Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Нарисна геометрія


DALLA.GIF

План:


Введення

DALLA.GIF

Нарисна геометрія - інженерна дисципліна, що представляє двовимірний геометричний апарат і набір алгоритмів для дослідження властивостей геометричних об'єктів.

Практично, нарисна геометрія обмежується дослідженням об'єктів тривимірного евклідова простору. Вихідні дані повинні бути представлені у вигляді двох незалежних проекцій. У більшості завдань і алгоритмів, використовуються дві ортогональні проекції на взаємно перпендикулярні площини.

В даний час дисципліна не має практичної цінності в силу розвитку обчислювальної техніки та апарату лінійної алгебри, але незамінна як складова загального інженерної освіти на машинобудівних та будівельних спеціальностях.

Нарисна геометрія - наука, що вивчає просторові фігури за допомогою їх проектування (прокладання) перпендикулярами на деякі три площини, які розглядаються потім суміщеними одна з іншою.

При звичайному способі зображення предметів лінії, що поширюються удалину від ока спостерігача, хоча і зображуються, відповідно з тим, якими вони нам представляються, скороченими, але це скорочення визначається рисувальником звичайно на-віч, а фотографією воно хоча у відомих випадках і досить точно може бути передано , але ставлення, в якому зазнали скорочення різні лінії зображуваного предмета, залишається важко визначним; того ж, у багатьох випадках і малюнок веде до перспективних помилок. Всякий майстер, чи буде то тесля, слюсар, токар, каменяр і т. д., може виконати замовлений предмет згідно з бажанням замовника тільки в тому випадку, якщо йому буде дано абсолютно такий же предмет на зразок, або його модель, або конструкторський креслення, за яким легко і точно визначалися б розміри всіх накреслених ліній, хоча б і таких, які віддаляються в глиб картини і тому зображуються скороченими. Нарисна геометрія вчить виготовлення таких креслень, в яких предмет зображується майже таким, яким ми його бачимо, і притому так, що за накресленим лініях можна в точності визначити розміри і істинний вид зображуваного предмета.


1. Основні принципи

Рисунок 1

Уявімо собі, що в точці O (рис. 1) знаходиться очей людини, що дивиться на предмет AB. Уявімо між оком і предметом площину MN, розташовану перпендикулярно до тієї лінії, вздовж якої очей дивиться. Проведемо з O прямі до тих точках предмета, які характеризують його форму. Ці прямі, звані проекційними променями, перетнуть площину MN в різних точках. Сукупність таких точок ab і складе картину предмета AB, що служить його зображенням. Тому площину MN і називається площиною картини. Точка перетину проекційного променя і площини картини називається центральною проекцією або перспективою тієї точки предмета, з якої виходить даний проекційний промінь. Такий спосіб зображення предмета називається перспективою. Якщо замість того, щоб проводити проекційні промені від точок предмета до ока, ми будемо опускати перпендикуляри з точок предмета на площину картини, то отримане зображення, що представляється сукупністю підстав цих перпендикулярів, буде зберігати деяку схожість з перспективним. Дійсно, чим більше точка O буде віддалена від предмета, тим більше проекційні промені будуть наближатися до положення взаємно паралельно і перпендикулярно до площини картини. Таке зображення називається ортогональною проекцією. Отже, в ортогональної проекції кожна точка предмета зображується підставою перпендикуляра, опущеного з неї на площину картини. Отримання за даним кресленням справжніх розмірів та інші побудови незрівнянно простіше виконуються при ортогональному проектуванні, ніж при перспективі.

Основна ідея Н. геометрії полягає в наступному: якщо є дві ортогональні проекції предмета на дві площини, різним чином щодо предмета розташовані, то, за допомогою порівняно нескладних побудов над цими двома зображеннями, можна отримати істинні розміри предмета, істинний вид його плоских ліній і ортогональну проекцію на будь-яку задану третьої площині. Звичайно, для цього необхідно знати, в якому масштабі були дані задані дві ортогональні проекції, тобто в якому загальному відношенні весь креслення було зменшено або збільшено проти дійсності. Звичайно задають вид предмета його ортогональними проекціями на такі дві площини, з яких одна горизонтальна і називається планом, а інша вертикальна і називається фасадом. Їх також називають горизонтальною і вертикальною площинами проекції. Ортогональна проекція предмета на площину, перпендикулярну до плану та фасаду, називається бічним виглядом. Вельми важливий прийом нарисної геометрії полягає в тому, що площина фасаду, бічного виду і всякі інші площини, на які проектується предмет, подумки відгинають на площину плану поворотом близько прямий, за якою план перетинається з площиною відгинається. Цей прийом називається поєднанням. Подальші побудови здійснюються вже на такому поєднаному кресленні, як це зазначено нижче. Так як кожен предмет являє собою сукупність точок, то перш за все необхідно познайомитися із зображенням плану і фасаду точки на суміщеному кресленні.

Рисунок 2

Нехай a (рис. 2) буде дана точка; P площину плану; Q площину фасаду. Опустивши з a перпендикуляр на план, отримаємо план a 'точки a; опустивши з a перпендикуляр на фасад, отримаємо фасад b точки a. Перпендикуляри aa 'і ab називаються проектують лініями. Площина baa ', обумовлена ​​проектують лініями, називається проектує площиною. Вона перпендикулярна як до плану, так і до фасаду і, отже, перпендикулярна до перетину площини плану і фасаду, званому загальним прорізом. Нехай a о є та точка, в якій проектувальна площину перетинається із загальним прорізом: a про a 'і a o b будуть перпендикулярні до загального прорізи. За даних площинах плану і фасаду положення точки a цілком визначається її планом a 'і фасадом b, оскільки a знаходиться на перетині перпендикуляра, восставленного з a' до площини плану, з перпендикуляром, восставленним з b до площини фасаду. Для отримання суміщеного креслення повернемо площину Q фасаду в напрямку стрілки, близько загального прорізу до збігу з площиною плану. При цьому точка b впаде в a ". Таким чином точка a", що є поєднаний фасад точки a, лежатиме на продовженні перпендикуляра a'a o, опущеного з плану a 'на загальний проріз.

Рисунок 3

Таким чином вийде поєднаний креслення, зображений на рис. 3, де MN є спільний проріз; a '- план і a "- суміщений фасад точки a, яка сама вже не змальовується.

Н. геометрія має справу тільки з суміщеними кресленнями, кожна точка дається планом і сполученим фасадом; до креслень ж, виконаним звичайними прийомами (які у нас рис. 1, 2 і 5), вдаються тільки на початку вивчення цієї науки.


1.1. Проекція прямий

Рисунок 4

Пряма визначається двома точками. Отже, якщо є план і фасад (сумісний) двох точок a і b, що лежать на прямій, то пряма a'b ', з'єднує плани точок a і b, буде планом прямий ab і пряма a "b", що з'єднує фасади точок a і b, буде фасадом прямий ab. На кресленні 4 зображена пряма ab своїми планом і фасадом.


2. Типові прийоми

2.1. Визначення істинної довжини прямолінійного відрізка заданого планом і проекцією

Рисунок 5

Скористаємося кресленням, виконаним звичайним способом (рис. 5).

Нехай ab є даний прямолінійний відрізок, a'b 'його план a "b" його фасад. Повернемо площину a'abb 'близько прямий a'b' і відігніть її в положення a'b'BA на площину плану. При цьому відрізок ab прийме положення AB. Отже:

Малюнок 6
Aa '= aa' = a "a o
Bb '= bb' = b "b o

Перпендикулярність прямих a'a і b'b до a'b 'не змінилася, отже, щоб з даного плану і фасаду прямолінійного відрізка на суміщеному кресленні (рис. 6) визначити справжню його довжину, потрібно: восставить з a' і b 'до плану a'b 'перпендикуляри і на них відкласти: a'A = a o a "; b'B = b o b".

Пряма AB і дорівнюватиме істинної довжині прямої ab. На цьому прикладі і бачимо, що на кресленні 5, виконаному звичайним способом, пряма ab зображена в скороченому вигляді відповідно до того, як ми її бачимо, і так як ступінь цього укорочення невідома, то за кресленням 5 не можна визначити справжнього відстані ab. Тим часом на кресленні 6, хоча сама пряма ab і не зображена, а дані тільки її план a'b 'і фасад a "b", то по них можна абсолютно точно визначити подану ними пряму.


2.2. Визначення бокового виду точки за даними її планом і фасаду

Рисунок 7

Нехай a 'є план і a "фасад заданої точки (рис. 7), площина ж бокового виду перетинає площину плану по прямій on і площину фасаду по прямій om.

При суміщенні площин плану і фасаду om і on виявляться лежачими на одній прямій mn, перпендикулярної до MN, так як ми припускаємо, що площина бокового виду перпендикулярна до площин плану і фасаду. Поєднання трьох площин припускаємо сталося так: спочатку площину бокового виду була поєднана обертанням близько om з площиною фасаду; потім вони обидві обертанням близько MN були поєднані з площиною плану, яка і являє собою площину креслення. Не важко бачити, що при цьому відстань a "s бокового виду a" 'точки a від MN дорівнюватиме a про a "і відстань а'" від om дорівнюватиме a o a '. Звідси отримуємо таку побудову: коли задані a' і a ", то проводимо до MN перпендикуляр mn і на нього опускаємо перпендикуляр a'q з a '; радіусом oq описуємо з центру o дугу, яка перетне MN в точці s; з s підіймали перпендикуляр до MN. Перетин цього перпендикуляра з прямою, проведеної через фасад a "паралельно MN, і буде боковим видом a '".


2.3. Визначення бокового виду багатокутника

Рисунок 8

Якщо дані (рис. 8) план і фасад сторін багатокутника, а отже, і його вершин, то, будуючи бічні види вершин, отримаємо і бічний вид багатокутника. При безлічі точок, з якими маємо справу на кресленні, зручно їх позначати цифрами.

Подібний прийом побудови "бокового виду" (точніше - профільної проекції або виду ліворуч) з точки зору конструктора не дозволяє вдало скомпонувати креслення. Для забезпечення останнього, використання осей координат недоцільно, оскільки воно обмежує можливості компонування креслення, змушуючи постійно витримувати однакові відстані між видами спереду, зверху і зліва, що найчастіше буває небажано. Побудувати за двома будь-яких видів оригіналу третій, зручно скомпонувати креслення, натомість осей координат допоможуть "бази відліку" прив'язані до зображень (видів).


2.4. Проектування паралелепіпеда

Звичайно задаються таким становищем площин плану і фасаду, при якому цей предмет проектується на них простим кресленням і вже за цим планом і фасаду будують проекцію предмета на таку площину, на якій він зображується у всій своїй складності. Початкові план і фасад можна навіть так вибрати, щоб на них не спотворювалися деякі розміри предмета. Покажемо це на наступному прикладі зображення паралелепіпеда (рис. 9).

Рисунок 9

Уявімо собі, що паралелепіпед лежить одним зі своїх ребер на площині плану, а заднє і переднє його заснування паралельні площини фасаду. Тоді ці підстави проектуються на фасад, накладаючись одна на одну (затуляючи одне інше), але у справжньому вигляді. На плані виходить проекція, в якій зберігається величина ребер, паралельних плану. Повернемо подумки паралелепіпед біля деякої вертикалі і віднесемо його трохи убік. Тоді і план його повернеться на той же кут і поставиться в сторону. Щоб отримати план нового положення, проводимо пряму 1'3 ', складову певний кут з напрямками 1 3 колишнього плану, і на цій прямій будуємо прийомами звичайної геометрії фігуру, рівну раніше планом. Вершини фасаду нового положення будуть лежати на перпендикулярах, опущених з вершин нового плану на загальний проріз. Крім того, вони будуть лежати на паралелях, проведених з вершин колишнього фасаду до загального прорізи, тому що при сказаному переміщенні паралелепіпеда його вершини залишилися на колишній висоті від площини плану. Отже, перетину згаданих перпендикулярів і паралелей і будуть вершинами нового фасаду. Поєднуючи їх між собою і зображуючи слабшими рисами лінії, заслоненних параллелепипедом, отримаємо таке його зображення, в якому видно вже всі його 12 ребер. Як для зображення паралелепіпеда досить зобразити його ребра, так і для зображення кривої поверхні досить зобразити її найбільш характеристичною лінії, між якими головне значення має видимий контур - крива, по якій проектують лінії торкаються поверхні.


2.5. Перетин двох круглих циліндрів

Для з'ясування способу зображення кривих поверхонь розглянемо застосування Н. геометрії до наступного практичного питання. Потрібно з'єднати між собою дві труби, склепаних з котельного листового заліза, так, щоб одна труба, будучи перпендикулярна інший, врізалася б у неї більш ніж на половину своєї товщини. Для цього в одній з труб (покладемо, більшою) повинно бути зроблено віконце, яке зручніше, звичайно, виконати в листі, з якого робиться велика труба, поки вона ще не склепати. Потрібно визначити форму того віконця, яке повинно бути прорізано в листі, який слугує для приготування великої труби.

Descriptive geometry-cylinder.png

Нехай (рис. 10) площину плану буде перпендикулярна до великої трубі, а площину фасаду паралельна осях обох труб. Тоді план великої труби буде окружність 036 і фасад її зобразиться прямокутником ABCD. План малої труби буде mnpq і фасад abcd. Нехай HF буде фасад діаметральної і паралельної плану площині малої труби. На nm, як на діаметрі, опишемо дугу nsm. Задамося який-небудь утворює h5 малої труби і визначимо фасад тієї точки взаємного перетину труб, яка лежить на цій утворює і план якої є, отже, точка 1. Шуканий фасад точки, по-перше, повинен лежати на перпендикулярі, опущеному на загальний проріз з точки 1. По-друге, він лежатиме від HF на висоті HS, рівної hs. Отже, точка S є шуканий фасад. Переймаючись іншими утворюючими і будуючи фасади точок взаємного перетину труб, отримують цілий ряд точок, з'єднанням яких вийде фасад перетину труб. Тепер розгорнемо півколо 036. Завдання це може бути виконана тільки приблизно. Вона вирішується з достатнім наближенням, якщо взяти довжину півкола за суму боку вписаного квадрата і сторони правильного вписаного трикутника. Сторона вписаного квадрата буде хорда 36, сторона трикутника є хорда 04, якщо цифри позначають поділу півкола на 6 частин. Суму цих хорд відкладають на особливому кресленні (рис. 11) і ділять її на 6 частин. Нехай PQ буде відповідати згаданої діаметральної площині малої труби: вона повинна бути проведена паралельно прямий 012 ... на відстані OP = AE. Відновлюючи з розподілу 1 перпендикуляр до прямої 012 ... і відкладаючи на ньому від перетину його з PQ величину h's '= hs = HS, отримаємо точку s 'тієї шуканої кривої, по якій повинно бути вирізано в листі MN віконце. Отримуючи таким же шляхом інші точки шуканої кривої, визначимо і саму цю криву, зображену на кресленні (рис. 11).


3. Історія

Нарисна геометрія була розроблена Монжем в 1760-1770 рр.., коли як викладачеві Інженерної школи в Мезьєр йому доручили складне завдання розрахунку рельєфу фортечних споруд.

Вона має тісне відношення до теорії тіней і до способу аксонометричних проекцій.

4. Введення

Нарисна геометрія входить до число дисциплін, що складають основу інженерного освіти.

Предметом нарисної геометрії є виклад і обгрунтування способів зображення і побудови тривимірних об'єктів на двомірної площині креслення і методів вирішення задач геометричного (креслярського) характеру з цими зображеннями.

Зображення, створені за правилам нарисної геометрії, дозволяють:

Нарисна геометрія є теоретичним фундаментом практичного виконання технічних креслень, забезпечуючи їх виразність і точність. А отже і можливість адекватного виготовлення за кресленнями реальних деталей і конструкцій.


5. Довжина відрізка прямої

Відрізок прямий, розташований в просторі паралельно будь-якої площини проекцій, проектується на цю площину в дійсну величину (тобто без спотворення).

Довжину відрізка прямої по його проекціям визначають як гіпотенузу прямокутного трикутника, одним катетом якого є одна з проекцій даного відрізка, а іншим катетом - абсолютна величина алгебраїчної різниці расстояний от концов другой проекции отрезка до оси проекций.


6. Примітка



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Геометрія
Сакральна геометрія
Градус (геометрія)
Дефект (геометрія)
Кінцева геометрія
Замикання (геометрія)
Кільце (геометрія)
Тіло (геометрія)
Хорда (геометрія)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru