Носій функції

Носій функції - замикання множини, на якому функція відмінна від нуля.


1. Носій класичної функції

Носій функції u \ colon X \ to \ R - Це замикання підмножини X , На якому вещественнозначная функція u не звертається в нуль:

\ Mathrm {supp} \, u = \ overline {\ left \ {x \ mid u (x) \ ne 0 \ right \}}.

Найбільш поширеним є випадок, коли функція u визначена на топологічному просторі X і є безперервною. У такому випадку носій визначається як найменше замкнута підмножина X , За межами якого u дорівнює нулю.


1.1. Компактний носій

Функції з компактним носієм на X - Ті, носій яких є компактним підмножиною X .

Наприклад, якщо X - Це речова пряма, то всі безперервні функції, обнуляється при | X |> C , Є функціями з компактним носієм.

Функція називається фінітних, якщо її носій компактний.


2. Носій узагальненої функції

Також можна ввести поняття носія для узагальненої функції, тобто для функціоналу на множині бесконечногладкіх фінітних функцій.

2.1. Формальне визначення

Розглянемо узагальнену функцію f і все безлічі K такі, що якщо фінітних функція \ Varphi обнуляється на безлічі K , То значення (F, \; \ varphi) дорівнює 0.

Найменше (по включенню) з таких множин називається носієм узагальненої функції f . (Інакше можна сказати, що \ Mathrm {supp} \, f є перетином усіх таких K ).

Варто відзначити, що носій узагальненої функції буде непустих компактним безліччю.


2.2. Зауваження

Зауважимо, що таке визначення носія не збігається з класичним. Дійсно, узагальнена функція f визначена на просторі нескінченно гладких фінітних функцій C_0 ^ {\ infty} (X) , А значить, класичний носій має бути підмножиною C_0 ^ {\ infty} (X) , В той час як носій узагальненої функції є підмножина X .


2.3. Приклади

В якості прикладу можна розглянути функцію Дірака \ Delta (x) .

Візьмемо будь-яку фінітних функцію \ Varphi з носієм, не включає точку 0. Так як (\ Delta, \; \ varphi) ( \ Delta застосовується як лінійний функціонал до \ Varphi ) Дорівнює нулю для таких функцій, ми можемо сказати, що носій \ Delta - Це тільки точка \ {0 \} .


3. Сингулярних носій

В аналізі Фур'є зокрема, цікаво вивчити сингулярних носій узагальненої функції. Він має інтуїтивну інтерпретацію, як набір точок, в яких "узагальнена функція не зводиться до звичайної".

3.1. Формальне визначення

Нехай f - узагальнена функція. Її можна представити у вигляді f = u + v , Де u - регулярна узагальнена функція, а v - сингулярна узагальнена функція. (Таке уявлення, взагалі кажучи, не єдино.)

Перетин носіїв \ Mathrm {supp} \, v по всіх можливих розкладання f = u + v називається сингулярним носієм узагальненої функції f .

Класичне позначення сингулярного носія \ Mathrm {sing \, supp} \, f .


3.2. Приклади

Так, сингулярним носієм для функції Дірака є точка 0.

В даному окремому випадку сингулярних носій і просто носій узагальненої функції збігаються. Однак, це не є загальна властивість. Наприклад, для узагальненої функції, діючої за формулою

(F, \; \ varphi) = \ int \ limits_0 ^ 1 \ varphi \, dx + \ varphi (0),

носієм буде відрізок [0, \; 1] , А сингулярним носієм точка 0.

Іншим прикладом є перетворення Фур'є для крокової функції Хевісайда може бути розглянуто з точністю до константи як 1 / x , За винятком точки, в якій x = 0 . Так як це очевидно особлива точка, то більш точним є формулювання, що перетворення в якості розподілу має сингулярних носій \ {0 \} .

Для розподілів з декількома змінними, сингулярні носії дозволяють визначати безлічі хвильового фронту і зрозуміти принцип Гюйгенса в термінах математичного аналізу. Сингулярні носії також можуть бути використані для розуміння феноменів, специфічних для теорії розподілів, таких як спроби перемноження розподілів (зведення в квадрат дельти-функції Дірака неможливо, в основному тому, що сингулярні носії розподілів, які перемножуються повинні бути розділені).

Важливе вживання сингулярних носій знаходить в теорії псевдодіфференціальних операторів (ПДО), зокрема в теоремі про псевдолокальності ПДО.


4. Носій заходи

Так як заходи (включаючи заходи ймовірності) на речовій прямий є особливими випадками узагальнених функцій (розподілів), ми також можемо говорити про носії заходи таким же чином.

Література

  • Шубін М. А. Псевдодіфференціальние оператори і спектральна теорія. - 2-ге вид. - М.: "Добросвет", 2003.