Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Обмежене безліч



План:


Введення

В математичному аналізі, і прилеглих розділах математики, обмежене безліч - безліч, яку в певному сенсі має кінцевий розмір. Базовим є поняття обмеженості числового безлічі, яке узагальнюється на випадок довільного метричного простору, а також на випадок довільного частково упорядкованої множини. Поняття обмеженості множини не має сенсу в загальних топологічних просторах, без метрики.


1. Обмежене числове безліч

Безліч дійсних чисел X \ subset \ mathbb {R} називається обмеженим зверху, якщо існує число b , Таке що всі елементи X не перевершують b :

\ Exists b \; \ forall x \; (x \ in X \ Rightarrow x \ leqslant b)

Безліч дійсних чисел X \ subset \ mathbb {R} називається обмеженим знизу, якщо існує число b , Таке що всі елементи X не менше: b : \ Exists b \; \ forall x \; (x \ in X \ Rightarrow x \ geqslant b)

Безліч X \ subset \ mathbb {R} , Обмежене зверху і знизу, називається обмеженим.

Безліч X \ subset \ mathbb {R} , Яка не є обмеженим, називається необмеженим. Як випливає з визначення, не обмежена тоді і тільки тоді, коли воно не обмежена зверху або не обмежено знизу.

Прикладом обмеженого безлічі є відрізок [A, b] = \ {a \ leqslant x \ leqslant b \} ,

необмеженого - безліч всіх цілих чисел \ Mathbb {Z} = \ {\ ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ ldots \} ,
обмеженого зверху, але необмеженого знизу - промінь x <0 ,
обмеженого знизу, але необмеженого зверху - промінь x> 0 .

2. Варіації і узагальнення

2.1. Обмежене безліч в метричному просторі

Нехай (X, ρ) - метричний простір. Безліч M \ subset X називається обмеженим, якщо вона міститься в деякому кулі B r (a) :

\ Exists a \ in X \; \ exists (r> 0) \; \ forall x \ in X (x \ in M ​​\ Rightarrow \ rho (a, x) <r)

Безліч, що не є обмеженим, називається необмеженим.

На відміну від числової прямої, в довільному метричному просторі можна ввести поняття обмеженого зверху і знизу обмеженого множин.

Крім поняття обмеженої множини для довільного метричного простору існує більш спеціальне поняття цілком обмеженої множини. У разі числових множин це поняття збігається з поняттям обмеженої множини.


2.2. Обмеженість у частково упорядкованому безлічі

Поняття обмеженого зверху, обмеженого знизу і просто обмеженого безлічі можна ввести в довільному частково упорядкованому безлічі. Ці визначення буквально повторюють відповідні визначення для числових множин.

Нехай (P, \ leqslant) - Частково упорядкований безліч, S \ subset P . Безліч S називається обмеженим зверху, якщо

\ Exists b \; \ forall x \; (x \ in S \ Rightarrow x \ leqslant b)

обмеженим знизу, якщо

\ Exists b \; \ forall x \; (x \ in S \ Rightarrow x \ geqslant b)

Безліч, обмежений і зверху і знизу, називається обмеженим.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Безліч
Безліч
Нескінченна безліч
Канторової безліч
Щільне безліч
Рахункове безліч
Універсальне безліч
Безліч Мандельброта
Безліч Жюліа
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru