Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Нерухома точка



Відображення з трьома нерухомими точками

В математики, нерухома точка відображення - точка, яку відображення переводить у неї ж, іншими словами, рішення рівняння f (x) = x .

Приміром, відображення f (x) = x 2 - 3 x + 3 має нерухомі точки x = 1 і x = 3 , Оскільки f (1) = 1 і f (3) = 3 .

Нерухомі точки є не у всякого відображення - скажімо, відображення f (x) = x + 1 речової прямої в себе нерухомих точок не має.

Точки, що повертаються до тями після певного числа ітерацій, тобто, рішення рівняння

f (f (\ dots f (x) \ dots)) = x,

називаються періодичними (зокрема, нерухомі точки - це періодичні точки періоду 1).


Притягають нерухомі точки

Знаходження рішення рівняння x = cos x

Нерухома точка x = f (x) відображення f - притягає, якщо ітерації будь-якої початкової точки y, досить близькою до x, будуть до x прагнути:

f (f (\ underbrace {\ dots f (y) \ dots} _ {n \, \ text {times}})) \ rightarrow x, \ quad n \ rightarrow \ infty.

(При цьому, зазвичай, вимагають, щоб ітерації y не покидали деякої більшої околиці точки x - тобто, щоб точка x була асимптотично стійка.)

Зокрема, достатньою умовою, щоб точка була притягає, є умова на похідну: | f '(x) | <1.


Метод Ньютона

Одним із застосувань ідеї притягає нерухомої точки є метод Ньютона : шукане рішення виявляється притягає нерухомою точкою побудованого відображення, і тому може бути знайдено як межа (дуже швидко сходиться) послідовності ітерацій.

Найбільш відоме застосування цього методу знаходження квадратного кореня з числа a> 0 як послідовності ітерацій відображення

f (x) = (x + \ frac {a} {x}) / 2.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Мережа точка-точка
Точка
Точка зйомки
Точка монтування
Точка зламу
Точка Ферма
Точка біфуркації
Точка повернення
Лямбда-точка
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru