Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Момент інерції



План:


Введення

Момент інерції - скалярна фізична величина, міра інертності під обертальному русі навколо осі, подібно до того, як маса тіла є мірою його інертності в поступальному русі. Характеризується розподілом мас у тілі: момент інерції дорівнює сумі творів елементарних мас на квадрат їх відстаней до базового безлічі (точки, прямої або площини).

Одиниця виміру СІ : кг м.

Позначення: I або J.

Розрізняють декілька моментів інерції - залежно від різноманіття, від якого відраховується відстань точок.


1. Осьовий момент інерції

Осьові моменти інерції деяких тіл.

Моментом інерції механічної системи відносно нерухомої осі ("осьовий момент інерції") називається величина J a, рівна сумі творів мас всіх n матеріальних точок системи на квадрати їх відстаней до осі:

J_a = \ sum_ {i = 1} ^ n m_i r_i ^ 2 \, \! ,

де:

  • m i - маса i-й точки,
  • r i - відстань від i-й точки до осі.

Осьовий момент інерції тіла J a є мірою інертності тіла під обертальному русі навколо осі подібно до того, як маса тіла є мірою його інертності в поступальному русі.

J_a = \ int \ limits_ {(m)} r ^ 2dm = \ int \ limits_ {(V)} \ rho r ^ 2dV \, \! ,

де:

  • dm = \ rho dV - Маса малого елемента об'єму тіла dV ,
  • \ Rho - Щільність,
  • r - Відстань від елемента dV до осі a.

Якщо тіло однорідне, тобто його щільність всюди однакова, то

J_a = \ rho \ int \ limits_ {(V)} r ^ 2dV \, \!


1.1. Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент інерції твердого тіла відносно якої-небудь осі залежить не тільки від маси, форми і розмірів тіла, але також від положення тіла по відношенню до цієї осі. Згідно теоремі Штейнера (теоремі Гюйгенса-Штейнера), момент інерції тіла J щодо довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла J c щодо осі, що проходить через центр мас тіла паралельно розглядається осі, і твори маси тіла m на квадрат відстані d між осями:

J = J_c + md ^ 2 \, \!

Якщо ~ J_0 - Момент інерції тіла відносно осі, що проходить через центр мас тіла, то момент інерції щодо паралельної осі, розташованої на відстані ~ D від неї, дорівнює

~ J = J_0 + md ^ 2 ,

де ~ M - Повна маса тіла.

Наприклад, момент інерції стрижня відносно осі, що проходить через його кінець, дорівнює:

~ J = J_0 + md ^ 2 = \ frac {1} {12} ml ^ 2 + m \ left (\ frac {l} {2} \ right) ^ 2 = \ frac {1} {3} ml ^ 2


1.2. Осьові моменти інерції деяких тіл

Моменти інерції однорідних тіл найпростішої форми щодо деяких осей обертання
Тіло Опис Положення осі a Момент інерції J a
Traegheit a punktmasse.png Матеріальна точка маси m На відстані r від точки, нерухома ~ Mr ^ 2
Traegheit b zylindermantel.png Порожній тонкостінний циліндр або кільце радіуса r і маси m Вісь циліндра ~ Mr ^ 2
Traegheit c vollzylinder.png Суцільний циліндр або диск радіуса r і маси m Вісь циліндра \ Frac {1} {2} mr ^ 2
Traegheit d hohlzylinder2.png Порожній товстостінний циліндр маси m із зовнішнім радіусом r 2 і внутрішнім радіусом r 1 Вісь циліндра m \ frac {r_2 ^ 2 + r_1 ^ 2} {2}
Traegheit e vollzylinder 2.png Суцільний циліндр довжини l, радіусу r і маси m Вісь перпендикулярна до циліндра і проходить через його центр мас {1 \ over 4} m \ cdot r ^ 2 + {1 \ over 12} m \ cdot l ^ 2
Traegheit f zylindermantel 2.png Порожній тонкостінний циліндр (кільце) довжини l, радіусу r і маси m Вісь перпендикулярна до циліндра і проходить через його центр мас {1 \ over 2} m \ cdot r ^ 2 + {1 \ over 12} m \ cdot l ^ 2
Traegheit g stab1.png Прямий тонкий стрижень довжини l і маси m Вісь перпендикулярна до стрижня і проходить через його центр мас \ Frac {1} {12} ml ^ 2
Traegheit h stab2.png Прямий тонкий стрижень довжини l і маси m Вісь перпендикулярна до стрижня і проходить через його кінець \ Frac {1} {3} ml ^ 2
Traegheit i kugel1.png Тонкостінна сфера радіуса r і маси m Вісь проходить через центр сфери \ Frac {2} {3} mr ^ 2
Traegheit j kugel1.png Куля радіуса r і маси m Вісь проходить через центр кулі \ Frac {2} {5} mr ^ 2
Cone (geometry). Svg Конус радіуса r і маси m Вісь конуса \ Frac {3} {10} mr ^ 2
Рівнобедрений трикутник з висотою h, підставою a і масою m Вісь перпендикулярна площині трикутника і проходить через вершну \ Frac {1} {24} m (a ^ 2 +12 h ^ 2)
Правильний трикутник зі стороною a і масою m Вісь перпендикулярна площині трикутника і проходить через центр мас \ Frac {1} {12} ma ^ 2
Квадрат зі стороною a і масою m Вісь перпендикулярна площині квадрата і проходить через центр мас \ Frac {1} {6} ma ^ 2

1.3. Висновок формул

Тонкостінний циліндр (кільце, обруч)

Висновок формули

Момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції складових його частин. Разоб'ем тонкостінний циліндр на елементи з масою dm і моментами інерції dJ i. Тоді

J = \ sum dJ_i = \ sum R ^ 2_idm. \ Qquad (1)

Оскільки всі елементи тонкостінного циліндра знаходяться на однаковій відстані від осі обертання, формула (1) перетворюється до виду

J = \ sum R ^ 2dm = R ^ 2 \ sum dm = mR ^ 2.

Товстостінний циліндр (кільце, обруч)

Висновок формули

Нехай є однорідне кільце із зовнішнім радіусом R, внутрішнім радіусом R 1, товщиною h і щільністю ρ. Розіб'ємо його на тонкі кільця товщиною dr. Маса і момент інерції тонкого кільця радіуса r складе

dm = \ rho dV = \ rho \ cdot 2 \ pi rhdr; \ qquad dJ = r ^ 2dm = 2 \ pi \ rho hr ^ 3dr.

Момент інерції товстого кільця знайдемо як інтеграл

\ Begin {align} J & = \ int ^ R_ {R_1} dJ = 2 \ pi \ rho h \ int ^ R_ {R_1} r ^ 3dr = 2 \ pi \ rho h \ left. \ Frac {r ^ 4} {4} \ right | ^ R_ {R_1} = \ \ & = \ frac {1} {2} \ pi \ rho h \ left (R ^ 4-R ^ 4_1 \ right) = \ frac {1} {2} \ pi \ rho h \ left (R ^ 2-R ^ 2_1 \ right) \ left (R ^ 2 + R ^ 2_1 \ right). \ end {align}

Оскільки обсяг і маса кільця рівні

V = \ pi \ left (R ^ 2-R ^ 2_1 \ right) h; \ qquad m = \ rho V = \ pi \ rho \ left (R ^ 2-R ^ 2_1 \ right) h,

отримуємо остаточну формулу для моменту інерції кільця

J = \ frac {1} {2} m \ left (R ^ 2 + R ^ 2_1 \ right).

Однорідний диск (суцільний циліндр)

Висновок формули

Розглядаючи циліндр (диск) як кільце з нульовим внутрішнім радіусом (R 1 = 0), отримаємо формулу для моменту інерції циліндра (диска):

J = \ frac {1} {2} mR ^ 2.

Суцільний конус

Висновок формули

Розіб'ємо конус на тонкі диски товщиною dh, перепендикулярно осі конуса. Радіус такого диска дорівнює

r = \ frac {Rh} {H},

де R - радіус основи конуса, H - висота конуса, h - відстань від вершини конуса до диска. Маса і момент інерції такого диска складуть

dm = \ rho V = \ rho \ cdot \ pi r ^ 2 dh;
dJ = \ frac {1} {2} r ^ 2dm = \ frac {1} {2} \ pi \ rho r ^ 4 dh = \ frac {1} {2} \ pi \ rho \ left (\ frac {Rh } {H} \ right) ^ 4 dh;

Інтегруючи, одержимо

\ Begin {align} J & = \ int ^ H_0 dJ = \ frac {1} {2} \ pi \ rho \ left (\ frac {R} {H} \ right) ^ 4 \ int ^ H_0 h ^ 4 dh = \ frac {1} {2} \ pi \ rho \ left (\ frac {R} {H} \ right) ^ 4 \ left. \ Frac {h ^ 5} {5} \ right | ^ H_0 = \ \ & = \ frac {1} {10} \ pi \ rho R ^ 4H = \ left (\ rho \ cdot \ frac {1} {3 } \ pi R ^ 2H \ right) \ frac {3} {10} R ^ 2 = \ frac {3} {10} mR ^ 2. \ End {align}

Суцільний однорідний кулю

Висновок формули

Разоб'ем кулю на тонкі диски товщиною dh, перпендикулярні осі обертання. Радіус такого диска, розташованого на висоті h від центра сфери, знайдемо за формулою

r = \ sqrt {R ^ 2-h ^ 2}.

Маса і момент інерції такого диска складуть

dm = \ rho dV = \ rho \ cdot \ pi r ^ 2 dh;
dJ = \ frac {1} {2} r ^ 2dm = \ frac {1} {2} \ pi \ rho r ^ 4 dh = \ frac {1} {2} \ pi \ rho \ left (R ^ 2 - h ^ 2 \ right) ^ 2 dh = \ frac {1} {2} \ pi \ rho \ left (R ^ 4-2R ^ 2h ^ 2 + h ^ 4 \ right) dh.

Момент інерції сфери знайдемо інтегруванням:

\ Begin {align} J & = \ int ^ R_ {-R} dJ = 2 \ int ^ R_0 dJ = \ pi \ rho \ int ^ R_0 \ left (R ^ 4-2R ^ 2h ^ 2 + h ^ 4 \ right) dh = \ \ & = \ pi \ rho \ left. \ Left (R ^ 4h-\ frac {2} {3} R ^ 2h ^ 3 + \ frac {1} {5} h ^ 5 \ right) \ right | ^ R_0 = \ pi \ rho \ left (R ^ 5 - \ frac {2} {3} R ^ 5 + \ frac {1} {5} R ^ 5 \ right) = \ frac {8} {15} \ pi \ rho R ^ 5 = \ \ & = \ left (\ frac {4} {3} \ pi R ^ 3 \ rho \ right) \ cdot \ frac {2} {5} R ^ 2 = \ frac {2} {5} m R ^ 2. \ End {align}

Тонкостінна сфера

Висновок формули

Для виведення скористаємося формулою моменту інерції однорідного кулі радіуса R:

J_0 = \ frac {2} {5} MR ^ 2 = \ frac {8} {15} \ pi \ rho R ^ 5.

Обчислимо, наскільки зміниться момент інерції кулі, якщо при незмінній щільності ρ його радіус збільшиться на нескінченно малу величину dR.

\ Begin {align} J & = \ frac {dJ_0} {dR} dR = \ frac {d} {dR} \ left (\ frac {8} {15} \ pi \ rho R ^ 5 \ right) dR = \ \ & = \ frac {8} {3} \ pi \ rho R ^ 4 dR = \ left (\ rho \ cdot 4 \ pi R ^ 2 dR \ right) \ frac {2} {3} R ^ 2 = \ frac {2} {3} mR ^ 2 \ end {align}

Тонкий стрижень (вісь проходить через центр)

Висновок формули

Разоб'ем стрижень на малі фрагменти довжиною dr. Маса і момент інерції такого фрагмента дорівнює

dm = \ frac {mdr} {l}; \ qquad dJ = r ^ 2dm = \ frac {mr ^ 2dr} {l}.

Інтегруючи, одержимо

J = \ int ^ {l / 2} _ {-l / 2} dJ = 2 \ int ^ {l / 2} _0 dJ = \ frac {2m} {l} \ int ^ {l / 2} _0 r ^ 2dr = \ frac {2m} {l} \ left. \ Frac {r ^ 3} {3} \ right | ^ {l / 2} _0 = \ frac {2m} {l} \ frac {l ^ 3} {24} = \ frac {1} {12} ml ^ 2.

Тонкий стрижень (вісь проходить через кінець)

Висновок формули

При переміщенні осі обертання з середини стрижня на його кінець, центр ваги стрижня переміщається щодо осі на відстань l / 2. По теоремі Штейнера новий момент інерції буде дорівнює

J = J_0 + mr ^ 2 = J_0 + m \ left (\ frac {l} {2} \ right) ^ 2 = \ frac {1} {12} ml ^ 2 + \ frac {1} {4} ml ^ 2 = \ frac {1} {3} ml ^ 2.
Безрозмірні моменти інерції планет і їх супутників [1] [2]


1.4. Безрозмірні моменти інерції планет і їх супутників

Велике значення для досліджень внутрішньої структури планет і їх супутників мають їх безрозмірні моменти інерції. Безрозмірний момент інерції тіла радіуса r і маси m дорівнює відношенню його моменту інерції відносно осі обертання до моменту інерції матеріальної точки тієї ж маси відносно нерухомої осі обертання, розташованої на відстані r (рівному mr 2). Ця величина відображає розподіл маси по глибині. Одним з методів її вимірювання в планет і супутників є визначення допплерівського зсуву радіосигналу, переданого АМС, пролітає близько даної планети чи супутника. Для тонкостінної сфери безрозмірний момент інерції дорівнює 2/3 (~ 0,67), для однорідного кулі - 0,4, і взагалі тим менше, чим більша маса тіла зосереджена в його центру. Наприклад, у Місяця безрозмірний момент інерції близький до 0,4 (дорівнює 0,391), тому припускають, що вона відносно однорідна, її щільність з глибиною змінюється мало. Безрозмірний момент інерції Землі менше, ніж у однорідного кулі (дорівнює 0,335), що є аргументом на користь існування в неї щільного ядра. [3] [4]


2. Відцентровий момент інерції

Відцентровими моментами інерції тіла по відношенню до осей прямокутної декартової системи координат називаються такі величини:

J_ {xy} = \ int \ limits_ {(m)} xydm = \ int \ limits_ {(V)} xy \ rho dV \, \!

J_ {xz} = \ int \ limits_ {(m)} xzdm = \ int \ limits_ {(V)} xz \ rho dV \, \!

J_ {yz} = \ int \ limits_ {(m)} yzdm = \ int \ limits_ {(V)} yz \ rho dV \, \!

де x, y і z - координати малого елемента тіла об'ємом dV, щільністю ρ і масою dm.

Вісь OX називається головною віссю інерції тіла, якщо відцентрові моменти інерції J xy і J xz одночасно дорівнюють нулю. Через кожну точку тіла можна провести три головні осі інерції. Ці осі взаємно перпендикулярні один одному. Моменти інерції тіла відносно трьох головних осей інерції, проведених в довільній точці O тіла, називаються головними моментами інерції тіла.

Головні осі інерції, що проходять через центр мас тіла, називаються головними центральними осями інерції тіла, а моменти інерції щодо цих осей - його головними центральними моментами інерції. Вісь симетрії однорідного тіла завжди є однією з його головних центральних осей інерції.


3. Геометричний момент інерції

Геометричний момент інерції - геометрична характеристика перетину виду

J_y = \ int_ {F} ^ {} z ^ 2dF
J_z = \ int_ {F} ^ {} y ^ 2dF

де z - Відстань від центральної осі y (z) до будь елементарної площадки dF відносно нейтральної осі.

Геометричний момент інерції не пов'язаний з рухом матеріалу, він лише відображає ступінь жорсткості перерізу. Використовується для обчислення радіуса інерції, прогину балки.

Одиниця виміру СІ - м 4. У будівельних розрахунках, літературі та сортаменту металопрокату зокрема вказується в см 4.

З нього виражається момент опору перерізу:

W = \ frac {J} {r_ {max}} .
Геометричні моменти інерції деяких фігур
Прямокутника висотою h і шириною b : J_y = \ frac {bh ^ 3} {12}

J_z = \ frac {hb ^ 3} {12}

Прямокутного коробчатого перерізу висотою і шириною по зовнішніх контурах H і B , А за внутрішніми h і b відповідно J_z = \ frac {BH ^ 3} {12} - \ frac {bh ^ 3} {12} = \ frac {1} {12} (BH ^ 3-bh ^ 3)

J_y = \ frac {HB ^ 3} {12} - \ frac {hb ^ 3} {12} = \ frac {1} {12} (HB ^ 3-hb ^ 3)

Кола радіусом rJ_z = \ frac {\ pi r ^ 4} {2}

4. Центральний момент інерції

Центральний момент інерції ~ J_O (Або момент інерції відносно точки O) - це величина

J_a = \ int \ limits_ {(m)} r ^ 2dm = \ int \ limits_ {(V)} \ rho r ^ 2dV \, \! ,

де:

  • ~ Dm = \ rho dV - Маса малого елемента об'єму тіла dV ,
  • ~ \ Rho - Щільність,
  • ~ R - Відстань від елемента dV до точки O.

Центральний момент інерції можна виразити через головні осьові або відцентрові моменти інерції: ~ J_O = J_ {xy} + J_ {yz} + J_ {xz} = \ frac {1} {2} \ left (J_x + J_y + J_z \ right) .


5. Тензор інерції і еліпсоїд інерції

Момент інерції тіла відносно довільної осі, що проходить через центр мас і має напрямок, заданий одиничним вектором ~ \ Vec s = \ left \ Vert s_x, s_y, s_z \ right \ Vert ^ T, \ left \ vert \ vec s \ right \ vert = 1 , Можна представити у вигляді квадратичної (Білінійної) форми :

~ I_s = \ vec s ^ T \ cdot \ hat J \ cdot \ vec s \ qquad (1),

де ~ \ Hat J - тензор інерції. Матриця тензора інерції симетрична, має розміри ~ 3 \ times 3 і складається з компонент відцентрових моментів:

~ \ Hat J = \ left \ Vert \ begin {array} {ccc} J_ {xx} &-J_ {xy} &-J_ {xz} \ \-J_ {yx} & J_ {yy} &-J_ {yz } \ \-J_ {zx} &-J_ {zy} & J_ {zz} \ end {array} \ right \ Vert , ~ J_ {xy} = J_ {yx}, J_ {xz} = J_ {zx}, J_ {zy} = J_ {yz},
~ J_ {xx} = \ int \ limits_ {(m)} (y ^ 2 + z ^ 2) dm, J_ {yy} = \ int \ limits_ {(m)} (x ^ 2 + z ^ 2) dm , J_ {zz} = \ int \ limits_ {(m)} (x ^ 2 + y ^ 2) dm

Вибором відповідної системи координат матриця тензора інерції може бути приведена до діагонального вигляду. Для цього потрібно вирішити задачу про власних значеннях для матриці тензора ~ \ Hat J :
~ \ Hat J_d = \ hat Q ^ T \ cdot \ hat J \ cdot \ hat Q;~ \ Hat J_d = \ left \ Vert \ begin {array} {ccc} J_ {X} & 0 & 0 \ \ 0 & J_ {Y} & 0 \ \ 0 & 0 & J_ {Z} \ end {array} \ right \ Vert
Де, ~ \ Hat Q - ортогональна матриця переходу у власний базис тензора інерції. У власному базисі координатні осі направлені уздовж головних осей тензора інерції, а також збігаються з головними півосями еліпсоїда тензора інерції. Величини ~ J_ {X}, J_ {Y}, J_ {Z} - Головні моменти інерції. Вираз (1) у власній системі координат має вигляд:

~ I_s = J_ {X} \ cdot s_x ^ 2 + J_ {Y} \ cdot s_y ^ 2 + J_ {Z} \ cdot s_z ^ 2 .

Звідки виходить рівняння еліпсоїда у власних координатах. Розділивши обидві частини рівняння на ~ I_s

~ \ Left ({s_x \ over \ sqrt {I_s}} \ right) ^ 2 \ cdot J_ {X} + \ left ({s_y \ over \ sqrt {I_s}} \ right) ^ 2 \ cdot J_ {Y} + \ left ({s_z \ over \ sqrt {I_s}} \ right) ^ 2 \ cdot J_ {Z} = 1

і провівши заміни:

~ \ Xi = {s_x \ over \ sqrt {I_s}}, \ eta = {s_y \ over \ sqrt {I_s}}, \ zeta = {s_z \ over \ sqrt {I_s}} ,

отримуємо канонічний вид рівняння еліпсоїда в координатах ~ \ Xi \ eta \ zeta :

~ \ Xi ^ 2 \ cdot J_ {X} + \ eta ^ 2 \ cdot J_ {Y} + \ zeta ^ 2 \ cdot J_ {Z} = 1

Відстань від центру еліпсоїда до деякої його точки, пов'язане зі значенням моменту інерції тіла вздовж прямої, що проходить через центр еліпсоїда і цю точку:

~ R ^ 2 = \ xi ^ 2 + \ eta ^ 2 + \ zeta ^ 2 = \ left ({s_x \ over \ sqrt {I_s}} \ right) ^ 2 + \ left ({s_y \ over \ sqrt {I_s }} \ right) ^ 2 + \ left ({s_z \ over \ sqrt {I_s}} \ right) ^ 2 = {1 \ over I_s}

Примітки

  1. Planetary Fact Sheet - nssdc.gsfc.nasa.gov / planetary / factsheet / index.html
  2. Showman, Adam P.; Malhotra, Renu (1999). " The Galilean Satellites - www.lpl.arizona.edu/ ~ showman/publications/showman-malhotra-1999.pdf "(PDF). Science 286 (5437): 77-84. DOI : 10.1126/science.286.5437.77 - dx.doi.org/10.1126/science.286.5437.77. PMID 10506564.
  3. Галкін І.М. Позаземна сейсмологія. - М .: Наука, 1988. - С. 42-73. - 195 с. - ( Планета Земля і Всесвіт). - 15000 екз. - ISBN 502005951X
  4. Пантелєєв В. Л. Фізика Землі і планет. Гол. 3.4 - Гравітаційне поле планети - lnfm1.sai.msu.ru/grav/russian/lecture/geophiz/node17.html

Література

  • Матвєєв. А. Н. Механіка і теорія відносності. М.: Вища школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНІКС 21 століття: Мир і Освіта, 2003. - 432с.) http://www.alleng.ru/d/phys/phys108.htm - www.alleng.ru / d / phys / phys108.htm
  • Трофімова Т. І. Курс фізики. - 7-е изд. - М.: Вища школа, 2001. - 542 с.
  • Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваєв В. А. Механіка твердого тіла. Лекції. Видавництво Фізичного факультету МДУ, 1997. http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1186208&s=120000000 - nature.web.ru / db / msg.html? mid = 1186208 & s = 120000000
  • Павленко Ю. Г. Лекції з теоретичної механіки. М.: Физматлит, 2002. - 392с. http://www.alleng.ru/d/phys/phys99.htm - www.alleng.ru/d/phys/phys99.htm
  • Яворський Б. М., Детлаф А. А. Фізика для школярів старших класів і вступників у вузи: навчальний посібник - М.: Дрофа, 2002, 800С. ISBN 5-7107-5956-3
  • Сивухин Д. В. Загальний курс фізики. В 5 т. Том I. Механіка. 4-е изд. М.: Физматлит; Изд-во МФТІ, 2005. - 560 с. http://www.alleng.ru/d/phys/phys103.htm - www.alleng.ru/d/phys/phys103.htm
  • Бєляєв Н. М., Опір матеріалів. Головна редакція фізико-математичної літератури вид-ва "Наука", 1976. - 608 с.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Сила інерції
Закон інерції
Радіус інерції перерізу
Принцип еквівалентності сил гравітації та інерції
Момент імпульсу
Момент (фотоапарат)
Музичний момент
Момент часу
Магнітний момент
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru