Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Момент імпульсу



План:


Введення

Момент імпульсу (кінетичний момент, кутовий момент, орбітальний момент, момент кількості руху) характеризує кількість обертального руху. Величина, що залежить від того, скільки маси обертається, як вона розподілена відносно осі обертання і з якою швидкістю відбувається обертання.

Слід врахувати, що обертання тут розуміється в широкому сенсі, не тільки як регулярне обертання навколо осі. Наприклад, навіть при прямолінійному русі тіла повз довільній уявної точки, не лежить на лінії руху, воно також має моментом імпульсу. Найбільшу, мабуть, роль момент імпульсу відіграє при описі власне обертального руху. Проте вкрай важливий і для набагато більш широкого класу задач (особливо - якщо в задачі є центральна або осьова симетрія, але не тільки в цих випадках).

Зауваження: момент імпульсу відносно точки - це псевдовектори, а момент імпульсу відносно осі - псевдоскаляр.

Момент імпульсу замкнутої системи зберігається.


1. Момент імпульсу в класичній механіці

Зв'язок між імпульсом \ Scriptstyle {\ mathbf p} і моментом \ Scriptstyle {\ mathbf L}

1.1. Визначення

Момент імпульсу \ Mathbf L частинки відносно деякого початку відліку визначається векторним твором її радіус-вектора і імпульсу :

~ \ Mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p},

де ~ \ Mathbf r - Радіус-вектор частинки щодо обраного нерухомого в даній системі відліку початку відліку, ~ \ Mathbf p - Імпульс частинки.

Для кількох часток момент імпульсу визначається як (векторна) сума таких членів:

~ \ Mathbf {L} = \ sum_i \ mathbf {r} _i \ times \ mathbf {p} _i,

де ~ \ Mathbf r_i, \ mathbf p_i - Радіус-вектор і імпульс кожної частки, що входить в систему, момент імпульсу якої визначається.

(У межі кількість частинок може бути нескінченним, наприклад, у випадку твердого тіла з безперервно розподіленої масою або взагалі розподіленої системи це може бути записано як ~ \ Mathbf {L} = \ int \ mathbf {r} \ times \ mathbf {dp}, де \ Mathbf {dp} - Імпульс нескінченно малого точкового елемента системи).

В системі СІ момент імпульсу вимірюється в одиницях джоуль - секунда; Дж с.

З визначення моменту імпульсу слід його адитивність : як, для системи частинок зокрема, так і для системи, що складається з декількох підсистем, виконується:

\ Mathbf {L} _ \ Sigma = \ sum \ limits_i \ mathbf {L} _i .

  • Зауваження: в принципі момент імпульсу може бути обчислений щодо будь-якого початку відліку (отримані при цьому різні значення пов'язані очевидним чином), а проте найчастіше (для зручності і визначеності) його обчислюють щодо центру мас або закріпленої точки обертання твердого тіла ітп).

1.2. Обчислення моменту

Оскільки момент імпульсу визначається векторним твором, він є псевдовектори, перпендикулярним обом векторах ~ \ Mathbf r і ~ \ Mathbf p . Однак, у випадках обертання навколо осі незмінною, буває зручно розглядати не момент імпульсу як псевдовектори, а його проекцію на вісь обертання як скаляр, знак якого залежить від напрямку обертання. Якщо обрана така вісь, що проходить через початок відліку, для обчислення проекції кутового моменту на неї можна вказати ряд рецептів відповідно до загальних правил перебування векторного добутку двох векторів.

L = | \ mathbf {r} | | \ mathbf {p} | \ sin \ theta_ {r, \; p},

де ~ \ Theta_ {r, \; p} - Кут між ~ \ Mathbf r і ~ \ Mathbf p , Визначається так, щоб поворот від ~ \ Mathbf r до ~ \ Mathbf p проводився проти годинникової стрілки з точки зору спостерігача, що знаходиться на позитивній частині осі обертання. Напрямок повороту важливо при обчисленні, так як визначає знак шуканої проекції.

Запишемо ~ \ Mathbf r у вигляді ~ \ Mathbf {r} = \ mathbf {r_ {\ parallel}} + \ mathbf {r_ {\ perp}} , Де ~ \ Mathbf {r_ {\ parallel}} - Складова радіус-вектора, паралельна вектору імпульсу, а ~ \ Mathbf {r_ {\ perp}} - Аналогічно, перпендикулярна йому. ~ \ Mathbf {r_ {\ perp}} є, по суті, від відстані від осі обертання до вектора ~ \ Mathbf p , Яке зазвичай називають "плечем". Аналогічно можна розділити вектор імпульсу на дві складові: паралельну радіус-вектору ~ \ Mathbf {p_ {\ parallel}} і перпендикулярну йому ~ \ Mathbf {p_ {\ perp}} . Тепер, використовуючи лінійність векторного твори, а також властивість, згідно з яким твір паралельних векторів дорівнює нулю, можна отримати ще два вирази для ~ L .

\ Mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = (\ mathbf {r_ {\ perp}} + \ mathbf {r_ {\ parallel}}) \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {r_ {\ perp}} \ times \ mathbf {p} + \ mathbf {r_ {\ parallel}} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {r_ {\ perp}} \ times \ mathbf {p}.
\ Mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {r} \ times (\ mathbf {p_ {\ perp}} + \ mathbf {p_ {\ parallel}}) = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p_ {\ perp}}.

1.3. Збереження кутового моменту

Симетрія в фізики
Перетворення Інваріантність Закон
збереження
трансляції часу Консервативність ... Енергії
Ізотропія часу Ізотропія часу ... Ентропії
трансляції простору Однорідність ... Імпульсу
Обертання Ізотропності
простору
... Моменту
імпульсу
Група Лоренца Відносність
Лоренц-інваріантність
... Інтервалу

Закон збереження моменту імпульсу (закон збереження кутового моменту): векторна сума всіх моментів імпульсу щодо будь нерухомої точки (або сума моментів щодо будь нерухомої осі) для замкнутої системи залишається постійною з часом.

Похідна моменту імпульсу за часом є момент сили :

\ Tau = \ frac {d \ mathbf {L}} {dt} = \ frac {d \ mathbf {r}} {dt} \ times \ mathbf {p} + \ mathbf {r} \ times \ frac {d \ mathbf {p}} {dt} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F},

Таким чином, вимога замкнутості системи може бути ослаблена до вимоги рівності нулю головного (сумарного) моменту зовнішніх сил:

\ Mathbf {L} _ {\ mathrm {system}} = \ mathrm {constant} \ leftrightarrow \ sum \ tau_ {\ mathrm {ext}} = 0,

де ~ \ Tau_ {\ rm ext} - Момент однією з сил, прикладених до системи частинок. (Але звичайно, якщо зовнішні сили взагалі відсутні, ця вимога також виконується).

Математично закон збереження моменту імпульсу випливає з Ізотропія простору, тобто з інваріантності простору по відношенню до повороту на довільний кут. При повороті на довільний нескінченно малий кут ~ \ Delta \ varphi , Радіус-вектор частинки з номером ~ I зміняться на ~ \ Delta \ mathbf {r} _i = \ delta \ varphi \ times \ mathbf {r} _i , А швидкості - ~ \ Delta \ mathbf {v} _i = \ delta \ varphi \ times \ mathbf {v} _i . Функція Лагранжа ~ \ Mathcal L системи при такому повороті не зміниться, внаслідок Ізотропія простору. Тому

\ Delta \ mathcal L = \ mathcal L (\ mathbf {r} _i + \ delta \ mathbf {r} _i, \; \ mathbf {v} _i + \ delta \ mathbf {v} _i) - \ mathcal L (\ mathbf {r} _i, \; \ mathbf {v} _i) = \ sum \ limits_i \ left (\ frac {\ partial \ mathcal L} {\ partial \ mathbf r_i} \ delta \ varphi \ times \ mathbf r_i + \ frac {\ partial \ mathcal L} {\ partial \ mathbf v_i} \ delta \ varphi \ times \ mathbf v_i \ right) = 0.

З урахуванням \ Frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ mathbf v_ {i}}} = \ mathbf {p_ {i}}, \; \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ mathbf {r_ {i}}} = \ mathbf {\ dot p_ {i}} , Де ~ \ Mathbf p_i - Узагальнений імпульс ~ I -Тої частки, кожний доданок в сумі з останнього виразу можна переписати у вигляді

\ Dot {\ mathbf p_i} \, \ delta \ varphi \ times \ mathbf r_i + \ mathbf p_i \, \ delta \ varphi \ times \ mathbf {\ dot r_i}.

Тепер, користуючись властивістю змішаного твори, зробимо циклічну перестановку векторів, в результаті чого отримаємо, виносячи загальний множник:

\ Delta \ mathcal L = \ delta \ varphi \ sum \ limits_i \ left (\ mathbf r_i \ times \ dot {\ mathbf p_i} + \ dot {\ mathbf r_i} \ times \ mathbf p_i \ right) = \ delta \ varphi \ frac {d} {dt} \ sum \ limits_i (\ mathbf r_i \ times \ mathbf p_i) = \ delta \ varphi \ frac {d \ mathbf L} {dt} = 0,

де, \ Mathbf L = \ sum \ mathbf L_i = \ sum \ mathbf r_i \ times \ mathbf p_i - Момент імпульсу системи. Зважаючи довільності δφ , З рівності \ Delta \ mathcal L = 0 слід ~ \ Frac {d \ mathbf L} {dt} = 0 .

На орбітах момент імпульсу розподіляється між власним обертанням планети і моменту імпульсу її орбітального руху:

\ Mathbf {L} _ {\ mathrm {total}} = \ mathbf {L} _ {\ mathrm {spin}} + \ mathbf {L} _ {\ mathrm {orbit}}.

2. Момент імпульсу в електродинаміці

При описі руху зарядженої частинки в електромагнітному полі, канонічний імпульс ~ P не є інваріантним. Як наслідок, канонічний момент імпульсу ~ \ Mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} теж не інваріантний. Тоді беремо реальний імпульс, який також називається "кінетичним імпульсом":

~ \ Mathbf {p} - \ frac {e \ mathbf {A}} {c},

де ~ E - електричний заряд, ~ C - швидкість світла, ~ A - векторний потенціал. Таким чином, гамільтоніан (інваріантний) зарядженої частинки маси m в електромагнітному полі:

H = \ frac {1} {2m} \ left (\ mathbf {p} - \ frac {e \ mathbf {A}} {c} \ right) ^ 2 + e \ varphi,

де ~ \ Varphi - скалярний потенціал. З цього потенціалу слід закон Лоренца. Інваріантний момент імпульсу або "кінетичний момент імпульсу" визначається:

K = \ mathbf {r} \ times \ left (\ mathbf {p} - \ frac {e \ mathbf {A}} {c} \ right).

3. Момент імпульсу в квантовій механіці

3.1. Оператор моменту

В квантової механіки момент імпульсу квантуется, тобто він може змінюватися лише за "квантовим рівнями" між точно визначеними значеннями. Проекція на будь-яку вісь моменту імпульсу часток, обумовленого їх просторовим рухом, повинна бути цілим числом, помноженим на \ Hbar ( h з рискою), яка визначається, як постійна Планка, поділена на . Експерименти показують, що більшість частинок мають постійний внутрішній момент імпульсу, який не залежить від їхнього руху через простір. Цей спінової момент імпульсу завжди кратний \ Hbar / 2 . Наприклад, електрон в стані спокою має момент імпульсу \ Hbar / 2 .

У класичному визначенні момент імпульсу залежить від 6 змінних ~ R_x , ~ R_y , ~ R_z , ~ P_x , ~ P_y , І ~ P_z . Перекладаючи це на квантово визначення, використовуючи принцип невизначеності Гейзенберга, отримуємо, що неможливо обчислити всі шість змінних одночасно з будь-якою точністю. Тому є обмеження на те, що ми можемо дізнатися чи підрахувати про практичне моменті імпульсу. Це означає, що краще, що ми можемо зробити - це підрахувати одночасно величину вектора моменту імпульсу і його компоненти по осях.

Математично повний момент імпульсу в квантовій механіці визначається як оператор фізичної величини із суми двох частин, пов'язаних з просторовим рухом - в атомній фізиці такий момент називають орбітальним, і внутрішнім спіном частки - відповідно, спінові. Перший оператор діє на просторові залежності хвильової функції:

\ Hat {\ mathbf {L}} = \ hat {\ mathbf {r}} \ times \ hat {\ mathbf {p}},

де \ Hat {\ mathbf {r}} і \ Hat {\ mathbf {p}} - Координатний і імпульсний оператор, відповідно, а другий - на внутрішні, спінові. Зокрема, для однієї частинки без електричного заряду і без спина, оператор кутового моменту може бути записаний як:

\ Hat {\ mathbf {L}} =- i \ hbar (\ mathbf {r} \ times \ nabla),

де \ Nabla - оператор Набла. Це часто зустрічається форма оператора моменту імпульсу, але не найголовніша, вона має такі властивості:

[L_i, \; L_j] = i \ hbar \ varepsilon_ {ijk} L_k, \ quad \ left [L_i, \; \ mathbf {L} ^ 2 \ right] = 0 , Де \ Varepsilon_ {ijk} - Сімвол_Леві-Чівіта;

і навіть більш важливі підстановки з гамильтонианом частинки без заряду і спина:

\ Left [L_i, \; H \ right] = 0

3.2. Симетрія обертання

Оператори моменту імпульсу зазвичай зустрічаються при вирішенні завдань сферичної симетрії в сферичних координатах. Тоді момент імпульсу в просторовому відображенні:

- \ Frac {1} {\ hbar ^ 2} \ mathbf {L} ^ 2 = \ frac {1} {\ sin \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ left (\ sin \ theta \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right) + \ frac {1} {\ sin ^ 2 \ theta} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial \ varphi ^ 2}

Коли знаходять власні значення цього оператора, отримують таке:

L ^ 2 \ mid l, \; m \ rang = {\ hbar} ^ 2 l (l +1) \ mid l, \; m \ rang
L_z \ mid l, \; m \ rang = \ hbar m \ mid l, \; m \ rang,

де

\ Lang \ theta, \; \ varphi \ mid l, \; m \ rang = Y_ {l, \; m} (\ theta, \; \ varphi)

- сферичні функції.


4. Обчислення моменту імпульсу в механіці нерелятивистской

Якщо є матеріальна точка масою ~ M , Що рухається зі швидкістю ~ \ Mathbf {v} і перебуває в точці, описуваної радіус-вектором ~ \ Mathbf {r} , То момент імпульсу обчислюється за формулою:

~ \ Mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times m \ mathbf {v},

де \ Times - Знак векторного твори.

Щоб розрахувати момент імпульсу тіла, його треба розбити на нескінченно малі шматочки і векторно підсумувати їхні моменти як моменти імпульсу матеріальних точок, тобто взяти інтеграл :

\ Mathbf L = \ int \ limits_V {\ mathbf {dL}} = \ int \ limits_V {\ mathbf r \ times \ mathbf v \, dm}.

Можна переписати це через щільність ρ :

\ Mathbf L = \ int \ limits_V {\ mathbf r \ times \ mathbf v \ rho dV}.

(Якщо вважати, що ρ (x, y, z) - узагальнена функція, що включає, можливо, і дельтоподібним члени, то остання формула застосовна і до розподілених, і до дискретних систем).

Для систем, що здійснюють обертання як ціле (як абсолютно тверде тіло) навколо однієї з осей симетрії (або, більш загально - навколо так званих головних осей інерції тіла), справедливе співвідношення

~ \ Mathbf {L} = I \ boldsymbol {\ omega},

де ~ I - момент інерції відносно осі обертання, ~ \ Boldsymbol \ omega - Вектор кутовий швидкості.

У загальному випадку вектор моменту пов'язаний з вектором кутової швидкості через лінійний оператор моменту інерції ( тензор інерції):

\ Mathbf {L} = \ hat I \ boldsymbol {\ omega}
  • За початок відліку при обчисленні моментів інерції або тензора інерції в принципі може бути взята будь вісь або точка, при цьому будуть отримані різні величини, пов'язані один з одним через теорему Штейнера. Проте практично за замовчуванням зазвичай вибирається центр мас або закріплена вісь (центр), що є найчастіше і зручнішим.



Література

  • Біденхарн Л., Лаук Дж. Кутовий момент у квантовій фізиці. Теорія і додатки. Том 1. М.: Мир, 1984. - 302 с.
  • Блохинцев Д. І. Основи квантової механіки. П'ятий вид. Наука, 1976. - 664 с.
  • Боума А. Квантова механіка: основи та програми. М.: Мир, 1990. - 720c.
  • Варшаловіч Д. А., Москальов А. Н., Херсонський В. К. Квантова теорія кутового моменту. Л.: Наука, 1975.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Закон збереження імпульсу
Тензор енергії-імпульсу
Закон збереження моменту імпульсу
Момент (фотоапарат)
Музичний момент
Момент часу
Момент інерції
Магнітний момент
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru