Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Одиничний коло



План:


Введення

Не слід плутати з одиничної колом.

Одиничний коло - коло радіуса 1 на евклідової площини (розглянутий зазвичай на комплексній площині); " Ідіоматична " область в комплексному аналізі.


1. Визначення

Одиничний коло - відкрите підмножина комплексної площини, що задається нерівністю

| Z | <1 або (що те ж саме), z \ bar z <1 .

В дійсних координатах x + i y = z нерівність виглядає як:

x 2 + y 2 <1 .

Коло зв'язний і односвязен (наприклад, в силу опуклості). Межею одиничного кола є одинична окружність.

Одиничний коло зазвичай позначається як Δ або D .


2. Автоморфізм одиничного кола

З точки зору конформних відображень, автоморфізм одиничного кола складають 3-мірну групу Лі, що складається з дрібно-лінійних відображень спеціального виду:

f (z) = e ^ {i \ varphi} \ frac {z + b} {1 + {\ bar b} z}, \ | b | <1

Дві міри свободи b забезпечуються можливістю відобразити 0 (центр) в довільну точку кола, а одна ( \ Varphi ) - поворотами.

З точки зору евклідової геометрії, зрозуміло, окрім поворотів у кола автоморфізмів ( рухів) немає.


3. Модель Пуанкаре

Виявляється, що конформні автоморфізм кола можна розглядати і як метричні, але якщо розглянути на колі особливу (неевклидову) метрику - метрику Пуанкаре:

ds ^ 2 = 4 \ frac {dz \, d {\ bar z}} {(1 - | z | ^ 2) ^ 2} = 4 \ frac {dx ^ 2 + dy ^ 2} {(1-x ^ 2-y ^ 2) ^ 2}.

Коло виявляється, таким чином, моделлю площині Лобачевського.

4. Коло або полуплоскость?

З точки зору комплексного аналізу, в принципі, немає різниці, яку з однозв'язна областей на площині розглядати - по теоремі Рімана вони все еквівалентні (крім самої площині). Найчастіше використовують одиничний коло і верхню полуплоскость. І одиничний коло, і полуплоскость можна розглядати як половинки сфери Рімана, розрізаної великий окружністю.

Однак, для досліджень пов'язаних зі статечними рядами зручніше розглядати саме кола (див. коло збіжності).


5. Інші значення

У принципі, "одиничним колом" можна назвати коло одиничного радіуса з центром не обов'язково в нулі (початку координат), і не на евклідової площини.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Одиничний квадрат
Одиничний вектор
Одиничний відрізок
Одиничний куб
Коло
Квінтовий коло
Герменевтична коло
Польське коло
Порочне коло
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru