Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Оператор (математика)



План:


Введення

Оператор ( позднелат. operator - Працівник, виконавець, від operor - працюю, дію) - те саме, що відображення в математиці.

Звична функція відображає одне число (аргумент) на інше (значення функції). Функція декількох змінних відображає вектор (ряд чисел) на число. У разі відображення вектора на вектор, відображення частіше називають оператором. А оскільки функції відносяться до векторів (аргумент функції служить індексом, при цьому кількість елементів може досягати континууму для не дискретних функцій), оператори часто застосовуються до функцій. Таким чином оператор можна вважати узагальненням функції: якщо функція оперує числами, повертаючи число, то оператор приймає і повертає ряд чисел, тобто оперує функціями.

Найбільш часто зустрічаються оператори:

  • Функціональний аналіз : Оператори на просторах функцій (диференціювання, інтегрування, згортка з ядром, перетворення Фур'є).
  • Лінійна алгебра : Відображення (особливо лінійні) векторних просторів (проектори, повороти координат, гомотетии, множення вектора на матрицю).
  • Дискретна математика : Перетворення послідовностей (згортки дискретних сигналів, медіанний фільтр і т. п.).

1. Основна термінологія

Нехай оператор A діє з безлічі X в безліч Y .


2. Прості приклади

Оператор, що діє над просторами функцій - це правило, згідно якому одна функція перетвориться в іншу. Перетворення функції x (t) згідно з правилом A в іншу функцію y (t) має вигляд y (t) = A {x (t)} або, простіше, y = A x .

Прикладами подібних перетворень - множення на число: y (t) = c x (t) та диференціювання: \ Scriptstyle y (t) = \ frac {dx (t)} {dt} . Відповідні оператори називаються операторами множення на число, диференціювання, інтегрування, рішення диференціального рівняння і т. д.

Оператори, які змінюють аргумент функції, називаються операторами перетворення або перетвореннями. Перетворення підміняє координатні осі, відображає функцію в інший простір. Наприклад перетворення Фур'є з тимчасової в частотну область:

F (\ omega) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {-it \ omega} \, dt = \ mathcal {F} \ {f (t) \}.

Відмінність оператора від простої суперпозиції функцій в даному випадку полягає в тому, що значення функції y , Взагалі кажучи, в кожній точці t залежить не тільки від x (t) , А від значень функції x у всіх точках t . Пояснимо на прикладі перетворення Фур'є. Значення цього перетворення (спектр функції) у точці ω змінюється при безперервному зміну вихідної функції в околиці будь-якої точки t .

Вивченням загальних властивостей операторів і застосуванням їх до вирішення різних завдань займається теорія операторів. Наприклад, виявляється, що в оператора множення вектора на матрицю і оператора згортки функції з вагою є багато спільних властивостей.

Фундаментальним для практики є клас так званих лінійних операторів. Він також є найбільш дослідженим. Як приклад лінійного оператора можна навести операцію множення n -Мірного вектора на матрицю розміром n \ times m . Цей оператор відображає n -Мірний простір векторів в m -Мірне.


3. Лінійні оператори

Оператор L (Діє з векторного простору в векторне же) називається лінійним однорідним (або просто лінійним), якщо він має такі властивості:

  1. може застосовуватися почленно до суми аргументів:
    L (x 1 + x 2) = L (x 1) + L (x 2) ;
  2. скаляр (постійну величину) c можна виносити за знак оператора:
    L (c x) = c L (x) ;

З 2) випливає, що для лінійного однорідного оператора справедливо властивість L (0) = 0 .

Оператор L називається лінійним неоднорідним, якщо він складається з лінійного однорідного оператора з додатком деякого фіксованого елемента:

L {x} = L 0 {x} + φ ,

де L 0 - Лінійний однорідний оператор.

У разі лінійного перетворення дискретних функцій (послідовностей, векторів) нові значення функцій y k є лінійними функціями від старих значень x k :

y_k = \ sum_ {l = 1} ^ n T_ {kl} \, x_l .

У більш загальному випадку безперервних функцій двовимірна матриця ваг приймає вид функції двох змінних K (t, \; \ omega) , І називається ядром лінійного інтегрального перетворення:

\ Varphi (t) = \ int \ limits_V \! K (t, \ omega) f (\ omega) \, d \ omega = K \ {f (\ omega) \}.

Функція-операнд f (ω) в даному випадку називається спектральною функцією. Спектр може бути і дискретним, тоді f (ω) замінюється вектором W . У цьому випадку φ (t) представимо кінцевим або нескінченним рядом функцій:

\ Varphi (t) = \ sum_ {i = 1} ^ n T_i (t) w_i.

4. Одиничний (тотожний) оператор

Оператор E , Що ставить у відповідність кожному вектору \ Mathbf {a} сам вектор \ Mathbf {a} , Очевидно, лінійний, він називається одиничним чи тотожний оператором.

Окремий випадок лінійного оператора, який повертає операнд в незмінному вигляді:

E \ mathbf {a} = \ mathbf {a},

тобто як матричний оператор визначається рівністю

\ Sum_k E_ {ik} \, a_k = a_i

і як інтегральний оператор - рівністю

\ Int \ limits_ \ alpha ^ \ beta \! E (x, t) a (t) \, dt = a (x) .

Одинична матриця E i k записується здебільшого за допомогою символу δ i k = δ k i ( символ Кронекера). Маємо: δ i k = 1 при i = k і δ i k = 0 при i \ neq k .

Одиничне ядро E (x, t) записується у вигляді E (x, t) = δ (t - x) ( дельта-функція). δ (x - t) = 0 усюди, крім x = t , Де функція стає нескінченною і при тому такої, що

\ Int \ limits_ \ alpha ^ \ beta \! \ Delta (x-t) \, dt = 1 .

5. Запис

У математиці і техніці широко застосовується умовна форма запису операторів, аналогічна алгебраїчної символіки. Така символіка в ряді випадків дозволяє уникнути складних перетворень і записувати формули в простій і зручній формі. Аргументи оператора називаються операндами, число операндів називається арністю оператора (наприклад, одинарний, бінарний). Написання операторів можна систематизувати таким чином:

  • префіксная: де першим йде оператор і операнди слідом, наприклад:
Q (x_1, \; x_2, \; \ ldots, \; x_n);
  • постфіксной: якщо символ оператора слід за операндами, наприклад:
(X_1, \; x_2, \; \ ldots, \; x_n) \; Q;
  • інфіксная: оператор вставляється між операндами, застосовується переважно з двійковими операторами:
x_1 \; Q \; x_2;
  • позиційна: знак оператора опускається, оператор присутній неявно. Найчастіше не пишеться оператор твори (змінних, чисельного значення на фізичну одиницю, матриць, композиція функцій), наприклад, 3 кг. Така здатність одного оператора діяти над різнорідними сутностями досягається перевантаженням операторів;
  • підрядковий або надрядкових ліворуч або праворуч; головним чином використовується для операцій зведення в ступінь і вибору елемента вектора за індексом.

Як можна помітити, запис оператора часто приймає скорочену форму від загальноприйнятої записи функцій. При використанні префіксной або постфіксной записи дужки опускаються в більшості випадків, якщо відома арность оператора. Так, одинарний оператор Q над функцією f зазвичай для стислості записується Q f замість Q (f) ; Дужками користуються для ясності, наприклад, операція над твором Q (f g) . Q , Що діє на f (x) , Також записують (Q f) (x) . Для позначення деяких операторів вводяться спеціальні знаки, наприклад, унарні n! (Факторіал "!", Праворуч від операнда), - N (Заперечення, ліворуч) або каліграфічні символи, як у випадку з Фур'є-перетворенням функції \ Mathcal {F} \ {f (t) \} . Піднесення до степеня n x можна вважати бінарним оператором двох аргументів або статечної або показовою функцією одного аргументу.


6. Символ лінійного диференціального оператора

Символ лінійного диференціального оператора зіставляє диференціальному оператору многочлен, грубо кажучи, замінюючи композицію приватних похідних на твір асоційованих з ними змінних. Старші моном символу оператора (головний символ оператора) відображають якісне поведінка рішення рівняння в приватних похідних, що відповідає цьому оператору. Лінійні еліптичні рівняння в приватних похідних характеризуються тим, що їх головний символ ніде не звертається до 0.

Нехай \ Alpha = (\ alpha_1, \ ldots, \ alpha_n) , \ Beta = (\ beta_1, \ ldots, \ beta_n) , І x = (x_1, \ ldots, x_n) . Тоді покладемо

\ Begin {align} D ^ \ alpha x ^ \ beta & = \ frac {\ part ^ {\ vert \ alpha \ vert}} {\ part x_1 ^ {\ alpha_1} \ cdots \ part x_n ^ {\ alpha_n}} x_1 ^ {\ beta_1} \ cdots x_n ^ {\ beta_n} \ \ & = \ frac {\ part ^ {\ alpha_1}} {\ part x_1 ^ {\ alpha_1}} x_1 ^ {\ beta_1} \ cdots \ frac {\ part ^ {\ alpha_n}} {\ part x_n ^ {\ alpha_n}} x_n ^ {\ beta_n}. \ end {align}

Нехай P - лінійний диференціальний оператор порядку k на евклідовому просторі R d. Тоді P є поліномом від похідної D, в мультііндексной запису це буде записуватися так

P = p (x, D) = \ sum_ {| \ alpha | \ le k} a_ \ alpha (x) D ^ \ alpha.

Поліном p, за визначенням, є повним символом P:

\ Sigma P (\ xi) = p (x, \ xi) = \ sum_ {| \ alpha | \ le k} a_ \ alpha \ xi ^ \ alpha.

Головний символ оператора складається з мономах максимальному ступені σ P:

σ P (ξ) = Σ a α ξ α
| Α | = k

і є частиною повного символу оператора, яка перетвориться як тензор при заміні координат.


Джерела

  • Вентцель Е. С. Теорія ймовірностей - 1998, стор 388-390
  • Маделунга Е. Математичний апарат фізики - стор 34
  • (1995) Оператор. Математичний енциклопедичний словник. Гол. ред. Ю. В. Прохоров. М.: "Велика російська енциклопедія".

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Оператор
Оператор Набла
Оператор Д'Аламбера
Унітарний оператор
Оператор (програмування)
Компактний оператор
Оператор (професія)
Сполучений оператор
Оператор (фізика)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru