Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Натуральне число



План:


Введення

Натуральні числа можна використовувати для рахунку (одне яблуко, два яблука і т. п.).

Натуральні числа (природні числа) - числа, що виникають природним чином за рахунку (як у сенсі перерахування, так і в сенсі обчислення).

Існують два підходи до визначення натуральних чисел - числа, використовувані при:

  • перерахування (нумерування) предметів (перший, другий, третій,...);
  • позначенні кількості предметів (немає предметів, один предмет, два предмети,...). Прийнятий у працях Бурбаки, де натуральні числа визначаються як потужності кінцевих множин.

Негативні і нецілі ( раціональні, речові, ...) числа не є натуральними.

Безліч всіх натуральних чисел прийнято позначати знаком \ Mathbb {N} . Безліч натуральних чисел є нескінченним, оскільки для будь-якого натурального числа знайдеться більша його натуральне число.


1. Визначення

1.1. Аксіоми Пеано

Безліч \ Mathbb N будемо називати безліччю натуральних чисел, якщо зафіксований деякий елемент 1 \ in \ mathbb N (Одиниця) і функція S \ colon \ mathbb N \ to \ mathbb N (Функція прямування) так, що виконані наступні умови

  1. 1 \ in \ mathbb {N} ( 1 є натуральним числом);
  2. Якщо x \ in \ mathbb {N} , То S (x) \ in \ mathbb {N} (Число, наступне за натуральним, також є натуральним);
  3. \ Nexists x \ in \ mathbb {N} \ (S (x) = 1) (1 не слід ні за яким натуральним числом);
  4. Якщо S (b) = a і S (c) = a , Тоді b = c (Якщо натуральне число a безпосередньо випливає як за числом b , Так і за числом c , То b = c );
  5. Аксіома індукції. Нехай P (n) - Деякий одномісний предикат, що залежить від параметра - натурального числа n . Тоді:
якщо P (1) і \ Forall n \; (P (n) \ Rightarrow P (S (n))) , То \ Forall n \; P (n)
(Якщо деякий висловлювання P вірно для n = 1 (База індукції) і для будь-якого n при допущенні, що вірно P (n) , Вірно і P (n + 1) (Індукційне припущення), то P (n) вірно для будь-яких натуральних n ).

Перераховані аксіоми відображають наше інтуїтивні уявлення про "натуральному ряді".

Принциповим фактом є те, що ці аксіоми по суті однозначно визначають натуральні числа (категоричність системи аксіом Пеано). А саме, можна довести (див. [1], а також короткий доказ [2]), що якщо (\ Mathbb N, 1, S) і (\ Tilde {\ mathbb N}, \ tilde 1, \ tilde S) - Дві моделі для системи аксіом Пеано, то вони необхідно ізоморфні, тобто існує біекція f \ colon \ mathbb N \ to \ tilde {\ mathbb N} така, що f (1) = \ tilde 1 і f (S (x)) = \ tilde S (f (x)) для всіх x \ in \ mathbb N .

Тому, досить зафіксувати як \ Mathbb N яку-небудь одну конкретну модель безлічі натуральних чисел, наприклад, ту, що описана нижче.


1.2. Теоретико-множинне визначення (Визначення Фреге-Рассела)

Згідно теорії множин, єдиним об'єктом конструювання будь-яких математичних систем є безліч.

Таким чином, і натуральні числа вводяться, виходячи з поняття множини, за двома правилами:

  • 0 = \ varnothing
  • S (n) = n \ cup \ left \ {n \ right \}

Числа, задані таким чином, називаються ординальні.

Перші кілька ординальні чисел і відповідні їм натуральні числа:

  • 0 = \ varnothing
  • 1 = \ left \ {0 \ right \} = \ left \ {\ varnothing \ right \}
  • 2 = \ left \ {0,1 \ right \} = \ big \ {\ varnothing, \; \ left \ {\ varnothing \ right \} \ big \}

2. Нуль як натуральне число

Іноді, в іноземній і перекладній літературі, в першій і третій аксіомах Пеано замінюють 1 на 0 . У цьому випадку нуль вважається натуральним числом. При визначенні через класи рівнопотужних множин 0 є натуральним числом за визначенням. Спеціально відкидати його було б неприродно. Крім того, це значно ускладнило б подальше побудова і застосування теорії, так як в більшості конструкцій нуль, як і порожній безліч, не є чимось виділеним. Одним з переваг натурального нуля є те, що при цьому \ N утворює напівгруп з одиницею.

У російській літературі зазвичай нуль виключений з числа натуральних чисел 0 \ notin \ mathbb {N} , А безліч натуральних чисел з нулем позначається як \ Mathbb {N} _0 . Якщо у визначення натуральних чисел включений нуль, то безліч натуральних чисел записується як \ Mathbb {N} , А без нуля як \ Mathbb {N} ^ * .

У міжнародній математичній літературі, з урахуванням сказаного вище і щоб уникнути неоднозначностей, безліч \ {1,2, \ dots \} зазвичай називають безліччю позитивних цілих чисел і позначають \ Z_ + . Безліч \ {0,1, \ dots \} часто називають безліччю невід'ємних цілих чисел і позначають \ Z_ {\ geqslant 0} .


3. Операції над натуральними числами

До замкнутим операціями (операціями, не виводить результат з безлічі натуральних чисел) над натуральними числами відносяться такі арифметичні операції:

  • Додавання. Доданок + Доданок = Сума
  • Множення. Множник * Множник = Твір
  • Піднесення до степеня a b , Де a - підстава ступеня і b - показник ступеня. Якщо основа і показник натуральні, то й результат буде натуральним числом.

Додатково розглядають ще дві операції. З формальної точки зору вони не є операціями над натуральними числами, оскільки не визначені для всіх пар чисел (іноді існують, іноді ні).

  • Вирахування. Зменшуване - Від'ємник = Різниця. При цьому зменшується повинно бути більше віднімається (або дорівнює йому, якщо вважати 0 натуральним числом).
  • Розподіл. Ділене / Дільник = (Приватне, Залишок). Приватне p і залишок r від ділення a на b визначаються так: a = p * b + r , Причому 0 \ leqslant r <b . Зауважимо, що саме остання умова забороняє розподіл на нуль, бо інакше a можна представити у вигляді a = p * 0 + a , Тобто можна було б вважати приватним 0 , А залишком = a .

Слід зауважити, що саме операції додавання і множення є основними. Зокрема, кільце цілих чисел визначається саме через бінарні операції додавання і множення.


3.1. Теоретико-множинні визначення

Скористаємося визначенням натуральних чисел як класів еквівалентності кінцевих множин. Будемо позначати клас еквівалентності множини A відносно біекцій як [A]. Тоді основні арифметичні операції визначаються наступним чином:

  • [A] + [B] = [A \ sqcup B]
  • [A] * [B] = [A \ times B]
  • [A] [B] = [A B]

де A \ sqcup B - діз'юнктное об'єднання множин, A \ times B - пряме твір, A B - Безліч відображень з B в A. Можна показати, що отримані операції на класах введені коректно, тобто не залежать від вибору елементів класів, і збігаються з індуктивними визначеннями.


3.2. Основні властивості

  1. Комутативність складання. \, \! a + b = b + a
  2. Комутативність множення. \, \! ab = ba
  3. Асоціативність додавання. \, \! (A + b) + c = a + (b + c)
  4. Асоціативність множення. \, \! (Ab) c = a (bc)
  5. Дистрибутивність множення відносно додавання. \, \! \ Begin {cases} a (b + c) = ab + ac \ \ (b + c) a = ba + ca \ end {cases}

3.3. Алгебраїчна структура

Додавання перетворює безліч натуральних чисел в напівгруп з одиницею, роль одиниці виконує 0. Множення також перетворює безліч натуральних чисел в напівгруп з одиницею, при цьому одиничним елементом є 1. За допомогою замикання щодо операцій додавання-віднімання і множення-ділення виходять групи цілих чисел \ Mathbb Z і раціональних позитивних чисел \ Mathbb Q ^ * _ + відповідно.


Примітки

  1. Феферман С. Числові системи. Підстави алгебри та аналізу - 1971. - 445 с.
  2. Доказ єдиності натуральних чисел - www.apronus.com / provenmath / naturalaxioms.htm. архіві - www.webcitation.org/617hzARNB з першоджерела 22 серпня 2011.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Натуральне господарство
80 (число)
e (число)
31 (число)
-1 (Число)
60 (число)
12 (число)
14 (число)
18 (число)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru