Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Окружність



План:


Введення

Коло і її центр

Окружність - геометричне місце точок площині, рівновіддалених від заданої точки, званої центром, на заданий ненульове відстань, зване її радіусом.



1. Інші визначення

Окружність діаметра AB - це фігура, що складається з точок A, B і всіх точок площини, з яких відрізок AB видно під прямим кутом.

Окружність - це фігура, яка складається з усіх точок площини, для кожної з яких відношення відстаней до двох даних точок одно даному числу, відмінному від одиниці. (Див. Окружність Аполлонія)

Також фігура, що складається з усіх таких точок, для кожної з яких сума квадратів відстаней до двох даних точок дорівнює заданій величині, більшої половини квадрата відстані між даними точками.


2. Пов'язані визначення

  • Радіус - не тільки величина відстані, але і відрізок, що з'єднує центр кола з однієї з її точок.
  • Відрізок, що сполучає дві точки кола, називається її хордою. Хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром.
  • Коло називається одиничною, якщо її радіус дорівнює одиниці. Одинична окружність є одним з основних об'єктів тригонометрії.
  • Будь-які дві незбіжні точки окружності ділять її на дві частини. Кожна з цих частин називається дугою кола. Дуга називається півколом, якщо відрізок, що з'єднує її кінці, є діаметром.
Через вершину трикутника проведена дотична до описаної окружності
  • Кут, утворений дугою кола, що дорівнює по довжині радіусу, приймається за 1 радіан.
  • Довжина одиничної півкола позначається через π .
  • Геометричне місце точок площини, відстань від яких до даної точки не більше, ніж заданий ненульове, називається колом.
  • Пряма, що має з колом рівно одну спільну точку, називається дотичній до окружності, а їх загальна точка називається точкою дотику прямої та кола.
  • Пряма, через дві різні точці кола, називається січною.
  • Центральний кут - кут з вершиною в центрі кола. Центральний кут дорівнює градусної мірою дуги, на яку спирається.
  • Вписаний кут - кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло. Вписаний кут дорівнює половині градусної міри дуги, на яку спирається.
  • Дві окружності, що мають загальний центр, називаються концентричними.
  • Дві окружності, що перетинаються під прямим кутом, називаються ортогональними.

3. Властивості

  • Изопериметрической нерівність: З усіх замкнутих кривих даної довжини окружність обмежує область максимальної площі.
  • Пряма може не мати з колом спільних точок; мати з колом одну спільну точку (дотична); мати з нею дві спільні точки (січна).
  • Дотична до кола завжди перпендикулярна її діаметра, один з кінців якого є точкою дотику.
  • Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести коло, і притому тільки одну.
  • Точка дотику двох кіл лежить на прямій, що проходить через їх центри.
  • Довжину дуги кола радіуса R , Утвореної центральним кутом \ Varphi , Вимірюються в радіанах, можна обчислити за формулою L = φ R .
    • Довжину кола з радіусом R можна обчислити за формулою \ C = 2 \ pi R .
  • Вписаний кут або дорівнює половині центрального кута, що спирається на його дугу, або доповнює половину цього кута до 180 .
    • Два вписаних кута, що спираються на одну й ту ж дугу, рівні.
    • Вписаний кут, що спирається на дугу довжиною в половину кола дорівнює 90 .
  • Кут між двома січними, проведеними з точки, що лежить поза кола дорівнює полуразность заходів дуг, що лежать між січними.
  • Кут між пересічними хордами дорівнює напівсумі заходів дуги, що лежить у вугіллі і дуги навпроти неї.
  • Кут між дотичною та хордою дорівнює половині градусної міри дуги, стягаємо хордою.
  • Відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки, рівні і становлять рівні кути з прямою, що проходить через цю точку і центр кола.
  • При перетині двох хорд твір відрізків, на які ділиться одна з них точкою перетину, дорівнює добутку відрізків інший.
  • Твір довжин відстаней від обраної точки до двох точок перетину кола та січної, що проходить через обрану точку, не залежить від вибору січною і дорівнює абсолютній величині ступеня точки щодо кола.
    • Квадрат довжини відрізка дотичної дорівнює добутку довжин відрізків січної і дорівнює абсолютній величині ступеня точки щодо кола.
  • Окружність є простою плоскої кривої другого порядку.
  • Окружність є конічним перетином і приватним випадком еліпса.

4. Основні формули

  • Довжина кола: C = 2 ∙ πR = πD
  • Радіус кола: R = C / (2 ∙ π) = D / 2
  • Діаметр кола: D = C / π = ​​2 ∙ R

5. Рівняння

5.1. Декартові координати

Коло радіуса r = 1, центр (a, b) = (1.2, -0.5)

Загальне рівняння кола записується як:

x ^ 2 + y ^ 2 + Ax + By + C = 0, \,

або

\ Left (x-x_0 \ right) ^ 2 + \ left (y-y_0 \ right) ^ 2 = R ^ 2,

де

2x_0 =- A, \; 2y_0 =- B, \; 2R = \ sqrt {A ^ 2 + B ^ 2-4C}.

Точка \ Left (x_0, y_0 \ right) - Центр кола, R - Її радіус.

Рівняння кола радіуса R з центром в початку координат :

x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2. \,

Рівняння кола, що проходить через три точки (з допомогою визначника) \ Left (x_1, y_1 \ right),\ Left (x_2, y_2 \ right) і \ Left (x_3, y_3 \ right):

\ Begin {vmatrix} x ^ 2 + y ^ 2 & x & y & 1 \ \ x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2 & x_1 & y_1 & 1 \ \ x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2 & x_2 & y_2 & 1 \ \ x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2 & x_3 & y_3 & 1 \ end {vmatrix} = 0.

Окружність також можна описати за допомогою параметричного рівняння :

\ Begin {cases} x = x_0 + R \ cos \ varphi \ \ y = y_0 + R \ sin \ varphi \ end {cases}, \; \; \; 0 \ leqslant \ varphi <2 \ pi.

У декартовій системі координат коло не є графіком функції, але вона може бути описана як об'єднання графіків двох наступних функцій:

y = y_0 \ pm \ sqrt {R ^ 2 - (x - x_0) ^ 2}.

Якщо центр окружності збігається з початком координат, функції приймають вигляд:

y = \ pm \ sqrt {R ^ 2 - x ^ 2}.

5.2. Полярні координати

Коло радіуса R з центром в точці \ Left (\ rho_0, \ phi_0 \ right) :

\ Rho ^ 2 - 2 \ rho \, \ rho_0 \ cos \ left (\ phi-\ phi_0 \ right) + \ rho_0 ^ 2 = R ^ 2.

Якщо полярні координати центру кола \ Rho_0 = R, \; \ phi_0 = \ alpha, то проходить через початок координат окружність описується рівнянням:

\ Rho (\ varphi) = 2R \ cos \, (\ varphi-\ alpha), \; \; \; \ alpha-\ frac \ pi 2 \ leqslant \ varphi \ leqslant \ alpha + \ frac \ pi 2.

Якщо ж центр є початком координат, то рівняння буде мати вигляд:

\ Rho = R. \,

5.3. Комплексна площину

На комплексній площині коло задається формулою:

\ Left | z - z_0 \ right | = R \,

або в параметричному вигляді

z = z_0 + Re ^ {it}, \, t \ in \ R. \,

6. Дотичні і нормалі

Рівняння дотичній до кола в точці \ Left (x_1, y_1 \ right) визначається рівнянням

\ Left (\ frac {A} {2} + x_1 \ right) x + \ left (\ frac {B} {2} + y_1 \ right) y + \ left (\ frac {A} {2} x_1 + \ frac {B} {2} y_1 + C \ right) = 0.

Рівняння нормалі в тій же точці можна записати як

\ Frac {x-x_1} {2x_1 + A} = \ frac {y-y_1} {2y_1 + B}. \,

7. Концентричні і ортогональні окружності

Дві окружності, задані рівняннями:

x ^ 2 + y ^ 2 + A_1x + B_1y + C_1 = 0, \; \; \; x ^ 2 + y ^ 2 + A_2x + B_2y + C_2 = 0

є концентричними (тобто мають загальний центр) в тому і тільки в тому випадку, коли A 1 = A 2 і B 1 = B 2.

Дві окружності є ортогональними (тобто пересічні під прямим кутом) тоді і тільки тоді, коли виконується умова

A_1A_2 + B_1B_2 = 2 \ left (C_1 + C_2 \ right).

Література

  • Математична енциклопедія в п'яти томах - М: Радянська енциклопедія, 1983.
  • Маркушевич А. І. Чудові криві, випуск 4 - М: Гостехиздат, 1952. - 32 с.
  • Корн Г., Корн Т. Властивості кіл, еліпсів, гіпербол і парабол / / Довідник з математики - 4-е видання. - М: Наука, 1978. - С. 70.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Кадомцев С.Б. та ін Додаткові глави до підручника 8 класу / / Геометрія - 3-е видання. - М: Віта-Пресс, 2003.
Криві
Визначення
Перетворені
Неплоских
Плоскі алгебраїчні
Конічні перетини
3-й порядок
Лемніската
Апроксимаційні
Циклоїдальні
Плоскі трансцендентні
Спіралі
Циклоїдальні

Циклоїда Епіціклоіда Гіпоціклоіда Трохоіда (Подовжена + Укорочена циклоїда) Епітрохоїді (Подовжена + Укорочена епіціклоіда ( "Роза") Гіпотрохоіда Швидкого спуску ( Брахістохрона, дуга циклоїди)

Інші
Фрактальні
Прості
Топологічні
Конічні перетини
Головні типи Еліпс Гіпербола Парабола
Вироджені Точка Пряма Пара прямих
Окремий випадок еліпса Окружність
Геометричне побудова Конічний перетин Кулі Данделена
Див також Конічна константа
Математика Геометрія


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Описана окружність
Вписана окружність
Окружність Аполлонія
Одинична окружність
Вневпісанная окружність
Стична окружність
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru