Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Нестандартний аналіз



План:


Введення

Нестандартний аналіз - з'явилося як розділ математичної логіки, присвячений додатком теорії нестандартних моделей до досліджень в традиційних галузях математики: математичному аналізі, теорії функцій, теорії диференціальних рівнянь, топології та ін

В нестандартному аналізі на сучасній основі реалізується висхідна до ідей Лейбніца та його послідовників про існування нескінченно малих величин, відмінних від нуля, - ідея, яка в історичному розвитку математичного аналізу була замінена поняттям межі змінної величини в середині XIX століття. Недовіра до актуальних нескінченним величинам в математиці наростало у зв'язку з труднощами їх формального обгрунтування. В рамках теоретико-множинної концепції на початку XX століття склалося досить догматичне судження про принципову неможливість реабілітації актуальних нескінченно малих і великих величин і з середини тридцятих до початку шістдесятих років XX століття актуально нескінченні величини в математиці були заборонені як некоректні, а поняття межі було оголошено єдиним інструментом суворого обгрунтування аналізу. Цікаво, що уявлення про актуальні нескінченно великих і нескінченно малих величинах зберігалися у фізиці та інших розділах природознавства, незважаючи на довільні математичні заборони. Останні проіснували недовго і були парадоксальним чином зруйновані, коли з'явилося перше сучасне виклад інфінітезімальних методів, яке дав Абрахам Робінсон ( 1961), причому саме в рамках тепер класичною теоретико-множинної установки.

Курт Гдель писав у 1973 : "Є вагомі підстави вважати, що нестандартний аналіз, в тій чи іншій формі, стане аналізом майбутнього".


1. Основні положення

У загальних рисах основний метод Робінсона можна описати таким чином. Розглядається деяка математична структура M і будується логіко-математичну мову 1-го порядку, що відображає аспекти цієї структури, що цікавлять дослідника. Потім методами теорії моделей будуються нестандартна модель теорії структури M , Що є власним розширенням M . При належному побудові нові, нестандартні, елементи моделі можуть бути витлумачені як граничні, "ідеальні" елементи первісної структури. Наприклад, якщо спочатку розглядалося упорядковане поле дійсних чисел, то нестандартні елементи моделі природно розглядати як "інфінітезімальние", тобто нескінченно великі або нескінченно малі, але відмінні від нуля дійсні числа. При цьому всі звичайні відносини між речовими числами автоматично переносяться і на нестандартні елементи із збереженням всіх їх властивостей, виражених в логіко-математичному мовою. Подібним чином у теорії фільтрів на даній безлічі нестандартний елемент визначає непорожнє перетин всіх елементів фільтра; в топології виникає сімейство нестандартних точок, розташованих "нескінченно близько" до даного пункту. Ілюмінація нестандартних елементів моделі часто дозволяє дати зручні критерії для звичайних понять в термінах нестандартних елементів. Наприклад, можна довести, що стандартна дійсна функція f (x) неперервна в стандартній точці x 0 тоді і тільки тоді, коли f (x) нескінченно близька до f (x 0) для всіх (і нестандартних) точок нескінченно близьких до x 0 . Отримані критерії можуть бути з успіхом застосовані до доведення звичайних математичних результатів.

Результати стандартної математики, отримані методами нестандартного аналізу, можуть бути природно передоказани і звичайним способом, але розгляд нестандартної моделі має ту значну перевагу, що дозволяє актуально вводити в міркування "ідеальні" елементи, що дозволяє давати прозорі формулювання для багатьох понять, пов'язаних з граничними переходами від кінцевого до нескінченного. За допомогою нестандартного аналізу був виявлений ряд нових фактів. Багато класичні докази помітно виграють у наочності при викладі їх методами нестандартного аналізу. Однак цим місце і роль нестандартного аналізу далеко не вичерпуються.

У розумінні наших днів нестандартний аналіз - загальний математичний метод, заснований на уявленнях про актуально нескінченних величинах. Зараз нестандартний аналіз будується аксіоматично в рамках нових варіантів теорії множин, серед яких найбільш поширені теорія внутрішніх множин Нельсона і теорія множин зовнішніх Каваї. Ці теорії будуються на формалізації ідей, висхідних до найдавніших уявлень про відмінність актуальною і потенційною бесконечностей. Зазначені теорії є консервативним розширенням теорії Цермело - Френкеля і, отже, мають той самий статус строгості при розгляді їх як обгрунтування сучасної математики. При цьому нові теорії володіють незрівнянно більш широкими можливостями.


1.1. Стандартні і нестандартні елементи

Змістовним вихідним пунктом аксіоматики нестандартного аналізу є уявлення про те, що в кожному математичному об'єкті можуть бути елементи тільки двох типів. Елементи першого типу доступні нам або прямим або потенційно нескінченним способом в тому сенсі, що ми можемо або вказати такі елементи безпосередньо або довести їх існування і єдиність, використовуючи вже наявні в нашому розпорядженні доступні об'єкти. Об'єкти цього типу називають стандартними, а інші - нестандартними.

Нестандартний аналіз постулює, що в кожному нескінченному безлічі об'єктів є хоча б один нестандартний елемент - принцип ідеалізації. При цьому стандартних об'єктів досить для вивчення класичних математичних властивостей будь-яких об'єктів - принцип перенесення. Є також можливість задавати стандартні об'єкти, відбираючи стандартні елементи з заданою властивістю - принцип стандартизації. Варіанти цих принципів присутні у всіх аксіоматика нестандартного аналізу.

Стандартний об'єкт сам по собі часто нескінченний. Скажімо, стандартними є не тільки конкретні натуральні числа 5, 7, 10 в ступені 10 в ступені 10, трансцендентні числа начебто π і е, а й повні сукупності всіх натуральних чисел \ N або всіх дійсних чисел \ R . Оскільки \ N - Нескінченна безліч, то в \ N є нестандартний елемент N. Очевидно, що N більше 1, бо 1 - стандартне число. Якщо число m стандартно, то стандартно і наступне за ним число m + 1 , Бо воно виходить єдиним чином з двох стандартних чисел. Таким чином, кожне нестандартне натуральне число більше будь-якого стандартного натурального числа. Тому нестандартні натуральні числа називаються нескінченно великими. Число r нескінченно велике, якщо | R | більше якого-небудь нескінченно великого натурального числа. Ненульові нескінченно малі числа - це зворотні величини нескінченно великих чисел. Основоположники інфінітезімального аналізу говорили не про стандартні або нестандартних числах, а виділяли "можуть бути заданими числа". Наприклад, Ейлер вважав позитивне число нескінченно великою, якщо воно більше будь-якого здатного бути заданим числа.

Число, яке не є нескінченно великою, називають кінцевим. Два числа називають нескінченно близькими, якщо різниця між ними нескінченно мала. Можна довести, що кожне кінцеве число нескінченно близько до єдиного стандартному числа - до своєї стандартної частини. Числа, нескінченно близькі до даного кінцевого числа, складають його монаду. Монада не є звичайними множинами (їх іменують зовнішніми множинами по відношенню до світу Цермело-Френкеля). Монада різних стандартних чисел попарно не перетинаються, але в об'єднанні охоплюють всі кінцеві числа. Таким чином, формальна техніка нестандартного аналізу добре відбиває натурфілософські уявлення про подвійну "дискретно-неперервної" структурі "фізичної" числової прямої.

Важливо розуміти, що нестандартний аналіз використовує нове первинне поняття - властивість об'єкта бути чи не бути стандартним. В "стандартної" математики ці відмінності невимовно, і тому в ній не можна говорити про актуальні нескінченно великих і нескінченно малих постійних величинах. При цьому формальна теорія нестандартного аналізу являє собою консервативне розширення класичної. Тобто будь-яке судження класичної математики, доведене за допомогою нестандартного аналізу, може бути встановлено і без використання нових методів.


2. Програми

У той же час нестандартний аналіз здатний вивчати властивості актуально нескінченних об'єктів, пропонуючи нові методи моделювання, недоступні стандартної математики. Можна сказати, що нестандартний аналіз вивчає рівно ті ж математичні об'єкти, що і стандартна математика. Однак у кожному такому об'єкті він бачить додаткову внутрішню структуру, яка звичайної математикою повністю ігнорується. Іноді метод нестандартного аналізу порівнюють з кольоровим телебаченням. Чорно-білий телевізор здатний показувати ті ж об'єкти, що і кольоровий, але він не в змозі передати багатство забарвлень складових їх елементів. Ця аналогія наочно ілюструє те принципову обставину, що роль нестандартного аналізу істотно ширше, ніж надання додаткових коштів для спрощення апарату звичайної математики. Нестандартний аналіз відкриває нам багату внутрішню структуру класичних математичних об'єктів, наповнених як доступними, так і тільки уявними елементами.


Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Аналіз
SWOT-аналіз
Радіовуглецевий аналіз
Бізнес-аналіз
Фінансовий аналіз
Рентгеноструктурний аналіз
Частотний аналіз
Коваріаційний аналіз
Дискурсивний аналіз
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru