Ознака Діріхле

Ознака Діріхле - теорема, яка вказує достатні умови збіжності невласних інтегралів та сумовності нескінченних рядів. Названа на честь німецького математика Лежена-Діріхле.


1. Ознака Діріхле збіжності невласних інтегралів першого роду

Нехай виконані умови:

  • f (x) \ in C [a, \; + \ infty) і має на [A, \; + \ infty) обмежену первісну F (x) , Тобто \ Exists M> 0: \ quad | F (x) | \ leqslant M \ quad \ forall x> a ;
  • функція g (x) \ in C ^ 1 [a, \; + \ infty), \ quad g (x)> 0, \ quad g '(x) \ leqslant 0 \ quad \ forall x> a ;
  • \ Lim_ {x \ to + \ infty} g (x) = 0 .

Тоді \ Int \ limits_a ^ {+ \ infty} f (x) g (x) \, dx сходиться.

  • Очевидно, що замість другої умови можна також записати g (x) \ in C ^ 1 [a, \; + \ infty), \ quad g (x) <0, \ quad g '(x) \ geqslant 0 \ quad \ forall x> a .
  • Умова монотонності в ознаці Діріхле суттєво.
\ Int \ limits_1 ^ {+ \ infty} \ frac {\ sin x} {\ sqrt x + \ sin x} \, dx = \ infty.

Однак, умова монотонності не є необхідним.

\ Int \ limits_2 ^ {+ \ infty} \ frac {\ sin x} {x +2 \ sin x} \, dx - Сходиться.
  • Умову обмеженості первообразной в ознаці Діріхле також є суттєвим, але не є необхідним.

2. Ознака Діріхле збіжності рядів Абелева типу

Визначення (ряд Абелева типу)

Ряд \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty a_nb_n , Де | B_n | = \ left | \ sum_ {k = 1} ^ n b_k \ right | \ leqslant M \ quad \ forall n \ in \ N і послідовність \ {A_n \} - Позитивна і монотонна (починаючи з деякого місця, хоча б в широкому сенсі слова), називається рядом Абелева типу.


2.1. Теорема (ознака Діріхле збіжності рядів Абелева типу)

Нехай виконані умови:

Тоді ряд \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty a_nb_n сходиться.

  • Ознака Діріхле збіжності рядів Абелева типу є аналогом ознаки Діріхле про збіжність невласного інтеграла першого роду.
  • Легко переконатися, що ознака Лейбніца збіжності знакозмінних рядів є окремим випадком цієї теореми, а саме:
\ Sum_ {n = 1} ^ \ infty (-1) ^ {n +1} c_n, \ quad c_n> 0, \; c_ {n +1} \ leqslant c_n \ quad \ forall n \ in \ N, \ quad \ lim_ {n \ to \ infty} c_n = 0;
b_n = (-1) ^ {n +1} \ Rightarrow | B_n | = \ left | \ sum_ {k = 1} ^ n (-1) ^ {n +1} \ right | \ leqslant 1 \ quad \ forall n \ in \ N \ Rightarrow збіжність ряду Лейбніца на підставі ознаки Діріхле.
  • Оцінка залишку ряду Абелева типу
    Розглянемо ряд \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty a_nb_n і нехай виконані умови ознаки Діріхле. Тоді має місце оцінка: | R_n | = \ left | \ sum_ {k = n +1} ^ \ infty a_kb_k \ right | \ leqslant 2Ma_ {n +1} \ quad \ forall n \ in \ N .

Література

А. К. Боярчук "Функції комплексної змінної: теорія і практика" Довідковий посібник з вищої математики. Т.4 М.: Едіторіал УРСС, 2001. - 352с.

Перегляд цього шаблону Ознаки збіжності рядів
Для знакоположітельних
рядів
Необхідна умова Основний критерій Ознака порівняння Ознака Куммера Ознака Гауса Радикальний ознака Коші Інтегральний ознака Ознака Д'Аламбера Ступеневій ознака Логарифмічний ознака Ознака Раабе Ознака Бертрана Ознака Жаме Ознака Єрмакова Ознака Лобачевського Ознака Реткеса (англ.) Телескопічний ознака \ Sum ^ \ infty_ {n = 1} a_n
Для Знакозмінні
рядів
Ознака Лейбніца
Для рядів виду \ Sum ^ \ infty_ {n = 1} a_n b_nОзнака Абеля Ознака Дедекинда Ознака Дюбуа-Реймона Ознака Діріхле
Для функціональних рядів Ознака Вейєрштрасса
Для рядів Фур'є Ознака Діні Ознака Валле-Пуссена Ознака Жордана Ознака Юнга Ознака Салема Ознака Лебега Ознака Лебега-Гергієв Ознака Марцинкевича