Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Міра Лебега



План:


Введення

Міра Лебега на \ R ^ n - міра, яка є продовженням заходи Жордана на більш широкий клас множин, була введена Лебегом в 1902.


1. Побудова заходи на прямий

1.1. Зовнішня міра

Для довільного підмножини E числової прямої можна знайти скільки завгодно багато різних систем з кінцевого або рахункового числа інтервалів, об'єднання яких містить безліч E . Назвемо такі системи покриттями. Так як сума довжин інтервалів, складових будь-яке покриття, є величина невід'ємна, вона обмежена знизу, і, значить, безліч довжин всіх покриттів має точну нижню грань. Ця грань, що залежить тільки від безлічі E , І називається зовнішньої заходом:

m ^ * E = \ inf \ left \ {\ sum_ {i} \ Delta_i \ right \}.

Варіанти позначення зовнішньої заходи:

m * E = φ (E) = | E | *.

Очевидно, зовнішня міра будь-якого інтервалу співпадає з його довжиною.


1.2. Властивості зовнішньої заходи

  • E_1 \ subseteq E_2 \ Rightarrow m ^ * E_1 \ leqslant m ^ * E_2.
  • E = \ bigcup_ {k = 1} ^ \ infty E_k \ Rightarrow m ^ * E \ leqslant \ sum_ {k = 1} ^ \ infty m ^ * E_k.
  • \ Forall E, \; \ varepsilon> 0 \; \ exists G \ supseteq E \ colon m ^ * G \ leqslant m ^ * E + \ varepsilon , Де G - відкрите безліч. Дійсно, досить як G взяти суму інтервалів, складових покриття E , Таку що \ Sum_i \ Delta_i \ leqslant m ^ * E + \ varepsilon . Можливість існування такого покриття слід з визначення точної нижньої межі.

1.3. Внутрішня міра

Якщо безліч E обмежена, то внутрішньою мірою безлічі E називається різниця між довжиною сегмента [A, \; b] містить E і зовнішньої мірою додатки E в [A, \; b] :

m_ * E = (b-a)-m ^ * ([a, \; b] \ setminus E).

Для необмежених множин, m * E визначається як точна верхня грань (B-a)-m ^ * ([a, \; b] \ setminus E) по всіх відрізках [A, \; b] .


2. Вимірні множини

Безліч називається вимірним за Лебегом, якщо його зовнішня і внутрішня заходи рівні. Тоді загальне значення останніх називається мірою безлічі за Лебегу і позначається mE, \; \ mu E, \; | E | або λ (E) .

2.1. Приклад незмірного безлічі

Детальніше з цієї теми див: Безліч Віталі.

Приклад незмірного за Лебегом безлічі побудував Дж. Віталі в 1905 році. Розглянемо наступне відношення еквівалентності ~ на відрізку [0, \; 1] : x ~ y якщо різниця x - y раціональна. Далі, з кожного класу еквівалентності виберемо по представнику - одній точці (тут ми користуємося аксіомою вибору). Тоді отримане безліч E представників буде незмірно.

Дійсно, якщо зрушити E рахункове число раз на всі раціональні числа в інтервалі [- 1,1] , То об'єднання буде містити весь відрізок [0,1] але при цьому воно буде міститися у відрізку [- 1,2] . При цьому "зсунуті копії" безлічі E не будуть перетинатися один з одним, що безпосередньо випливає з побудови ~ і E .

Припустимо E вимірно тоді, в силу лічильної адитивності міри Лебега отримуємо, що m \, E> 0 і m \, E = 0 , Протиріччя.


3. Історія

У своїх "Лекціях про інтегрування і відшуканні примітивних функцій" Анрі Лебег заявив, що його метою було знайти (неотрицательную) міру на речовій прямий, яка існувала б для всіх обмежених множин і задовольняла б 3 умовам:

  1. Конгруентні множини мають рівну міру (тобто міра інваріантна щодо операцій перенесення і симетрій).
  2. Міра лічильно-аддитивна.
  3. Міра інтервалу (0, 1) дорівнює 1.

Конструкція Лебега охоплювала великий клас множин дійсних чисел і визначала безліч вимірних функцій, більш широке, ніж безліч аналітичних функцій. При цьому будь-яка вимірна функція допускала застосування багатьох аналітичних методів. До цього часу вже існувала загальна теорія міри, розроблена Е. Борелем (1898), і перші роботи Лебега спиралися на борелевскую теорію. Однак у дисертації Лебега (1902) теорія міри була істотно узагальнена до "заходи Лебега". Лебег визначив поняття обмежених вимірних функцій та інтегралів для них, довів, що всі "звичайні" обмежені функції, досліджувані в аналізі, вимірні, і що клас вимірних функцій замкнутий щодо основних аналітичних операцій, включаючи операцію граничного переходу. У 1904 році Лебег узагальнив свою теорію, знявши умова обмеженості функції.

Вже в наступному році (1905) Дж. Віталі показав, що захід, що задовольняє трьом наведеним вище умовам, не охоплює всіх обмежених речових множин: він побудував безліч, що не має заходів з зазначеними властивостями. Більш того, в 1914 році Хаусдорф довів, що навіть замінивши вимога лічильної аддитивности на більш слабке умова кінцевої адитивності, ми все одно знайдемо в тривимірному просторі обмежені незмірні множини. Для прямої, як виявив Банах в 1923 році, універсальна кінцево-адитивна міра існує і навіть не єдина.

Дослідження Лебега знайшли широкий науковий відгук, їх продовжили і розвинули багато математики: Е Борель, М. Рісс, Дж. Віталі, М. Р. Фреше, Н. Н. Лузін, Д. Ф. Єгоров та ін Було введено поняття збіжності в міру (1909).

Праці Лебега мали ще одне важливе концептуальне значення: вони були повністю засновані на спірній в ті роки канторовской теорії множин, і плідність лебеговской теорії послужила вагомим аргументом для прийняття теорії множин як фундаменту математики.


Література

  • Брилевская Л. І. До історії проблеми заходи в першій половині XX століття. / / Історико-математичні дослідження. - М .: Наука, 1986. - № 30. - С. 97-112.
  • Вулих Б. З. Короткий курс теорії функцій дійсної змінної (введення в теорію інтеграла) - М .: Наука, 1973. - 352 с.
  • Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. контрприклади в аналізі = Counterexamples in Analysis - М .: ЛКИ, 2007. - 258 с. - ISBN 978-5-382-00046-6. .

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Лемма Лебега
Розмірність Лебега
Інтеграл Лебега
Теорема Лебега про розкладання заходи
Теорема Лебега про мажоріруемой збіжності
Міра
Міра безлічі
Кінцева міра
Міра дисперсії
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru