, визначена на верхній комплексної півплощини (тобто безлічі \ Mathbb {H} = \ {x + iy \; | y> 0; x, y \ in \ mathbb {R} \} ), Є інваріантної щодо перетворень модулярной групи або певної її підгрупи і задовольняє умови голоморфних в параболічних точках. Модулярні форми і модулярні функції широко використовуються в теорії чисел, а також в алгебраїчної топології і теорії струн.


Приклади

G_ {2k} (z) = \ sum_ {(m, n) \ in \ mathbb {Z} ^ 2 \ backslash (0,0)} \ frac {1} {(m + n \ tau) ^ {2k} }.

де z \ in \ mathbb {H} .

  • Нехай
g_2 = 60 \ sum_ {(m, n) \ neq (0,0)} (m + n \ tau) ^ {-4}, \ qquad g_3 = 140 \ sum_ {(m, n) \ neq (0, 0)} (m + n \ tau) ^ {-6} - Модулярні інваріанти, \ Delta = g_2 ^ 3-27g_3 ^ 2 - Модулярної дискримінант.

Визначимо також:

j (\ tau) = 1728 {g_2 ^ 3 \ over \ Delta} - Основний модулярної інваріант (j-інваріант).

Виконуються рівності:

g_2 (\ tau +1) = g_2 (\ tau), \; g_2 (- \ tau ^ {-1}) = \ tau ^ 4g_2 (\ tau)
\ Delta (\ tau +1) = \ Delta (\ tau), \; \ Delta (- \ tau ^ {-1}) = \ tau ^ {12} \ Delta (\ tau)

Також дані функції задовольняють відповідні властивості голоморфних. Тобто g_2 - Модулярная форма ваги 4, \ Delta - Модулярная форма ваги 12. Відповідно g_2 ^ 3 - Модулярная форма ваги 12, а j (z) - Модулярная функція. Дані функції мають важливе застосування в теорії еліптичних функцій і еліптичних кривих.


Література

  • Сарнак П. Модулярні форми та їх застосування. - М .: Фазисам, 1998. - ISBN 5-70364029-4
  • Tom M. Apostol Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. - New York: Springer-Verlag, 1990. - ISBN 0-387-97127-0
  • Robert A. Rankin Modular forms and functions. - Cambridge: Cambridge University Press, 1977. - ISBN 0-521-21212-X

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Модулярная група
R-функція
θ-функція
Функція
Хі-функція Лежандра
Проста функція
Функція Уолша
Функція Ландау
Функція Аккермана
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru