Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Ознака порівняння



План:


Введення

Ознака порівняння - твердження про одночасності расходимости або збіжності двох рядів, заснований на порівнянні членів цих рядів.


1. Формулювання

Нехай дано два знакоположітельних ряду:

\ Sum_ {n = 1} ^ \ infty a_n і \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty b_n
.

Тоді, якщо, починаючи з деякого місця ( n> N ), Виконується нерівність:

0 \ leqslant a_n \ leqslant b_n ,

то з збіжності ряду \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty b_n слід збіжність \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty a_n .

Або ж, якщо ряд \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty a_n розходиться, то розходиться і \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty b_n .


2. Доказ

Позначимо \ Sigma_n приватні суми ряду \ Sum b_k . З нерівностей (*) випливає, що \, 0 \ leqslant s_n \ leqslant \ sigma_n, \ forall n. Тому з обмеженості \, (\ Sigma_n) випливає обмеженість \, (S_n), а з необмеженості \, (S_n) слід необмеженість \, (\ Sigma_n). Справедливість ознаки випливає з критерію збіжності для \ Sum b_k.



3. Ознака порівняння відносин

Також ознака порівняння можна сформулювати в більш зручній формі - у вигляді відносин.

3.1. Формулювання

Якщо для членів строго позитивних рядів \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty a_n і \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty b_n , Починаючи з деякого місця ( n> N ), Виконується нерівність:

\ Frac {a_ {n +1}} {a_n} \ leqslant \ frac {b_ {n +1}} {b_n} ,

то з збіжності ряду \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty b_n слід збіжність \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty a_n , А з расходимости \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty a_n слід расходимость \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty b_n .


3.2. Доказ

Перемножая нерівності, складені для \, K = 1, 2, ..., n - 1, , Отримуємо

\ Frac {a_n} {a_1} \ leqslant \ frac {b_n} {b_1}, або a_n \ leqslant \ frac {a_1} {b_1} \, b_n, \ forall n.

Далі достатньо застосувати ознака порівняння для позитивних рядів \ Sum a_k і \ Sum \ frac {a_1} {b_1} \, b_k.


4. Граничний ознака порівняння

Оскільки достовірно встановити справедливість цієї нерівності при будь-яких n - досить складне завдання, то на практиці ознака порівняння зазвичай використовується в граничній формі.

4.1. Формулювання

Якщо \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty a_n і \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty b_n є строго позитивні ряди і

\ Lim_ {n \ to \ infty} \ frac {a_n} {b_n} = l ,

то при 0 \ leqslant l <\ infty з збіжності \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty a_n слід збіжність \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty b_n , А при 0 <l \ leqslant \ infty з расходимости \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty b_n слід расходимость \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty a_n .


4.2. Доказ

Якщо a_k / b_k \ xrightarrow \, l, l <+ \ infty, то для досить великих \, K

\, A_k \ leqslant (l + 1) b_k, \ forall k \ geqslant m. (3)

З обмеженості приватних сум \ Sum b_k слід обмеженість приватних сум \ Sum (l + 1) b_ {m + k}. Співвідношення \, (3) забезпечують на підставі ознаки порівняння збіжність \ Sum a_ {m + k} і разом з тим збіжність \ Sum a_k. Якщо ж a_k / b_k \ xrightarrow \, l, l> 0, то b_k / a_k \ xrightarrow \, \ lambda, \ lambda <+ \ infty, і \ Sum a_k не може сходитися при розбіжним \ Sum b_k.



Література

  • Ю. С. Богданов - "Лекції з математичного аналізу" - Частина 2 - Мінськ - Видавництво БГУ їм. В. І. Леніна - 1978.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Порівняння
Порівняння месенджерів
Порівняння браузерів
Порівняння IDE
Порівняння (програмування)
Порівняння (риторика)
Порівняння за модулем
Ступені порівняння
Порівняння за модулем
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru