Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Міра Жордана



План:


Введення

Міра Жордана - один із способів формалізації поняття довжини, площі і n -Мірного обсягу в n -Мірному евклідовому просторі.


1. Побудова

Безліч вимірно по Жорданія якщо внутрішня міра Жордана дорівнює зовнішньої мірою Жордана.

Міра Жордана ~ M \ Delta паралелепіпеда \ Delta = \ prod_ {i = 1} ^ n [a_i, \; b_i] в \ R ^ n визначається як добуток

m \ Delta = \ prod_ {i = 1} ^ n (b_i-a_i).

Для обмеженої множини E \ subset \ R ^ n визначаються:

  • зовнішня міра Жордана
    m_eE = \ inf \ sum_ {k = 1} ^ N m \ Delta_k, \ quad \ bigcup_k \ Delta_k \ supset E
  • внутрішня міра Жордана
    m_iE = \ sup \ sum_ {k = 1} ^ N m \ Delta_k, \ quad \ bigcup_k \ Delta_k \ subset E, \ quad \ Delta_k \ cap \ Delta_m = \ varnothing , Якщо k \ neq m,

тут \ Delta_1, \; \ Delta_2, \; \ ldots, \; \ Delta_N - Паралелепіпеди описаного вище виду.

Безліч ~ E називається вимірним по Жорданія (квадріруемим при ~ N = 2 , Кубіруемим при n \ geqslant 3 ), Якщо ~ M_eE = m_iE . У цьому випадку міра Жордана дорівнює ~ ME = m_eE = m_iE .


2. Властивості

  • Міра Жордана інваріантна щодо рухів евклідова простору.
  • Обмежене безліч E \ subset \ R ^ n вимірно по Жорданія тоді і тільки тоді, коли його межа має міру Жордана нуль (або, що рівносильно, коли його межа має міру Лебега нуль).
    • Зокрема, всі безлічі, межа яких складається з кінцевого числа гладких кривих і точок, вимірні по Жорданія. Тим не менш, існують множини, обмежені простий замкнутої кривої Жордана, які не вимірні по Жорданія.
  • Зовнішня міра Жордана одна і та ж для ~ E і \ Bar E (Замикання безлічі ~ E ) І дорівнює міру Бореля \ Bar E .
  • Вимірні по Жорданія безлічі утворюють кільце, на якому міра Жордана кінцева адитивна функція.

3. Історія

Наведене поняття міри ввели Пеано ( 1887) і Жордан ( 1892). Згодом поняття було узагальнено Лебегом на більш широкий клас множин.

4. Приклад множини, незмірного по Жорданія

Розглянемо міру Жордана m , Визначену на \ R ^ 2 і нехай A = \ {(x, \; y) \ in \ R ^ 2 \ colon 0 \ leqslant x \ leqslant 1, \; 0 \ leqslant y \ leqslant 1 \} - Безліч точок одиничного квадрата. Нехай X = A \ cap \ Q ^ 2 - Безліч, що складається з усіх точок безлічі A з раціональними координатами, тоді X - Не вимірне по Жорданія безліч, тому що m_e X = 1, \; m_i X = 0, \; m_e X \ neq m_i X , Тобто верхня і нижня міра Жордана не збігаються.


Література

  • Колмогоров А.Н., Фомін С.В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу - вид. четверте, перероблене. - М .: Наука, 1976. - 544 с.
  • Кудрявцев Л.Д., Кутас А. Д. Збірник задач з математичного аналізу, глава 2;
  • Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. - Torino, 1887;
  • Jordan, C. Journal de Mathmatiques Pures et Appliques. - 1892. - T. 8. - P. 69-99;

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Ознака Жордана
Теорема Жордана
Лемма Жордана
Метод Гаусса - Жордана
Міра
Міра дисперсії
Зовнішня міра
Рахункова міра
Міра безлічі
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru