Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Оператор Набла



План:


Введення

Оператор Набла (оператор Гамільтона) - векторний диференціальний оператор, що позначається символом \ Nabla ( Набла) (в Юникоде U+2207, ∇). Для тривимірного евклідового простору в прямокутних декартових координатах [1] оператор Набла визначається таким чином:

\ Nabla = {\ partial \ over \ partial x} \ vec {i} + {\ partial \ over \ partial y} \ vec {j} + {\ partial \ over \ partial z} \ vec {k} ,

де \ Vec i, \ vec j, \ vec k - Одиничні вектори по осях x, y, z.

Через оператор Набла природним способом виражаються основні операції векторного аналізу : grad ( градієнт), div ( дивергенція), rot ( ротор), а також оператор Лапласа (див. нижче). Широко вживається в описаному сенсі у фізиці і математиці (хоча іноді графічний символ \ Nabla використовується також для позначення деяких інших, хоча в деякому відношенні не зовсім далеких від розглянутого, математичних об'єктів, наприклад, коваріантний похідної).

Під n-мірним оператором Набла мається на увазі вектор з компонентами {\ Partial \ over \ partial x_1}, \; {\ partial \ over \ partial x_2}, \; \ ldots, \; {\ partial \ over \ partial x_n} в n-мірному просторі [2].

Іноді, особливо при накресленні від руки, над оператором Набла малюють стрілку: \ Vec \ nabla - Щоб підкреслити векторний характер оператора. Сенс такого накреслення нічим не відрізняється від звичайного \ Nabla .

  • Іноді (особливо коли мова йде тільки про застосування до скалярним функцій), оператор Набла називають оператором градієнта, яким він у застосуванні до скалярним функцій (полям) і є.
  • Зауваження: у фізиці в наш час назва оператор Гамільтона по відношенню до оператора Набла намагаються не вживати, особливо у квантовій фізиці, щоб уникнути плутанини з квантовим гамильтонианом, що мають, на відміну від класичного, операторну природу.

1. Властивості оператора Набла

Цей вектор набуває сенсу в поєднанні зі скалярной або векторної функцією, до якої він застосовується.

Якщо помножити вектор \ Nabla на скаляр φ , То вийде вектор

\ Nabla \ phi = {\ partial \ phi \ over \ partial x} \ vec {i} + {\ partial \ phi \ over \ partial y} \ vec {j} + {\ partial \ phi \ over \ partial z} \ vec {k} ,

який представляє собою градієнт функції φ .

Якщо вектор \ Nablaскалярно помножити на вектор \ Vec {a} , Вийде скаляр

\ Nabla \ cdot \ vec {a} = \ nabla_xa_x + \ nabla_ya_y + \ nabla_za_z = {\ partial a_x \ over \ partial x} + {\ partial a_y \ over \ partial y} + {\ partial a_z \ over \ partial z} ,

тобто дивергенція вектора \ Vec {a} .

Якщо \ Nabla помножити на \ Vec {a}векторно, то вийде ротор вектора \ Vec {a} :

\ Nabla \ times \ vec a ~ = ~ (\ partial_y a_z - \ partial_z a_y) \ vec i ~ + ~ (\ partial_z a_x - \ partial_x a_z) \ vec j ~ + ~ (\ partial_x a_y - \ partial_y a_x) \ vec k
  • Зауваження: як і для позначення скалярного і векторного твори взагалі, у разі їх застосування з оператором Набла, поряд з використаними вище, часто використовуються еквівалентні їм альтернативні позначення, так, наприклад, замість \ Nabla \ cdot \ vec a нерідко пишуть (\ Nabla, \ vec a) , А замість \ Nabla \ times \ vec a пишуть [\ Nabla, \ vec a] ; Це стосується і формул, що приводяться нижче.

Відповідно, скалярний твір \ Nabla \ cdot \ nabla = \ nabla ^ 2 є скалярний оператор, званий оператором Лапласа. Останній позначається також \ \ Delta . В декартових координатах оператор Лапласа визначається таким чином:

\ Delta = {\ partial ^ 2 \ over \ partial x ^ 2} + {\ partial ^ 2 \ over \ partial y ^ 2} + {\ partial ^ 2 \ over \ partial z ^ 2} .

Оскільки оператор Набла є диференціальним оператором, то при перетворенні виразів необхідно враховувати як правила векторної алгебри, так і правила диференціювання. Наприклад:

\ Mathbf {\ operatorname {grad}} \, \ phi + \ phi \, \ mathbf {\ operatorname {grad}} \, \ psi
= \ Delta \ phi

Тобто похідна вираження, що залежить від двох полів, є сума виразів, в кожному з яких диференціюванню піддається тільки одне поле.

Для зручності позначення того, на які поля діє Набла, прийнято вважати, що в творі полів і операторів кожен оператор діє на вираз, що стоїть праворуч від нього, і не діє на все, що стоїть ліворуч. Якщо потрібно, щоб оператор діяв на полі, що стоїть ліворуч, це поле якимось чином відзначають, наприклад, ставлячи над буквою стрілочку:

\ Nabla \ cdot \ vec v = \ stackrel {\ downarrow} {\ vec v} \ cdot \ nabla

Така форма запису зазвичай використовується в проміжних перетвореннях. Через її незручності в остаточному відповіді від стрілок намагаються позбутися.


2. Оператори другого порядку

Тому що існують різні способи множення векторів і скалярів, за допомогою оператора Набла можна записати різні види диференціювання. Комбінування скалярних і векторних творів дає 7 різних варіантів похідних другого порядку:

\ Mbox {div} \, (\ mbox {grad} \, f) = \ nabla \ cdot (\ nabla f)
\ Mbox {rot} \, (\ mbox {grad} \, f) = \ nabla \ times (\ nabla f)
\ Delta f = \ nabla ^ 2 f
\ Mbox {grad} \, (\ mbox {div} \, \ vec v) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ vec v)
\ Mbox {div} \, (\ mbox {rot} \, \ vec v) = \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ vec v)
\ Mbox {rot} \, (\ mbox {rot} \, \ vec v) = \ nabla \ times (\ nabla \ times \ vec v)
\ Delta \ vec v = \ nabla ^ 2 \ vec v

Для досить гладких полів (двічі безперервно диференційовних) ці оператори не незалежні. Два з них завжди дорівнюють нулю:

\ Mbox {rot} \, (\ mbox {grad} \, f) = \ nabla \ times (\ nabla f) = (\ nabla \ times \ nabla) f = 0
\ Mbox {div} \, (\ mbox {rot} \, \ vec v) = \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ vec {v}) = (\ nabla \ times \ nabla) \ cdot \ vec {v } = 0

Два завжди збігаються:

\ Mbox {div} \, (\ mbox {grad} \, f) = \ nabla \ cdot (\ nabla f) = (\ nabla \ cdot \ nabla) f = \ nabla ^ 2 f = \ Delta f

Три залишилися зв'язані співвідношенням:

(\ Nabla \ times (\ nabla \ times \ vec {v})) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ vec {v}) - \ nabla ^ 2 \ vec {v}

Ще одне може бути виражене через тензорне твір векторів:

\ Nabla (\ nabla \ cdot \ vec {v}) = \ nabla \ cdot (\ nabla \ otimes \ vec {v})

3. Відмінності оператора Набла від звичайного вектора

Хоча більшість властивостей оператора Набла випливають з алгебраїчних властивостей операторів і чисел і стають цілком очевидними, якщо розглядати його як вектор, потрібно дотримуватися обережності. Оператор Набла не належить того ж простору, що і звичайні вектори, а точніше кажучи, скалярний і векторний твір для нього визначено з деякими відмінностями (в основному зводяться до того, що - як це зазвичай мається на увазі - оператор діє на ті поля, що коштують від нього праворуч, і не діє на стоять від нього ліворуч, через що скалярний і векторний твір за участю \ Nabla НЕ комутативні і не антикоммутативність, як це властиво для таких творів звичайних векторів), таким чином, оператор Набла не володіє деякими властивостями звичайних векторів, і отже не в усьому може вести себе відповідно з геометричними властивостями звичайного вектора. Зокрема,

він не комутує з векторами:

\ Nabla \ cdot \ vec v \ ne \ vec v \ cdot \ nabla ,

адже \ Nabla \ cdot \ vec v - Це дивергенція, тобто в кінцевому підсумку просто скалярна функція координат, а \ Vec v \ cdot \ nabla являє собою нетривіальний оператор диференціювання у напрямку векторного поля \ Vec {v} .

Можна додатково переконатися в тому, що вони не збігаються, застосувавши обидва вирази до скалярної функції f:

(\ Nabla \ cdot \ mathbf v) f \ ne (\ mathbf v \ cdot \ nabla) f

так як

(\ Nabla \ cdot \ mathbf v) f = \ left (\ frac {\ part v_x} {\ part x} + \ frac {\ part v_y} {\ part y} + \ frac {\ part v_z} {\ part z} \ right) f = \ frac {\ part v_x} {\ part x} f + \ frac {\ part v_y} {\ part y} f + \ frac {\ part v_z} {\ part z} f
(\ Mathbf v \ cdot \ nabla) f = \ left (v_x \ frac {\ part} {\ part x} + v_y \ frac {\ part} {\ part y} + v_z \ frac {\ part} {\ part z} \ right) f = v_x \ frac {\ part f} {\ part x} + v_y \ frac {\ part f} {\ part y} + v_z \ frac {\ part f} {\ part z}

Якби Набла був вектором, то змішане твір (\ Vec v, \ \ nabla, \ \ vec v) \ equiv \ vec v \ cdot (\ nabla \ times \ vec v) було б завжди дорівнює нулю, однак нескладно переконатися, що це невірно.

Крім того, необхідно пам'ятати, на які вектори і функції діє кожен оператор Набла в написаній формулі, наприклад:

(\ Nabla x) \ times (\ nabla y) = \ left (\ mathbf i \ frac {\ part x} {\ part x} + \ mathbf j \ frac {\ part x} {\ part y} + \ mathbf k \ frac {\ part x} {\ part z} \ right) \ times \ left (\ mathbf i \ frac {\ part y} {\ part x} + \ mathbf j \ frac {\ part y} {\ part y} + \ mathbf k \ frac {\ part y} {\ part z} \ right) =
= (\ Mathbf i \ cdot 1 + \ mathbf j \ cdot 0 + \ mathbf k \ cdot 0) \ times (\ mathbf i \ cdot 0 + \ mathbf j \ cdot 1 + \ mathbf k \ cdot 0) = \ mathbf i \ times \ mathbf j = \ mathbf {k}

(Тут перший оператор Набла діє тільки на полі x, а другий - тільки на 'y', що як би жорстко фіксує порядок дій). Тоді як для звичайних векторів:

(\ Mathbf ux) \ times (\ mathbf uy) = xy (\ mathbf u \ times \ mathbf u) = xy \ mathbf 0 = \ mathbf {0}

оскільки тут x і y легко виносяться.

Тому для зручності, при множенні оператора Набла на складне вираз, звичайно диференціюється поле позначають стрілкою:

(\ Nabla; [\ vec u; \ vec v]) = (\ nabla; [\ stackrel {\ downarrow} {\ vec u}; \ vec v]) + (\ nabla; [\ vec u; \ stackrel { \ downarrow} {\ vec v}]) = (\ vec v; [\ nabla; \ stackrel {\ downarrow} {\ vec u}]) - (\ vec u; [\ nabla; \ stackrel {\ downarrow} { \ vec v}]) = \ vec v \ cdot \ mbox {rot} \ vec u - \ vec u \ cdot \ mbox {rot} \ vec v

Якщо оператор не діє на деяке поле, то приватні похідні коммутіруют у всіх виразах з компонентами цього поля, тому поле і оператор комутують (для векторного твору - антікоммутіруют) у всіх виразах і можна робити чисто алгебраїчні перетворення.


4. Історія

У 1853 році В. Р. Гамільтон ввів цей оператор і придумав для нього символ \ Nabla у вигляді переверненої літери грецької Δ (дельта). У Гамільтона вістрі символу вказувало наліво, пізніше в роботах П. Г. Тета символ придбав сучасний вигляд. Гамільтон назвав цей символ словом "атлед" (слово "дельта", прочитане навпаки), проте пізніше англійські вчені, в тому числі О. Хевісайд, стали називати цей символ "Набла" через схожість з остовом древнеассірійского музичного інструменту спостеріга, а оператор отримав назву оператора Гамільтона, або оператора Набла. [3].

"Математика в поняттях, визначеннях і термінах" (автори О. В. Мантуров та ін, під ред. Л. В. Сабініна, М .: Просвітництво, 1982 р., т. 2) пише, що \ Nabla - Буква фінікійського алфавіту, походження якої пов'язане з музичним інструментом типу арфи. ναβλα (Набла) по-давньогрецькому означає "арфа".


Примітки

  1. В інших координатах - див за посиланням трохи нижче.
  2. Ця розмірність n, тобто розмірність простору, на поля на (в) якому діє оператор, вказується явно чи мається на увазі з формулювання відповідної теорії або завдання.
  3. "Кратні і криволінійні інтеграли. Елементи теорії поля", В. Р. Гаврилом, Є. Є. Іванова, В. Д. Морозова. Математика в технічному університеті VII, видавництво МГТУ імені Н. Е. Баумана.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Набла
Оператор
Оператор (математика)
Унітарний оператор
Оператор Д'Аламбера
Оператор замикання
Ерміта оператор
Оператор Кенні
Обмежений оператор
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru