Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Оператор (фізика)


Перегляд цього шаблону

План:


Введення

Оператор - це математичний символ для позначення дії або програм дій, які потрібно здійснити над деякою функцією, щоб однозначно отримати іншу функцію.

В квантовій механіці оператори діють на хвильову функцію, яка є комплекснозначних функцій, що дає найбільш повний опис стану системи, і позначаються великими латинськими літерами з циркумфлекс нагорі. Наприклад:

\ Hat {A}, \ hat {B}, \ hat {C}, \ dots

Оператор діє на функцію, яка стоїть праворуч від нього (кажуть також, що він застосовується до функції або множиться на функцію):

\ Hat {A} \ Psi_1 = \ Psi_2

У квантовій механіці використовується математичне властивість лінійних самосопряженних (ермітових) операторів, що полягає в тому, що кожен з них має власні вектори і власні речові значення. Вони виступають у ролі відповідних даному оператору значень фізичних величин.


1. Арифметичні операції над операторами

  • Оператор \ Hat {C} називається сумою (різницею) операторів \ Hat {A}, \ hat {B} , Якщо для будь-якої функції \ \ Psi з області визначення всіх трьох операторів виконана умова:

\ Hat {C} \ Psi = \ hat {A} \ Psi \ pm \ hat {B} \ Psi

  • Оператор \ Hat {C} називається твором операторів \ Hat {A}, \ hat {B} , Якщо для будь-якої функції \ \ Psi виконана умова:

\ Hat {C} \ Psi = \ hat {A} (\ hat {B} \ Psi)

У загальному випадку

\ Hat {A} \ hat {B} \ not = \ hat {B} \ hat {A}

Якщо \ Hat {A} \ hat {B} = \ hat {B} \ hat {A} , То кажуть, що оператори \ Hat {A}, \ hat {B} коммутіруют. Комутатор операторів визначається як

[\ Hat {A}, \ hat {B}] = \ hat {A} \ hat {B} - \ hat {B} \ hat {A}


2. Власні значення і власні функції оператора

Якщо має місце рівність:

\ Hat {A} \ Psi = a \ Psi,

то \ A називають власним значенням оператора \ Hat {A} , А функцію \ \ Psi - Власної функцією оператора \ Hat {A}, відповідної даному власному значенню. Найчастіше в оператора є безліч власних значень: \ A_1, a_2, \ dots, a_n, \ dots Безліч всіх власних значень називається спектром оператора.


3. Лінійні та самосопряженних операторів

Оператор \ Hat {L} називається лінійним, якщо для будь-якої пари \ Varphi_ {i}, C_ {i} виконана умова:

\ Hat {L} \ sum_ {i} C_ {i} \ varphi_ {i} = \ sum_ {i} C_ {i} \ hat {L} \ varphi_ {i}.

Оператор \ Hat {A} називається самосопряженним ( ермітових), якщо для будь-яких \ Psi, \ varphi виконана умова:

\ Left \ langle \ Psi | \ hat {A} \ varphi \ right \ rangle = \ left \ langle \ hat {A} \ Psi | \ varphi \ right \ rangle

При цьому сума самосопряженних операторів є самосопряженних операторів. Твір самосопряженних операторів є самосопряженних операторів, якщо вони комутують. Власні значення самосопряженних операторів завжди речовинні. Власні функції самосопряженних операторів, що відповідають різним власним значенням, ортогональні.


4. Оператори, що використовуються в квантовій фізиці

Основними характеристиками фізичної системи в квантовій фізиці є спостережувані величини і стану.

В квантовій фізиці спостережуваним величинам зіставляються лінійні самосопряженних операторів в комплексному сепарабельному гільбертовому просторі, станам - класи нормованих елементів цього простору (з нормою 1). Це робиться в основному з двох причин:

  • Власні значення самосопряженних операторів, що відповідають конкретним значенням фізичних величин, є речовими числами, тобто тим, з чим на практиці мають справу експериментатори (показання приладів, результати обчислень і т. д.).
  • Одна і та ж квантова частинка може перебувати одночасно у безлічі квантових станів, які і характеризуються безліччю власних значень відповідного оператора. Це може бути кінцеве безліч (дискретний спектр значень), інтервал (безперервний спектр значень) або змішане безліч.

В квантовій фізиці існує "нестроге" правило для побудови оператора фізичних величин: співвідношення між операторами в цілому таке ж, як між відповідними класичними величинами. Грунтуючись на цьому правилі, були введені наступні оператори (в координатному представленні):

\ Hat {\ mathbf {x}} = x

Дія оператора координат полягає в множенні на вектор координат.

\ Hat {\ mathbf {p}} =-i \ hbar \ nabla

Тут \ I - уявна одиниця, \ Nabla - оператор Набла.

\ Hat {T} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ mathcal {4}

Тут \ Hbar - постійна Планка, \ Mathcal {4} - оператор Лапласа.

\ Hat {U} = U (x, y, z, t)

Дія оператора тут зводиться до множення на функцію.

\ Hat {H} = \ hat {T} + \ hat {U}

\ Hat {\ mathbf {L}} =-i \ hbar [\ mathbf {r}, \ nabla]

У найважливішому випадку спина 1/2 оператор спина має вигляд:

\ Hat {s} = \ frac {1} {2} \ hat {\ sigma} , Де

\ Hat {\ sigma} _ {x} = \ begin {pmatrix} 0 & 1 \ \ 1 & 0 \ end {pmatrix} , \ Hat {\ sigma} _ {y} = \ begin {pmatrix} 0 &-i \ \ i & 0 \ end {pmatrix} , \ Hat {\ sigma} _ {z} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \ \ 0 & -1 \ end {pmatrix} - Т.зв. матриці Паулі.


Література

  1. Ландау Л.Д., Ліфшиц О.М. " Теоретична фізика ", в 10 т., т. 3," Квантова механіка (нерелятивістська теорія) ", 5-е изд., М., Физматлит, 2002, 808 с., ISBN 5-9221-0057-2 (т. 3);
  2. "Функціональний аналіз", вид. 2, перерва. і дополн. (Серія "Довідкова математична бібліотека",) колектив авторів, ред. С.Г.Крейн, М., "Наука", 1972, 517.2 Ф 94 УДК 517.4 (083, 544 с., гл. 9 "Оператори квантової механіки", с. 423-455;

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Оператор
Оператор Собеля
Оператор (професія)
Оператор Д'Аламбера
Унітарний оператор
Оператор (програмування)
Компактний оператор
Сполучений оператор
Оператор Лапласа
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru