Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Мозаїка Пенроуза



План:


Введення

Мозаїка Пенроуза.

Мозаїка Пенроуза, плитки Пенроуза - неперіодичне розбиття площини, аперіодичні регулярні структури, замощення площині ромбами двох типів - з кутами 72 і 108 ("товсті ромби") і 36 і 144 ("тонкі ромби"), такими (підкоряються пропорції " золотого перерізу "), що будь-які два сусідніх (тобто мають спільну сторону) ромба не утворюють разом паралелограм [1].

Всі такі замощення неперіодичних і локально ізоморфні одна одній (тобто будь-який кінцевий фрагмент однієї мозаїки Пенроуза зустрічається в будь-який інший).


1. Властивості

" Самоподібність "- можна так об'єднати сусідні плитки мозаїки, щоб знову вийшла мозаїка Пенроуза.

Кілька відрізків можна намалювати на кожній з двох плиток так, що при викладанні мозаїки кінці цих відрізків сполучаться і на площині утворюються кілька сімейств паралельних прямих ліній (смуги Аммана).

Відстані між сусідніми паралельними прямими беруть рівно два різних значення (а для кожного сімейства паралельних прямих послідовність цих значень має самоподібність).

Мозаїки Пенроуза, що мають дірки, покривають всю площину, за винятком фігури кінцевої площі. Збільшити діру, знявши кілька (кінцеве число) плиток, після чого замостити непокриту частину повністю, не можна.


2. Історія

Названа на честь Роджера Пенроуза, цікавився проблемою "замощення", тобто заповнення площині фігурами однієї форми без зазорів і перекривання.

Завдання вирішується замощенням фігурами, що створюють періодично повторюваний малюнок, але Пенроуз хотів відшукати саме таку фігуру, яка при замощення площині не створювала б повторюваних візерунків. Вважалося [2], що немає таких плиток, з яких будувалися б тільки неперіодичні мозаїки. Пенроуз підбирав безліч плиток різної форми, в результаті їх виявилося тільки 2, що мають "Золотий перетин", яке лежить в основі всіх гармонійних співвідношень. Це постаті ромбовидної форми з кутами 108 і 72 . Пізніше фігури спростилися до форми просто ромба (36 і 144 ), в основі лежить принцип "золотого трикутника".

Отримані візерунки мають квазікристалічної форму, яка має осьову симетрію 5-го порядку. Структура мозаїки пов'язана з послідовністю Фібоначчі.

Пізніше вчені США та Ізраїлю - Д. Шехтман, І. Блех, Д. Гратіас і Дж. Кан - зробили сенсаційне відкриття, виявивши неперіодичні структуру швидко охолодженого сплаву марганцю і алюмінію. Раніше вважалося, що кристали мають осьову симетрію лише 1-го, 2-го, 3-го, 4-го і 6-го порядку. Іншими словами, кристали, що мають осьову симетрію 5-го порядку, перебувають у стані плавного переходу між аморфними тілами і періодичними кристалами.


3. У тривимірному просторі

У тривимірному просторі використовуються ікосаедра, якими здійснюється щільне заповнення тривимірного простору [3].

4. В архітектурі

На території сучасного Ірану в провінції Ісфахан така аперіодичної мозайка прикрашає побудовану в 1453 році мечеть Дарбі-і Імам.

Примітки

  1. Мозаїки Пенроуза - kolmsem.math.ru/rus/talks/2006/2006-11-13.html
  2. Математиком Хао Вангом (en)
  3. Плитки Пенроуза - www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320031.htm

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Трикутник Пенроуза
Мозаїка
Нільська мозаїка
Битва при Иссе (мозаїка)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru