Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Невизначений інтеграл



План:


Введення

Невизначений інтеграл для функції f (x) \, - Це сукупність всіх первісних даної функції.

Якщо функція f (x) \, визначена і неперервна на проміжку (A, b) \, і F (x) \, - Її первообразная, тобто F '(x) = f (x) \, при a <x <b \, , То

\ Int f (x) dx = F (x) + C, \,a <x <b \, ,

де С - довільна стала.


d \ left (\ int f (x) dx \ right) = f (x) dx
\ Int d (F (x)) = F (x) + C
\ Int a \ cdot f (x) dx = a \ cdot \ int f (x) dx
\ Int (f (x) \ pm g (x)) dx = \ int f (x) dx \ pm \ int g (x) dx
Якщо \ Int f (x) dx = F (x) + C , То і \ Int f (u) du = F (u) + C , Де u = φ (x) - Довільна функція, що має безперервну похідну

1. Підведення під знак диференціала

При підведенні під знак диференціала використовуються наступні властивості:

du = d (u + C) \,
du = {1 \ over a} d (au)
f '(u) \ cdot du = d (f (u))

2. Основні методи інтегрування

1. Метод введення нового аргументу. Якщо

\ Int g (x) dx = G (x) + C, \,

то

\ Int g (u) du = G (u) + C, \,

де u = \ varphi (x) \, - Безперервно диференціюється функція.

2. Метод розкладу. Якщо

g (x) = g_1 (x) + g_2 (x), \,

то

\ Int g (x) dx = \ int g_1 (x) dx + \ int g_2 (x) dx. \,

3. Метод підстановки. Якщо g (x) \, - Неперервна, то, вважаючи

x = \ varphi (t), \,

де \ Varphi (t) \, неперервна разом зі своєю похідною \ Varphi '(t) \, , Одержимо

\ Int g (x) dx = \ int g (\ varphi (t)) \ varphi '(t) dt. \,

4. Метод інтегрування по частинах. Якщо u \, і v \, - Деякі диференціюються функції від x \, , То

\ Int u dv = uv - \ int v du. \,

3. Таблиця основних невизначених інтегралів

\ Int 0 \ cdot dx = C; \,
\ Int 1 \ cdot dx = x + C; \,
\ Int x ^ n dx = \ frac {x ^ {n +1}} {n +1} + C \,(N \ ne -1); \,
\ Int \ frac {1} {x} dx = \ ln \ mid x \ mid + C; \,
\ Int e ^ x dx = e ^ x + C; \,
\ Int a ^ x dx = \ frac {a ^ x} {\ ln a} + C, \,(A> 0, a \ ne 1); \,
\ Int \ cos x \, dx = \ sin x + C; \,
\ Int \ sin x \, dx = - \ cos x + C; \,
\ Int \ frac {dx} {\ cos ^ 2 x} = \ mathrm {tg} \, x + C; \,
\ Int \ frac {dx} {\ sin ^ 2 x} = - \ mathrm {ctg} \, x + C; \,
\ Int \ frac {dx} {\ sqrt {1-x ^ 2}} = \ arcsin x + C = - \ arccos x + C '(C' = \ frac {\ pi} {2} + C); \ ,
\ Int \ frac {dx} {1 + x ^ 2} = \ mathrm {arctg} \, x + C; \,
\ Int \ mathrm {ch} \, x dx = \ mathrm {sh} \, x + C; \,
\ Int \ mathrm {sh} \, x dx = \ mathrm {ch} \, x + C; \,

Зліва в кожному рівність варто довільна (але певна) первообразная функція для відповідної подинтегральной функції, справа ж - одна певна первообразная, до якої ще додається константа C \, така, щоб виконувалося рівність між цими функціями.

Первісні функції в цих формулах визначені і неперервні на тих інтервалах, на яких визначені і неперервні відповідні подинтегральних функції. Ця закономірність не випадкова: як зазначено вище, будь-яка безперервна на інтервалі функція має на ньому безперервну первісну.


Література

  • Нікольський С. М. Глава 9. Визначений інтеграл Рімана / / Курс математичного аналізу - 1990 Т. 1.
  • Ільїн В. А., Позняк, Е. Г. Глава 6. Невизначений інтеграл / / Основи математичного аналізу - 1998 Т. 1. - (Курс вищої математики і математичної фізики).
  • Демидович Б. П. Відділ 3. Невизначений інтеграл / / Збірник завдань і вправ з математичного аналізу - 1990. - (Курс вищої математики і математичної фізики).

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Інтеграл
Визначений інтеграл
Кратний інтеграл
Стохастичний інтеграл
Невласний інтеграл
Функціональний інтеграл
Гаусів інтеграл
Інтеграл (компанія)
Інтеграл зіткнень
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru