Однорідна функція ступеня q - Числова функція f: \ R ^ n \ to \ R така, що для будь-якого \ Mathbf {v} \ in \ R ^ n і \ Lambda \ in \ R виконується рівність:

f (\ lambda \ mathbf {v}) = \ lambda ^ qf (\ mathbf {v}) \ qquad \ qquad (*)

причому q називають порядком однорідності.

Розрізняють також

  • позитивно однорідні функції, для яких рівність (*) виконується тільки для позитивних \ Lambda ( \ Lambda> 0 )
  • абсолютно однорідні функції для яких виконується рівність
    f (\ lambda \ mathbf {v}) = | \ lambda | ^ q f (\ mathbf {v})
  • обмежено однорідні функції, для яких рівність (*) виконується тільки для деяких виділених значень \ Lambda
  • комплексні однорідні функції f: \ mathbb {C} ^ n \ to \ mathbb {C} для яких рівність (*) справедливо при \ Mathbf {v} \ in \ mathbb {C} ^ n і \ Lambda \ in \ R або \ Lambda \ in \ mathbb {C} (А також для комплексних показників q \ in \ mathbb {C} )

1. Властивості

  1. Якщо функція f є многочленом від n змінних, то вона буде однорідною функцією ступеня q в тому і тільки в тому випадку, коли f - однорідний многочлен ступеня q. Зокрема в цьому випадку q має бути цілим.
  2. Функція f (x_1, x_2, ..., x_n) = x_1 ^ q \ cdot h (x_2/x_1, x_3/x_1, ..., x_n/x_1) , Де h (t_2, t_3, ..., t_n) - Функція (N-1) змінних, є однорідною функцією з порядком однорідності q. Функція f (x_1, x_2, ..., x_n) = | x | ^ q \ cdot h (x_2/x_1, x_3/x_1, ..., x_n/x_1), де h (t_2, t_3, ..., t_n) - Функція (N-1) змінних, є абсолютно-однорідної функцією з порядком однорідності q.
  3. Однорідна функція в нулі дорівнює нулю, якщо вона там визначена: f (\ mathbf {0}) = 0. Виходить при підстановці в рівність (*) значення \ Lambda = 0.
  4. Співвідношення Ейлера : для однорідних функцій скалярний добуток їх градієнта на вектор своїх змінних пропорційно самої функції з коефіцієнтом, рівним порядку однорідності: \ Mathbf {v} \ cdot \ nabla f (\ mathbf {v}) = qf (\ mathbf {v}) або, в еквівалентній записи, \ Sum x_k f'_ {x_k} = qf. Виходить при диференціюванні рівності (*) по \ Lambda при \ Lambda = 1.
  5. Якщо f (x_1, x_2, ..., x_n) - Дифференцируемая однорідна функція c порядком однорідності q , То її перші приватні похідні f'_ {x_k} (x_1, x_2, ..., x_n) - Це однорідні функції c порядком однорідності q-1 . Для доказу достатньо продиференціювати по x_k праву і ліву частини тотожності f (\ lambda x_1, \ lambda x_2, \ ldots, \ lambda x_n) = \ lambda ^ qf (x_1, x_2, \ ldots, x_n) і отримати тотожність f'_ {x_k} (\ lambda x_1, \ lambda x_2, \ ldots, \ lambda x_n) = \ lambda ^ {q-1} f'_ {x_k} (x_1, x_2, \ ldots, x_n).


Теорема. Будь однорідна функція з порядком однорідності q може бути представлена ​​у формі

f (x_1, x_2, ..., x_n) = x_1 ^ q \ cdot h (x_2/x_1, x_3/x_1, ..., x_n/x_1),

де h (t_2, t_3, ..., t_n) - Деяка функція (N-1) змінних. Будь абсолютно-однорідна функція з порядком однорідності q може бути представлена ​​як

f (x_1, x_2, ..., x_n) = | x | ^ q \ cdot h (x_2/x_1, x_3/x_1, ..., x_n/x_1),

де h (t_2, t_3, ..., t_n) - Деяка функція (N-1) змінних.

Доказ. Зробимо взаємно-однозначну заміну змінних x_1, x_2, ..., x_n \ to x_1, t_2, ..., t_n, де t_k = x_k/x_1, так що f (x_1, x_2, ..., x_n) = g (x_1, t_2, ..., t_n). Тоді g (\ lambda x_1, t_2, ..., t_n) = \ lambda ^ qg (x_1, t_2, t_3, ..., t_n). "Заморозити" t_2, ..., t_n. Зробимо заміну y = \ log | x_1 |, так що g (x_1, t_2, t_3, ..., t_n) \ to G (y, t_2, ..., t_n) і g (\ lambda x_1, t_2, t_3, ..., t_n) \ to G (y + \ log \ lambda, t_2, ..., t_n). Після логарифмування отримаємо рівність \ Log G (y + \ log \ lambda, ...) = q \ log \ lambda + \ log G (y, ...). Єдиним рішенням функціонального рівняння \ Forall y, \ mu \; \ varphi (y + \ mu) = \ varphi (y) + q \ mu є функція \ Varphi (y) = qy + const (Випливає з диференціювання цього функціонального рівняння по \ Mu при \ Mu = 0 ). Оскільки в нашому випадку const = const (t_2, ..., t_n) = \ log h (t_2, ..., t_n), після потенціювання (операція, зворотна логарифмуванню), отримаємо необхідний результат: f (x_1, ..., x_n) = x_1 ^ q \ cdot h (x_2/x_1, ..., x_n/x_1).


Теорема Ейлера для однорідних функцій. Для того, щоб функція f (x_1, x_2, ..., x_n) була однорідною функцією з порядком однорідності q, необхідно і достатньо виконання співвідношення Ейлера

\ Sum x_k f'_ {x_k} (x_1, x_2, ..., x_n) = qf (x_1, x_2, ..., x_n).

Доказ. Необхідність виходить з диференціювання рівності (*) при \ Lambda = 1. Для доказу достатності візьмемо функцію \ Varphi (\ lambda) = \ lambda ^ {-q} f (\ lambda x_1, \ lambda x_2, ..., \ lambda x_n) при "заморожених" x_1, x_2, ..., x_n. Продиференціюємо її по \ Lambda:

\ Varphi '(\ lambda) =-q \ lambda ^ {-q-1} f (\ lambda x_1, \ lambda x_2, ..., \ lambda x_n) + \ lambda ^ {-q} \ sum f'_ {x_k} (\ lambda x_1, \ lambda x_2, ..., \ lambda x_n) x_k.

В силу умови \ Sum (\ lambda x_k) \ cdot f'_ {x_k} (\ lambda x_1, \ lambda x_2, ..., \ lambda x_n) = qf (\ lambda x_1, \ lambda x_2, ..., \ lambda x_n ) отримуємо \ Varphi '(\ lambda) = 0 і \ Varphi (\ lambda) = c = const. Константу c визначаємо з умови \ Varphi (1) = f (x_1, x_2, ..., x_n). В результаті \ Lambda ^ q \ varphi (\ lambda) = f (\ lambda x_1, \ lambda x_2, ..., \ lambda x_n) = \ lambda ^ {q} f (x_1, x_2, ..., x_n).


Слідство. Якщо функція диференційована і в кожній точці простору співвідношення однорідності (*) справедливо в деякому інтервалі значень \ Lambda \ in \ left [\ lambda_0-\ varepsilon, \ lambda_0 + \ varepsilon \ right] \ sub \ left [0, \ infty \ right), то воно справедливо для всіх \ Lambda> 0.

Доказ. Продифференцируем співвідношення (*) по \ Lambda в точці \ Lambda = \ lambda_0:

\ Sum x_k f'_ {x_k} (\ lambda_0 x_1, \ lambda_0 x_2, ..., \ lambda_0 x_n) = q \ lambda_0 ^ {q-1} f (x_1, x_2, ..., x_n) = \ frac {q} {\ lambda_0} f (\ lambda_0 x_1, \ lambda_0 x_2, ..., \ lambda_0 x_n).

Це означає, що в точці y_k = \ lambda_0 x_k виконано співвідношення Ейлера, причому в силу довільності точки (X_1, x_2, ..., x_n) точка (Y_1, y_2, ..., y_n) теж довільна. Повторивши наведене вище доказ теореми Ейлера про однорідної функції, ми отримаємо, що в точці (Y_1, y_2, ..., y_n) виконано співвідношення однорідності, причому для довільного \ Lambda> 0. Крапку (X_1, x_2, ..., x_n) можна вибрати так, щоб точка (Y_1, y_2, ..., y_n) збіглася з будь-якою наперед заданою точкою простору. Отже, в кожній точці простору співвідношення (*) виконується при будь-якому \ Lambda> 0.


2. Лямбда-однорідні функції

Нехай заданий вектор \ Mathbf {\ lambda} = (\ lambda_1, \ lambda_2, ..., \ lambda_n). Функція n змінних f (x_1, x_2, ..., x_n) називається \ Lambda -Однорідної c порядком однорідності q , Якщо при будь-яких t> 0 і будь-яких \ Mathbf {x} = (x_1, x_2, ..., x_n) \ in {\ R} ^ n справедливо тотожність

f (t ^ {\ lambda_1} x_1, t ^ {\ lambda_2} x_2, ..., t ^ {\ lambda_n} x_n) = t ^ qf (x_1, x_2, ..., x_n).


При \ Lambda_k = 1\ Lambda -Однорідні функції переходять в звичайні однорідні функції. Іноді замість порядку однорідності q вводять ступінь однорідності m , Обумовлену зі співвідношення

f (t ^ {\ lambda_1} x_1, t ^ {\ lambda_2} x_2, ..., t ^ {\ lambda_n} x_n) = t ^ {m \ frac {| \ mathbf {\ lambda} |} {n} } f (x_1, x_2, ..., x_n),

де | \ Mathbf {\ lambda} | = \ sum | \ lambda_k |. Для звичайних однорідних функцій порядок однорідності q і ступінь однорідності m збігаються.


Якщо приватні похідні f'_ {x_k} (x_1, x_2, ..., x_n) безперервні в \ R ^ n , То для \ Lambda -Однорідних функцій справедливо співвідношення, узагальнююче співвідношення Ейлера і виходить при диференціюванні тотожності для \ Lambda -Однорідності в точці t = 1 :

\ Sum \ lambda_x x_k f'_ {x_k} (x_1, x_2, ..., x_n) = qf (x_1, x_2, ..., x_n).

Як і у випадку звичайних однорідних функцій, це співвідношення є необхідним і достатнім, щоб функція f (x_1, x_2, ..., x_n) була \ Lambda -Однорідної функцією з вектором (\ Lambda_1, \ lambda_2, ..., \ lambda_n) і порядком однорідності q. Для доказу достатності треба розглянути функцію \ Varphi (t) = t ^ {-q} f (t ^ {\ lambda_1} x_1, t ^ {\ lambda_2} x_2, ..., t ^ {\ lambda_n} x_n) і переконатися, що при виконанні зазначеного диференціального співвідношення її похідна дорівнює нулю, тобто що ця функція константа і що \ Varphi (t) \ equiv \ varphi (1).


Якщо f (x_1, x_2, ..., x_n) - \ Lambda -Однорідна функція з вектором \ Mathbf {\ lambda} = (\ lambda_1, \ lambda_2, ..., \ lambda_n) і порядком однорідності q , То вона ж є \ Lambda -Однорідної функцією з вектором \ Mathbf {\ lambda} = (\ alpha \ lambda_1, \ alpha \ lambda_2, ..., \ alpha \ lambda_n) і порядком однорідності \ Alpha q (Випливає з підстановки в тотожність для \ Lambda -Однорідності нового параметра t '\ to t ^ {\ alpha} ). У силу цього при розгляді \ Lambda -Однорідних функцій достатньо обмежуватися випадком \ Sum | \ lambda_k | = const. Зокрема, нормировка \ Sum | \ lambda_k | може вибиратися таким чином, щоб порядок однорідності q дорівнював заздалегідь фіксованому значенню. Крім того, без обмеження спільності можна вважати, що \ Lambda_k \ neq 0.


При заміні змінних x_k = y_k ^ {\ lambda_k}\ Lambda -Однорідна функція f (x_1, x_2, ..., x_n) з вектором \ Mathbf {\ lambda} = (\ lambda_1, \ lambda_2, ..., \ lambda_n) і порядком однорідності q переходить в звичайну однорідну функцію g (y_1, y_2, ..., y_n) з порядком однорідності q . Звідси випливає, що загальне уявлення для \ Lambda -Однорідних функцій з вектором \ Mathbf {\ lambda} = (\ lambda_1, \ lambda_2, ..., \ lambda_n) і порядком однорідності q має вигляд:

f (x_1, x_2, ..., x_n) = x_1 ^ {q / \ lambda_1} \ cdot h (x_2 ^ {1 / \ lambda_2} / x_1 ^ {1 / \ lambda_1}, x_3 ^ {1 / \ lambda_3 } / x_1 ^ {1 / \ lambda_1}, \ ldots, x_n ^ {1 / \ lambda_n} / x_1 ^ {1 / \ lambda_1}),

де h (t_2, t_3, ..., t_n) - Деяка функція (N-1) змінних.


Джерело: Я.С.Бугров, С.М.Нікольскій, Вища математика: підручник для вузів (у 3 т.), Т.2: Диференціальне та інтегральне числення (http://www.sernam.ru/lect_math2.php) , розділ 8.8.4.


3. Оператор Ейлера

Диференціальний оператор

x_1 \ frac {\ partial f} {\ partial x_1} + x_2 \ frac {\ partial f} {\ partial x_2} + \ ldots + x_n \ frac {\ partial f} {\ partial x_n}

іноді називають оператором Ейлера, за аналогією з тотожністю Ейлера для однорідних функцій. З теореми Ейлера для однорідних функцій, наведеної вище, випливає, що власними функціями цього оператора є однорідні функції і тільки вони, причому власним значенням для такої функції є її порядок однорідності.

Аналогічним чином для диференціального оператора

\ Lambda_1 x_1 \ frac {\ partial f} {\ partial x_1} + \ lambda_2 x_2 \ frac {\ partial f} {\ partial x_2} + \ ldots + \ lambda_n x_n \ frac {\ partial f} {\ partial x_n}

власними функціями є \ Lambda -Однорідні функції з вектором (\ Lambda_1, \ lambda_2, \ ldots, \ lambda_n) і тільки вони, причому власним значенням є порядок однорідності \ Lambda -Однорідної функції.

Джерело: Chi Woo, Igor Khavkine, Euler's theorem on homogeneous functions (PlanetMath.org)


4. Обмежено однорідні функції

Функція f (x_1, x_2, \ ldots, x_n): \ R ^ n \ to \ R називається обмежено однорідної з показником однорідності q щодо безлічі позитивних дійсних чисел \ Lambda (Званого безліччю однорідності), якщо для всіх \ Vec x \ in \ R ^ n і для всіх \ Lambda \ in \ Lambda справедливо тотожність

f (\ lambda \ vec x) = \ lambda ^ q f (\ vec x).

Безліч однорідності \ Lambda завжди містить в собі одиницю. Безліч однорідності \ Lambda не може включати в себе як завгодно малий безперервний відрізок \ Lambda \ in \ left [\ lambda_0-\ varepsilon, \ lambda_0 + \ varepsilon \ right] - В іншому випадку обмежено однорідна функція виявляється звичайною однорідної функцією (див. далі розділ "Деякі функціональні рівняння, пов'язані з однорідними функціями"). Тому інтерес представляють ті обмежено однорідні функції, у яких \ Lambda \ neq \ {1 \} і у яких безліч однорідності \ Lambda суто дискретно.

Приклад 1. Функція f (x) = x ^ q \ sin (\ log | x |) є обмежено однорідної з показником однорідності q щодо безлічі \ Lambda = \ {e ^ {2 \ pi m} \}, де m - Цілі числа.

Приклад 2. Функція f (x, y, z) = (x ^ 2 +2 y ^ 2 +3 z ^ 2) ^ {q / 2} \ cos (\ log \ sqrt {x ^ 2-xy + y ^ 2}) є обмежено однорідної з показником однорідності q щодо безлічі \ Lambda = \ {e ^ {2 \ pi k} \}, де k - Цілі числа.


Теорема. Щоб функція f (x_1, x_2, ..., x_n), певна при x_1> 0, була обмежено однорідної з порядком однорідності q, необхідно і достатньо, щоб вона мала вигляд

f (x_1, x_2, ..., x_n) = x_1 ^ q \ cdot H (\ log x_1, x_2/x_1, x_3/x_1, \ ldots, x_n/x_1),

де H (y, t_2, t_3, \ ldots, t_n) - Функція, періодична по змінній y з принаймні одним періодом, не залежних від t_2, t_3, \ ldots, t_n. В таком случае множество однородности \Lambda состоит из чисел \{e^{Y_k}\}, где Y_k - периоды функции H(y,t_2,t_3,\ldots,t_n), не зависящие от t_2,t_3,\ldots,t_n.

Доказательство. Достаточность проверяется непосредственно, надо доказать необходимость. Cделаем замену переменных

x_1,x_2,...,x_n \to x_1,t_2,...,t_n, где t_k = x_k/x_1,

так что f(x_1,x_2,...,x_n) = g(x_1,t_2,...,t_n). Если теперь рассмотреть функцию h(x_1,t_2,...,t_n) = g(x_1,t_2,...,t_n)/x_1^q, то из условия однородности получаем для всех допустимых x_1 равенство

h(\lambda x_1,t_2,...,t_n) = h(x_1,t_2,t_3,...,t_n),

которое будет справедливым, когда \lambda\in\Lambda. Если только множество \Lambda не состоит из одной лишь единицы, то после замены x_1 = \exp(y) функция

H(y,t_2,...,t_n) = H(\log x_1,t_2,...,t_n) = h(x_1,t_2,...,t_n)

оказывается периодической по переменной y с ненулевым периодом \log\lambda для любого выбранного фиксированным образом \lambda\in\Lambda, поскольку из приведённого выше равенства следует соотношение

H(\log x_1 + \log\lambda,t_2,...,t_n) = H(\log x_1,t_2,...,t_n).

Очевидно, что выбранное фиксированное значение \log\lambda будет периодом функции H(y,t_2,...,t_n) сразу при всех t_2,...,t_n.

Следствия:

  1. Если имеется наименьший положительный период Y>0, не зависящий от t_2,t_3,\ldots,t_n, то множество однородности \Lambda имеет вид \{e^{mY}\}, где m=0,\pm1,\pm2,\dots - произвольные целые числа. (Если Y - наименьший положительный период функции H(y,...), то и все Y_m=mY - её периоды, поэтому числа \{e^{mY}\} будут входить в множество однородности. Если же найдётся такое значение однородности \lambda_{*}=e^{Y_{*}}, что e^{mY} < e^{Y_{*}} < e^{(m+1)Y}, то Y_{*} - mY окажется положительным периодом, не зависящим от t_2,...,t_n, который будет меньше, чем Y. )
  2. Если функция H(y,\ldots) - это константа по переменной y, то у неё нет наименьшего положительного периода (любое положительное число является её периодом). У цьому випадку H(y,\ldots) не зависит от переменной y, и функция
    f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q \cdot H(x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1)
    - это обычная положительно однородная функция (по меньшей мере). Множество однородности \Lambda в этом случае - вся положительная полуось \lambda>0 (по меньшей мере).
  3. Возможны экзотические случаи, когда у периодической функции H(y,...) не имеется наименьшего положительного периода, но при этом она и не является константой. Например, у функции Дирихле, равной 1 в рациональных точках и равной 0 в иррациональных точках, периодом является любое рациональное число. В таком случае множество однородности \Lambda может иметь достаточно сложную структуру. Однако если при каждом наборе значений t_2,t_3,\ldots,t_n у периодической функции H(y,...) есть предел по переменной y хотя бы в одной точке, эта функция либо имеет наименьший положительный период (а все остальные периоды - кратные наименьшего положительного периода), либо является константой по переменной y.
  4. Ограниченно однородные функции, определённые при x<0, имеют вид
    f(x_1,x_2,...,x_n) = (-x_1)^q \cdot H(\log (-x_1),x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1)
    с надлежащим образом выбранной функцией H(y,t_2,t_3,\ldots,t_n), периодической по переменной y.
  5. Ограниченно однородные функции, определённые на всей числовой оси за вычетом точки x=0, имеют вид
    f(x_1,x_2,...,x_n) = |x_1|^q \cdot H_{\pm}(\log |x_1|,x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1),
    с надлежащим образом выбранной функцией H_{\pm}(y,t_2,t_3,\ldots,t_n), периодической по переменной y (где обозначение H_{\pm}(\ldots) подчёркивает, что для интервала значений x>0 и для интервала значений x<0 выбираются, вообще говоря, разные периодические функции, но имеющие один и тот же период).
  6. Формула f(x_1,...,x_n) = x_1^q \cdot H(\log |x_1|,x_2/x_1,\ldots,x_n/x_1), является универсальной, но не отражает равноправность всех переменных. Можно представить функцию H(y,t_2,\dots,t_n\ldots) как G\left(w\cdot y+\log W(t_2,\dots,t_n),t_2,\dots,t_n\right), где период функции G\left(t,t_2,\dots,t_n\right) равен 2\pi, нормировочный множитель w не зависит от t_2,\dots,t_n, а функция W(t_2,\dots,t_n) выбрана фиксированной. При такой записи ограниченно однородные функции приобретают вид
    f(x_1,...,x_n) = F(\log Q(x_1,\ldots,x_n), x_1,\ldots,x_n),
    где F(y, x_1,x_2,\ldots,x_n) - однородная функция с показателем однородности q по переменным x_1,x_2,\ldots,x_n и периодическая с периодом 2\pi по переменной y,Q(x_1,x_2,\ldots,x_n), - фиксированная однородная функция с показателем однородности w по переменным x_1,x_2,\ldots,x_n, а множество однородности имеет вид \Lambda=\{e^{2\pi m/w}\}, где m=0,\pm1,\pm2,\dots - произвольные целые числа.
  7. Разлагая периодическую функцию F(y, x_1,\ldots,x_n) из предыдущего пункта в ряд Фурье, можно получить выражение
    A_0(x_1,\ldots,x_n)+\sum A_k(x_1,\ldots,x_n)\cos k \log Q(x_1,\ldots,x_n)+B_k(x_1,\ldots,x_n)\sin k \log Q(x_1,\ldots,x_n),
    где A_k(x_1,\ldots,x_n) і B_k(x_1,\ldots,x_n) - произвольные однородные функции с показателем однородности q,Q(x_1,\ldots,x_n) - произвольным образом фиксированная однородная функция с показателем однородности w, а множество однородности \Lambda=\{e^{mY}\}, записано как \Lambda=\{e^{2\pi m/w}\}, где m - целые числа. Эта формула является самым общим способом записи для кусочно-непрерывных ограниченно однородных функций с порядком однородности q и множеством однородности \Lambda=\{e^{2\pi m/w}\}. В частности, замена фиксированной функции Q(x_1,\ldots,x_n) на набор произвольных однородных функций Q_k(x_1,\ldots,x_n) не прибавит данной формуле общности, но лишь разнообразит форму представления для одной и той же ограниченно однородной функции.



Библиография: Konrad Schlude, Bemerkung zu beschrnkt homogenen Funktionen. - Elemente der Mathematik 54 (1999).

Источник информации: J.Pahikkala. Boundedly homogeneous function ( PlanetMath.org).


5. Присоединённые однородные функции

[раздел пока не написан]

Источник: И.М.Гельфанд, З.Я.Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3-70.

6. Взаимно однородные функции

[раздел пока не написан]

Источник: И.М.Гельфанд, З.Я.Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3-70.

7. Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциями

1. Пусть

f\left(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n\right)=C\left(\lambda\right)f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)

при некоторой функции C\left(\lambda\right) на интервале \lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right]. Какова должна быть функция f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)?

Решение. Продифференцируем обе стороны этого соотношения по \lambda. Получим

x_1\frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial x_1}+x_2\frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial x_2}+\dots+x_n\frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial x_n} = \frac{\partial C\left(\lambda\right)}{\partial \lambda} f (x_1,\dots,x_n).

Продифференцируем обе стороны этого же соотношения по x_k, получим соотношения

\lambda \frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial x_k} = C\left(\lambda\right) \frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_k}.

Звідси

\frac{1}{f(x_1,\dots,x_n)}\left(x_1\frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_1}+\dots+x_n\frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_n}\right) = \frac{\lambda}{C\left(\lambda\right)}\frac{\partial C\left(\lambda\right)}{\partial \lambda}.

Правая часть зависит только от \lambda, левая часть зависит только от x_1,x_2,\dots,x_n Значит, они обе равны одной и той же константе, которую обозначим через q. Из условия \frac{\lambda}{C\left(\lambda\right)}\frac{\partial C\left(\lambda\right)}{\partial \lambda}=q и условия C\left(1\right)=1 следует, что C\left(\lambda\right)=\lambda^q. Отже, f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) - однородная функция с параметром однородности q. Вырожденные случаи C\left(\lambda\right)\equiv 0 і f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\equiv 0 рассматриваются отдельно и интереса не представляют.

Примечание. Не обязательно использовать условие C\left(1\right)=1, вообще говоря, изначально не заданное, а также принудительно рассматривать функцию C\left(\lambda\right) за пределами интервала \lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right]. . З рівності

\frac{1}{f}\left(x_1\frac{\partial f}{\partial x_1}+x_2\frac{\partial f}{\partial x_2}+\dots+x_n\frac{\partial f}{\partial x_n}\right) = q

согласно теореме Эйлера об однородных функциях также следует, что f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) - однородная функция с параметром однородности q. Отсюда, в частности, следует, что если соотношение однородности справедливо для некоторого интервала \lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right], то оно справедливо при всех \lambda>0.


2. Пусть

f\left(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n\right)=C f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)

при некоторых фиксированных значениях C \neq 0,\lambda \ne 1 и произвольных x_1, x_2, \dots, x_n. Какова должна быть функция f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)?

Решение. Если x_1 = 0, то задача сводится к функциональному уравнению меньшей размерности

f\left(0, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n\right)=C f\left(0, x_2, \dots, x_n\right),

пока не сведётся к случаю f\left(0, 0, \dots, 0\right)=C f\left(0, 0, \dots, 0\right) с очевидным ответом f\left(0, 0, \dots, 0\right)=0. Поэтому далее можно рассматривать только случай x_1 \neq 0.

Сделаем замену переменных x_1=y,x_2=t_2 \cdot y,x_3=t_3 \cdot y,x_n=t_n \cdot y. Тогда f(x_1,x_2,\dots,x_n)\to F(y,t_2,\dots,t_n) и функциональное уравнение принимает вид

F\left(\lambda y, t_2, \dots, t_n\right)=C F\left(y, t_2, \dots, t_n\right).

Следует отдельно рассматривать случаи C>0 і C<0,\lambda>0 і \lambda<0,y>0 і y<0. Пусть C>0,\lambda>0 і y>0. Тогда после логарифмирования обеих частей равенства и замены \log y \to t ,\log F(y,\dots) \to \Phi (t,\dots) получаем условие

\Phi\left(t+\log\lambda, \dots\right)=\log C + \Phi\left(t, \dots\right),

откуда следует, что \Phi\left(t, \dots\right) имеет вид \Omega\left(t, \dots\right) + \frac{\log C}{\log \lambda}t, где \Omega\left(t, \dots\right) - функция, периодическая по переменной t с периодом \log \lambda. Обратное очевидно: функция

f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega\left(\log x_1, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log x_1}{\log \lambda}\right),

где \Omega\left(t, \dots\right) - функция, периодическая по переменной t с периодом \log \lambda, удовлетворяет требуемому функциональному соотношению для x_1>0.

Для полуоси x_1<0 используется замена \log (-y) \to t и после аналогичных рассуждений получаем окончательный ответ:

а) если x_1 > 0 то f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{+}\left(\log (+x_1), x_2/x_1, \dots x_n/x_1\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log (+x_1)}{\log \lambda}\right),
б) если x_1 < 0 то f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{-}\left(\log (-x_1), x_2/x_1, \dots x_n/x_1\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log (-x_1)}{\log \lambda}\right),

или, в сокращённой форме

f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{\pm}\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log |x_1|}{\log \lambda}\right),

где обозначение \Omega_{\pm}\left(\log |x_1|, \dots\right) подчёркивает, что при x_1>0 и при x_1<0\Omega_{\pm}\left(t,\dots\right) - это, вообще говоря, две разные периодические функции с областью определения t\in(-\infty,+\infty).

Случай C<0,\lambda>0 упрощается тем, что из цепочки соотношений

F\left(\lambda^2 y, t_2, \dots, t_n\right)=C F\left(\lambda y, t_2, \dots, t_n\right) = C^2 F\left(y, t_2, \dots, t_n\right)

следует уже рассмотренный нами случай. Поэтому функция f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) может быть записана как

f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{\pm}\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log \lambda}\right),

где \Omega_{\pm}\left(t, \dots\right) - некоторая функция, периодическая по переменной t с периодом 2\log \lambda. Подстановка этого выражения в исходное уравнение показывает, что \Omega_{\pm}\left(t, \dots\right) - не просто периодическая функция с периодом 2\log \lambda, но анти-периодическая с периодом \log \lambda:

\Omega_{\pm}\left(t+\log\lambda, \dots\right)=-\Omega_{\pm}\left(t, \dots\right)

(очевидным образом анти-периодичность с периодом \log \lambda влечёт за собой периодичность с периодом 2\log \lambda ). Обратное очевидно: указанная формула с анти-периодической функцией \Omega_{\pm}\left(t, \dots\right) удовлетворяет требуемому функциональному уравнению.

Случай \lambda<0 имеет дополнительную особенность, что полуоси y<0 і y>0 влияют друг на друга. Рассмотрим случай y>0. Тогда из цепочки соотношений

F\left(\lambda^2 y, t_2, \dots, t_n\right)=C F\left(\lambda y, t_2, \dots, t_n\right) = C^2 F\left(y, t_2, \dots, t_n\right)

следует, что при x_1>0 функция f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) должна иметь вид

f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log |\lambda|}\right),

де \ Omega \ left (t, \ dots \ right) - Функція, періодична по змінній t з періодом 2 \ log | \ lambda | і областю визначення t \ in (- \ infty, + \ infty). Оскільки \ Lambda <0, то кожної позитивної точці x_1> 0 взаємно-однозначно відповідає негативна точка \ Lambda x_1 <0 зі значенням функції, рівним C f \ left (x_1, x_2, \ dots, x_n \ right). . В результаті з урахуванням періодичності функції \ Omega \ left (t, \ dots \ right) функція f \ left (x_1, x_2, \ dots, x_n \ right) обчислюється як

а) при x_1> 0:f (x_1, x_2, \ dots, x_n) = \ Omega \ left (\ log | x_1 |, \ frac {x_2} {x_1}, \ dots \ frac {x_n} {x_1} \ right) \ exp \ left ( \ frac {\ log | C | \ cdot \ log | x_1 |} {\ log | \ lambda |} \ right),
б) при x_1 <0:f (x_1, x_2, \ dots, x_n) = sign (C) \ cdot \ Omega \ left (\ log | x_1 | + \ log | \ lambda |, \ frac {x_2} {x_1}, \ dots \ frac { x_n} {x_1} \ right) \ exp \ left (\ frac {\ log | C | \ cdot \ log | x_1 |} {\ log | \ lambda |} \ right),

де \ Omega \ left (t, \ dots \ right) - Функція, періодична по змінній t з періодом 2 \ log | \ lambda |. Як легко перевірити, певна подібним чином функція f (x_1, x_2, \ dots, x_n) для випадку \ Lambda <0 дійсно задовольняє потрібного функціональному рівнянню як при x_1> 0, так і при x_1 <0.


Примітка. Якщо деяка функція задовольняє вказаною функціональному рівнянню при деяких C_0, \ lambda_0, то легко помітити, що вона задовольняє цій же функціональному рівнянню і при інших наборах значень \ Left (C, \ lambda \ right). Так, для випадку C_0> 0, \ lambda_0> 0 безліччю таких пар будуть \ Lambda_k = \ lambda_ {0} ^ {k / m},C_k = C_0 ^ {k / m} при будь-яких ненульових цілочисельних значеннях k = \ pm1, \ pm2, \ dots, де ціле число m вибрано так, щоб величина | \ Log \ lambda_ {0} | / m була найменшою позитивним періодом для функції \ Omega_ {\ pm} \ left (t, \ dots \ right). Ввівши позначення q = \ log C_0 / \ log \ lambda_0 так що C_0 = \ lambda_0 ^ q, отримаємо умову C_k \ equiv \ left (\ lambda_k \ right) ^ q, відповідне обмежено однорідним функцій. Заміна \ Exp \ left (\ frac {\ log C \ cdot \ log x_1} {\ log \ lambda} \ right) \ to x_1 ^ q призводить уявлення обмежено однорідних функцій до звичного вигляду.


8. Однорідні узагальнені функції

Узагальнені функції або розподілу визначаються як лінійні неперервні функціонали, задані на просторі "досить хороших" функцій. У разі однорідних узагальнених функцій в якості "достатньо хороших" функцій зручно використовувати простір \ Mathbb {S} функцій \ Varphi (x) = \ varphi (x_1, x_2, \ dots, x_n), мають похідні будь-якого порядку і при \ Left | x \ right | \ to \ infty убуваючих швидше будь-якого ступеня \ Frac {1} {\ left | x \ right |}. При цьому будь-якої звичайної функції f (x) , Интегрируемой в будь кінцевої області, ставиться у відповідність функціонал

T_f \ left [\ varphi \ right] = \ int_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) \ varphi (x) dx,

визначений у просторі \ Varphi \ in \ mathbb {S} і що є очевидним чином лінійним і безперервним. Узагальнені функції дозволяють спростити розгляд багатьох питань аналізу (так, всяка узагальнена функція має похідні будь-якого порядку, допускає перетворення Фур'є і т.д.), а також узаконити такі екзотичні об'єкти, як \ Delta -Функція і її похідні.


Для звичайних інтегрувальних функцій f (x_1, \ dots, x_n), є однорідними з показником однорідності q, справедливо легко перевіряється тотожність

T_f \ left [\ varphi \ left (\ frac {x_1} {\ lambda}, \ frac {x_2} {\ lambda}, \ dots, \ frac {x_n} {\ lambda} \ right) \ right] = \ lambda ^ {q + n} T_f \ left [\ varphi \ left (x_1, x_2, \ dots, x_n \ right) \ right]. \ Qquad \ qquad \ qquad (**)

Дане тотожність приймається за визначення узагальненої однорідної функції: однорідна узагальнена функція з показником однорідності q (Взагалі кажучи, комплексним) є лінійний неперервний функціонал, визначений у просторі \ Varphi \ in \ mathbb {S} і задовольняє тотожність (**).


Схожим способом визначаються приєднані однорідні узагальнені функції. Приєднана однорідна узагальнена функція T_k \ left [\ varphi \ right] порядку k з показником однорідності q - Це лінійний неперервний функціонал, для всякого \ Lambda> 0 задовольняє співвідношенню

T_k \ left [\ varphi \ left (\ frac {x_1} {\ lambda}, \ frac {x_2} {\ lambda}, \ dots, \ frac {x_n} {\ lambda} \ right) \ right] = \ lambda ^ {q + n} T_k \ left [\ varphi \ left (x_1, x_2, \ dots, x_n \ right) \ right] + \ lambda ^ {q + n} \ log \ lambda \ cdot T_ {k-1} \ left [\ varphi \ left (x_1, x_2, \ dots, x_n \ right) \ right],

де T_ {k-1} \ left [\ varphi \ right] - Це деяка приєднана однорідна узагальнена функція (K-1) -Го порядку з показником однорідності q. Приєднана однорідна узагальнена функція нульового порядку з показником однорідності q - Це звичайна однорідна узагальнена функція з показником однорідності q.


Приклад. Узагальнена функція \ Delta (x_1, x_2, \ dots, x_n) - Однорідна узагальнена функція з показником однорідності (-N) оскільки


Дослідження однорідних узагальнених функцій дозволяє надати змістовний сенс інтегралах з сингулярними особливостями, в звичайному сенсі не інтегровною. Наприклад, розглянемо узагальнену функцію T ^ {+} _ {q} \ left [\ varphi \ right] = \ int_ {0} ^ {+ \ infty} x ^ {q} \ varphi (x) dx. Цей функціонал визначений при Re (q)> -1 і, як легко перевірити, є однорідною узагальненої функцією з показником однорідності q. Величину T ^ {+} _ {q} при фіксованому виборі пробної функції \ Varphi \ left (x \ right) можна розглядати як функцію комплексного змінного q і, взагалі кажучи, аналітично продовжити її поза даного діапазону. А саме, права і ліва частини рівності

\ Int_ {0} ^ {+ \ infty} x ^ {q} \ varphi (x) dx = \ int_ {1} ^ {+ \ infty} x ^ {q} \ varphi (x) dx + \ int_ {0 } ^ {1} x ^ {q} \ left (\ varphi (x) - \ sum_ {k = 0, n} x ^ k \ frac {\ varphi ^ {(k)} (0)} {k!} \ right) dx + \ sum_ {k = 0, n} \ frac {\ varphi ^ {(k)} (0)} {k! (q + k +1)},

аналітичність по змінній q і тотожно дорівнюють один одному при Re (q)> -1. Однак права частина рівності має сенс і аналітична також і при Re (q)>-n. У силу цього права частина рівності - це аналітичне продовження лівій частині рівності для Re (q)>-n. Як результат, рівність

T ^ {+} _ {q} [\ varphi (x)] = \ int_ {1} ^ {+ \ infty} x ^ {q} \ varphi (x) dx + \ int_ {0} ^ {1} x ^ {q} \ left (\ varphi (x) - \ sum_ {k = 0, n} x ^ k \ frac {\ varphi ^ {(k)} (0)} {k!} \ right) dx + \ sum_ {k = 0, n} \ frac {\ varphi ^ {(k)} (0)} {k! (q + k +1)},

задає лінійний неперервний функціонал, який є розширенням визначеного раніше функціонала T ^ {+} _ {q} аж до значень Re (q)>-n. Формули для Re (q)>-n і для Re (q)>-m дають один і той же результат при однакових значеннях q, при яких вони обидві мають сенс: це визначення несуперечливо. Узагальнена функція T ^ {+} _ {q}, певна тепер для всіх q, , Як і раніше є однорідною узагальненої функцією, оскільки співвідношення однорідності зберігається при аналітичному продовженні.

За допомогою T ^ {+} _ {q} \ left [\ varphi \ right] визначаться регулярізірованние значення інтеграла \ Int_ {0} ^ {+ \ infty} x ^ {q} \ varphi (x) dx, мають сенс при будь-яких комплексних q. Винятками є цілочисельні значення q = -1, -2, \ dots,-n, \ dots, де регулярізірованний інтеграл є сингулярним: функціонал T ^ {+} _ {q} \ left [\ varphi \ right] як функція змінної q в точці q =-n має простий полюс з вирахуванням \ Varphi ^ {(n-1)} (0) / (n-1)!.

За тією ж схемою може бути аналітично продовжена для Re (q) \ le -1 приєднана однорідна функція T ^ {+} _ {p, q} \ left [\ varphi \ right] = \ int_ {0} ^ {+ \ infty} x ^ {q} \ log ^ p (x) \ varphi (x) dx. З її допомогою визначаються регулярізірованние значення для інтегралів \ Int_ {0} ^ {+ \ infty} x ^ {q} \ log ^ p (x) \ varphi (x) dx, мають сенс при Re (q) \ le -1.


Аналогічним, але більш складним чином конструюються однорідні узагальнені функції і приєднані однорідні узагальнені функції для випадку n змінних. Подробиці можуть бути знайдені в цитованої тут бібліографії. Теорія однорідних узагальнених функцій дозволяє конструктивно осмислити стосовно простору узагальнених функцій звичайні функції, що мають неінтегріруемие особливості - обчислювати інтеграли від таких функцій, знаходити їх перетворення Фур'є і т.д.


Бібліографія: І.М.Гельфанд, З.Я.Шапіро. Однорідні функції та їх застосування. Успіхи математичних наук, т. 10 (1955) вип. 3, стор 3-70.


9. Зовнішні посилання