Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Міра безлічі



План:


Введення

Міра - спосіб зіставлення безлічі неотрицательного числа (званого мірою цієї множини), задовольняє певним аксіомам; так, міра об'єднання непересічних множин повинна дорівнювати сумі їх заходів. Окремим випадком заходи є міра Лебега для підмножин \ R ^ n , Узагальнююча поняття обсягу (або площі або довжини, якщо n = 2 або 1 відповідно) на випадок множин, більш загальних, ніж просто обмежених гладкою поверхнею.


1. Визначення

1.1. Звичайно-адитивна міра

Нехай задано безліч X з виділеним класом підмножин \ Mathcal {F} , Замкнутим щодо кінцевих перетинів та об'єднань.

Функція \ Mu: \ mathcal {F} \ to [0, \; \ infty] називається звичайно-аддитивной мірою (іноді об'ємом), якщо вона задовольняє наступним аксіомам :

  1. \ Mu (\ varnothing) = 0 .
  2. Для будь-яких A, B \ in \ mathcal {F}
    \ Mu A + \ mu B = \ mu (A \ cup B) + \ mu (A \ cap B)

1.2. Лічильно-адитивна міра

Нехай задано безліч X з виділеної σ -Алгеброю \ Mathcal {F} .

Функція \ Mu: \ mathcal {F} \ to [0, \; \ infty] називається лічильно-аддитивной (або σ -Аддитивной) мірою, якщо вона задовольняє наступним аксіомам:

  1. \ Mu (\ varnothing) = 0.
  2. ( σ -Адитивність) Якщо \ {E_n \} _ {n = 1} ^ \ infty \ subset \ mathcal {F} - Рахункове сімейство попарно непересічних множин з \ Mathcal {F} , Тобто E_i \ cap E_j = \ varnothing, \; i \ neq j , То
\ Mu \ left (\ bigcup \ limits_ {n = 1} ^ \ infty E_n \ right) = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty \ mu (E_n) .

1.3. Зауваження

  • Якщо протилежне не зазначено явно, то зазвичай мається на увазі лічильно-адитивна міра.
  • Очевидно, будь-яка лічильно-адитивна міра є кінцево-аддитивной, але не навпаки.
  • Якщо міра всього простору скінченна, тобто \ Mu (X) <\ infty , То такий захід сама по собі називається кінцевою. В іншому випадку міра нескінченна.
  • На пряме і двовимірної площині існує нескінченна кількість розширень лебеговой заходи з Борелевской σ -Алгебри, на безліч всіх обмежених підмножин, що зберігає кінцеву адитивність міри і таку, що конгруентні множини мають рівну міру. Починаючи з розмірності 3, це зробити неможливо.
  • Зазвичай вимірні відносно заданої міри безлічі складають власний підклас в класі всіх підмножин простору X . І хоча існує кілька загальних схем, що дозволяють продовжувати заходи на великі класи вимірних множин, іноді продовження заходів можливе лише ціною втрати унікальних властивостей вихідної заходи. Наприклад, міра Лебега в скінченновимірних евклідових просторах є інваріантної щодо рухів цього простору. Будь-яке продовження заходи Лебега на клас всіх підмножин евклідового простору вже не може бути інваріантним навіть відносно одних тільки зрушень (дивись Приклад незмірного безлічі). Так що з практичної точки зору такі продовження втрачають будь-яку цінність.

2. Пов'язані визначення


3. Приклади

4. Продовження заходів

Визначати міру в явному вигляді на кожному безлічі з відповідної сигма-алгебри (кільця або алгебри) множин часто складно і не потрібно, оскільки міру досить визначити на якому-небудь класі вимірних множин, а потім за допомогою стандартних процедур (і за певних умов) продовжити на кільце, алгебру або сигма-алгебру множин, породжені цим класом.

4.1. Продовження з півкільця

Клас вимірних множин по своїй структурі має бути кільцем множин (якщо міра аддитивна) або сигма-алгеброю множин (якщо міра лічильно-аддитивна), проте для завдання заходи, в обох випадках її досить визначити на півкільці множин - тоді міра єдиним чином може бути продовжена на мінімальна кільце (мінімальну сигма-алгебру) множин, що містить вихідне півкільце.

Нехай початковий клас вимірних множин \ Mathcal {F} _0 має структуру півкільця: містить пусте безліч і для будь-яких множин A і B з \ Mathcal {F} _0 їх різниця допускає кінцеве розбиття на вимірні множини з \ Mathcal {F} _0 , Тобто знайдеться кінцевий набір непересічних множин C 1, C 2,..., C n з \ Mathcal {F} _0 , Таких що

A \ setminus B = C_1 \ cup C_2 \ cup \ dots \ cup C_n .

Нехай \ Mathcal {F} означає клас всіх підмножин розглянутого простору, що допускають кінцеве розбиття на множини з \ Mathcal {F} _0 . Клас \ Mathcal {F} замкнутий щодо операцій різниці, перетину та об'єднання множин, і таким чином, є кільцем множин, що містить \ Mathcal {F} _0 (Причому, очевидно, мінімальним). Всяка адитивна функція μ на \ Mathcal {F} _0 однозначно продовжується до аддитивной функції на \ Mathcal {F} , Якщо і тільки якщо її значення узгоджені на \ Mathcal {F} _0 . Ця вимога означає, що для будь-яких наборів непересічних множин A 1, A 2,..., A n і B 1, B 2,..., B m з \ Mathcal {F} _0 , Якщо збігається їх об'єднання, то повинна збігатися і сума їх заходів:

Якщо \ Bigcup \ limits_ {i = 1} ^ {n} A_i = \ bigcup \ limits_ {j = 1} ^ {m} B_j , То \ Sum \ limits_ {i = 1} ^ {n} \ mu (A_i) = \ sum \ limits_ {j = 1} ^ {m} \ mu (B_j) .

4.2. Приклад

Нехай \ Mathcal {F} _1 і \ Mathcal {F} _2 - Класи вимірних множин на просторах X 1 і X 2 , Що мають структуру півкільця. Безлічі виду A \ times B , Де A \ in \ mathcal {F} _1 , B \ in \ mathcal {F} _2 утворюють півкільце \ Mathcal {F} множин на просторі X = X_1 \ times X_2 .

Якщо на \ Mathcal {F} _1 і \ Mathcal {F} _2 задані заходи μ 1 і μ 2 , То на \ Mathcal {F} визначена адитивна функція \ Mu (A \ times B) = \ mu_1 (A) \ mu_2 (B) , Яка задовольняє вимогу узгодженості. Її продовження на мінімальне кільце, що містить \ Mathcal {F} , Називається прямим твором заходів μ 1 і μ 2 і позначається \ Mu = \ mu_1 \ otimes \ mu_2 . Якщо вихідні заходи були сигма-адитивні на своїх областях визначення, то і міра μ буде сигма-адитивною. Цей захід використовується в теорії кратних інтегралів (дивись Теорема Фубіні).


5. Варіації і узагальнення

  • Сигма-кінцева міра
  • Заряд (теорія заходи)
  • Термін "міра" може означати будь-яку кінцево-адитивну з областю значень абелева півгрупа. Для лічильно-адитивної міри природна область значень - топологічна абелева півгрупа (топологія потрібна для того, щоб можна було говорити про збіжність ряду із заходів рахункового числа вимірних частин, на які у визначенні лічильної аддитивности розбивається вимірне безліч).
    • Прикладом нечисловой заходи є міра зі значеннями в лінійному просторі, зокрема, проекторонозначная міра, що бере участь в геометричній формулюванні спектральної теореми.

Література

  • Вулих, Б. З. Короткий курс теорії функцій дійсної змінної (введення в теорію інтеграла) - М .: Наука, 1973. - 352 с.
  • П. Халмош. Теорія міри. М.: Видавництво іноземної літератури, 1953. - 282 с. http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3787 (книга в 2011 році є бібліографічною рідкістю)
  • О.Н. Колмогоров, С.В. Фомін. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу Наука, 1976.
  • Богачев В.І., Основи теорії міри, 2-е вид., В двох томах, НДЦ Регулярна і хаотична динаміка, Москва-Іжевськ, 2006.
  • В.І. Богачев, О.Г. Смолянов. Дійсний і функціональний аналіз. Видавництва: НДЦ "Регулярна і хаотична динаміка", Інститут комп'ютерних досліджень, 2009 р. 724 стор ISBN 978-5-93972-742-6.
  • Богачев В.І., гаусові заходи, Наука, Москва, 1997.
  • Богачев В.І., диференційовних заходи та обчислення Маллявена, НІЦ Регулярна і хаотична динаміка, Москва, 2008.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Потужність безлічі
Ізольована точка безлічі
Внутрішня точка безлічі
Аксіома порожнього безлічі
Завдання про покриття безлічі
Завдання про незалежний безлічі
Безперервність безлічі дійсних чисел
Міра
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru