Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Оператор Лапласа



План:


Введення

Оператор Лапласа (лапласіан, оператор дельта) - диференціальний оператор, який діє у лінійному просторі гладких функцій, позначається символом \ \ Delta . Опції F \ він ставить у відповідність функцію \ Left ({\ partial ^ 2 \ over \ partial x_1 ^ 2} + {\ partial ^ 2 \ over \ partial x_2 ^ 2} + \ ldots + {\ partial ^ 2 \ over \ partial x_n ^ 2} \ right) F .

Оператор Лапласа еквівалентний послідовного взяття операцій градієнта і дивергенції : \ Delta = \ operatorname {div} \, \ operatorname {grad} , Таким чином, значення оператора Лапласа в точці може бути витлумачено як щільність джерел (стоків) потенційного векторного поля \ \ Operatorname {grad} F в цій точці. У декартовій системі координат оператор Лапласа часто позначається наступним чином \ Delta = \ nabla \ cdot \ nabla = \ nabla ^ 2 , Тобто у вигляді скалярного твори оператора Набла на себе.


1. Інше визначення оператора Лапласа

Оператор Лапласа є природним узагальненням на функції декількох змінних зазвичай друге похідної функції одного змінного. Справді, якщо функція \ F (x) має в околиці точки \ X_0 безперервну другу похідну \ F''(x) , То, як це випливає з формули Тейлора

\ F (x_0 + r) = f (x_0) + rf '(x_0) + \ frac {r ^ 2} {2} f''(x_0) + o (r ^ 2), при r \ to 0, ,
\ F (x_0-r) = f (x_0)-rf '(x_0) + \ frac {r ^ 2} {2} f''(x_0) + o (r ^ 2), при r \ to 0,

друга похідна є межа

\ F''(x_0) = \ lim \ limits_ {r \ to 0} \ frac {2} {r ^ 2} \ left \ {\ frac {f (x_0 + r) + f (x_0-r)} { 2}-f (x_0) \ right \}.

Якщо, переходячи до функції \ F від \ K змінних, поступити таким же чином, тобто для заданої точки M_0 (x_1 ^ 0, x_2 ^ 0, ..., x_k ^ 0) розглядати її \ K -Мірну кульову околиця \ Q_r радіуса \ R і різниця між середнім арифметичним

\ \ Frac {1} {\ sigma (S_r)} \ int \ limits_ {S_r} Fd \ sigma

функції \ F на кордоні \ S_r такий околиці з площею кордону \ \ Sigma (S_r) і значенням \ F (M_0) в центрі цієї околиці \ M_0 , То в разі безперервну другу приватних похідних функції \ F в околиці точки \ M_0 значення лапласіан \ \ Delta F в цій точці є межа

\ \ Delta F (M_0) = \ lim \ limits_ {r \ to 0} \ frac {2k} {r ^ 2} \ left \ {\ frac {1} {\ sigma (S_r)} \ int \ limits_ {S_r } F (M) d \ sigma-F (M_0) \ right \}.

Одночасно з попереднім поданням для оператора Лапласа функції \ F , Що має безперервні другі похідні, справедлива формула

\ \ Delta F (M_0) = \ lim \ limits_ {r \ to 0} \ frac {2 (k +2)} {r ^ 2} \ left \ {\ frac {1} {\ omega (Q_r)} \ int \ limits_ {Q_r} F (M) d \ omega-F (M_0) \ right \}, де \ \ Omega (Q_r) - Обсяг околиці \ Q_r.

Ця формула виражає безпосередній зв'язок лапласіан функції з її об'ємним середнім в околиці даної точки.

Доказ цих формул можна знайти, наприклад, в [1].

Вищевикладені межі, у всіх випадках, коли вони існують, можуть слугувати визначенням оператора Лапласа функції \ F. Таке визначення переважніше звичайного визначення лапласіан, який передбачає існування других похідних розглянутих функцій, і збігається зі звичайним визначенням у разі безперервності цих похідних.


2. Вирази для оператора Лапласа в різних криволінійних системах координат

У довільних ортогональних криволінійних координатах в тривимірному просторі q_1, \ q_2, \ q_3 :

\ Delta f (q_1, \ q_2, \ q_3) = \ operatorname {div} \, \ operatorname {grad} \, f (q_1, \ q_2, \ q_3) =
= \ Frac {1} {H_1H_2H_3} \ left [\ frac {\ partial} {\ partial q_1} \ left (\ frac {H_2H_3} {H_1} \ frac {\ partial f} {\ partial q_1} \ right) + \ frac {\ partial} {\ partial q_2} \ left (\ frac {H_1H_3} {H_2} \ frac {\ partial f} {\ partial q_2} \ right) + \ frac {\ partial} {\ partial q_3} \ left (\ frac {H_1H_2} {H_3} \ frac {\ partial f} {\ partial q_3} \ right) \ right],
де H_i \ - коефіцієнти Ламі.

2.1. Циліндричні координати

В циліндричних координатах поза прямою \ R = 0 :

\ Delta f = {1 \ over r} {\ partial \ over \ partial r} \ left (r {\ partial f \ over \ partial r} \ right) + {\ partial ^ 2f \ over \ partial z ^ 2} + {1 \ over r ^ 2} {\ partial ^ 2 f \ over \ partial \ varphi ^ 2}

2.2. Сферичні координати

У сферичних координатах поза початку відліку (в тривимірному просторі):

\ Delta f = {1 \ over r ^ 2} {\ partial \ over \ partial r} \ left (r ^ 2 {\ partial f \ over \ partial r} \ right) + {1 \ over r ^ 2 \ sin \ theta} {\ partial \ over \ partial \ theta} \ left (\ sin \ theta {\ partial f \ over \ partial \ theta} \ right) + {1 \ over r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta} { \ partial ^ 2 f \ over \ partial \ varphi ^ 2}

або

\ Delta f = {1 \ over r} {\ partial ^ 2 \ over \ partial r ^ 2} \ left (rf \ right) + {1 \ over r ^ 2 \ sin \ theta} {\ partial \ over \ partial \ theta} \ left (\ sin \ theta {\ partial f \ over \ partial \ theta} \ right) + {1 \ over r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta} {\ partial ^ 2 f \ over \ partial \ varphi ^ 2}.

У разі якщо \ F = f (r) в n-мірному просторі:

\ Delta f = {d ^ 2 f \ over dr ^ 2} + {n-1 \ over r} {df \ over dr}.

2.3. Параболічні координати

У параболічних координатах (в тривимірному просторі) поза початку відліку:

\ Delta f = \ frac {1} {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}} \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ frac {\ partial} {\ partial \ sigma} \ left (\ sigma \ frac {\ partial f} {\ partial \ sigma} \ right) + \ frac {1} {\ tau} \ frac {\ partial} {\ partial \ tau} \ left (\ tau \ frac {\ partial f} {\ partial \ tau} \ right) \ right] + \ frac {1} {\ sigma ^ 2 \ tau ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial \ varphi ^ 2}

2.4. Циліндричні параболічні координати

У координатах параболічного циліндра поза початку відліку:

\ Delta F (u, v, z) = \ frac {1} {c ^ 2 (u ^ 2 + v ^ 2)} \ left [\ frac {\ partial ^ 2 F} {\ partial u ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 F} {\ partial v ^ 2} \ right] + \ frac {\ partial ^ 2 F} {\ partial z ^ 2}

2.5. Загальні криволінійні координати і ріманови простору

Нехай на гладкому різноманітті X задана локальна система координат і g i j - Ріманом метричний тензор на X , Тобто метрика має вигляд

ds ^ 2 = \ sum ^ n_ {i, j = 1} g_ {ij} dx ^ idx ^ j .

Позначимо через g i j елементи матриці (G i j) - 1 і

g = \ operatorname {det} g_ {ij} = (\ operatorname {det} g ^ {ij })^{- 1} .

Дивергенція векторного поля F , Заданого коодінатамі F i (І представляє диференціальний оператор першого порядку \ Sum_i F ^ i \ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} ) На різноманітті X обчислюється за формулою

\ Operatorname {div} F = \ frac {1} {\ sqrt {g}} \ sum ^ n_ {i = 1} \ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} (\ sqrt {g} F ^ i ) ,

а компоненти градієнта функції f - за формулою

(\ Nabla f) ^ j = \ sum ^ n_ {i = 1} g ^ {ij} \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i}

Оператор Лапласа- Бельтрамі на X

\ Delta f = \ operatorname {div} (\ nabla f) = \ frac {1} {\ sqrt {g}} \ sum ^ n_ {i = 1} \ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} ( \ sqrt {g} \ sum ^ n_ {k = 1} g ^ {ik} \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ k})

Значення Δ f є скаляром, тобто не змінюється при перетворенні координат.


3. Застосування

За допомогою даного оператора зручно записувати рівняння Лапласа, Пуассона і хвильове рівняння. У фізиці оператор Лапласа застосуємо в електростатиці і електродинаміки, у багатьох рівняннях фізики суцільних середовищ, а також при вивченні рівноваги мембран, плівок або поверхонь розділу фаз з поверхневим натягом (див. Лапласово тиск), у стаціонарних задач дифузії і теплопровідності, які зводяться, в безперервному межі, до звичайних рівнянь Лапласа або Пуассона або до деяких їх узагальнень.


4. Варіації і узагальнення

Література

  1. Тіман А. Ф., Трофимов В. М. Введення в теорію гармонійних функцій. М. Наука. 1968 208с.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Демон Лапласа
Рівняння Лапласа
Площина Лапласа
Метод Лапласа
Розподіл Лапласа
Теорема Лапласа
Перетворення Лапласа
Число Лапласа
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru