Операційне числення

Операційне числення - один з методів математичного аналізу, що дозволяє в ряді випадків за допомогою досить простих засобів вирішувати складні математичні завдання.



1. Історія

В середині XIX століття з'явився ряд творів, присвячених так званому символічному обчисленню та застосуванню його до вирішення деяких типів лінійних диференціальних рівнянь. Сутність символічного числення полягає в тому, що вводяться в розгляд і належним чином інтерпретуються функції оператора диференціювання p = {d \ over dt} (Див. Операторний числення). Серед творів з символічного обчисленню слід зазначити що вийшла в 1862 в Києві грунтовну монографію російського математика М. Є. Ващенко-Захарченко "Символічне числення і додаток його до інтегрування лінійних диференціальних рівнянь". У ній поставлені і вирішені основні завдання того методу, який у подальшому отримав назву операційного.

В 1892 з'явилися роботи англійського вченого О. Хевісайда, присвячені застосуванню методу символічного числення до вирішення завдань по теорії розповсюдження електричних коливань в проводах. На відміну від своїх попередників, Хевісайд визначив зворотний оператор однозначно, вважаючи \ Frac {1} {p} f (t) = \ int \ limits_ {0} ^ {t} \! F (u) \, du і вважаючи f (u) = 0 для u <0 . Праці Хевісайда поклали початок систематичному застосуванню символічного, або операційного, обчислення до вирішення фізичних і технічних завдань.

Однак широко розвинене в працях Хевісайда операційне числення не отримало математичного обгрунтування, і багато його результати залишалися недоведеними. Суворе обгрунтування було дано значно пізніше, коли було встановлено зв'язок між функціональним перетворенням Лапласа \ Bar {f} (p) = L \ left [f (t) \ right] = \ int \ limits_ {0} ^ \ infty \! e ^ {-pt} f (t) \, dt і оператором диференціювання {D \ over dt}. Саме, якщо існує похідна f ^ \ prime (t) , Для якої L \ left [{df \ over dt} \ right] існує і f (0) = 0 , То L \ left [{df \ over dt} \ right] = p \ bar {f} (p)



2. Властивості зображень

  • Лінійність

Оригінал лінійної комбінації функцій дорівнює лінійної комбінації зображень з тими ж коефіцієнтами.

a \ cdot f (t) + b \ cdot g (t) \ quad \ Rightarrow \ quad a \ cdot F (p) + b \ cdot G (p),

де a і b - довільні комплексні числа.

  • Теорема подібності
f (at) \ quad \ Rightarrow \ quad \ frac {1} {a} F \ left (\ frac {p} {a} \ right),

де a> 0.

  • Диференціювання оригіналу
f (t) \ quad \ Rightarrow \ quad F (p);
f '(t) \ quad \ Rightarrow \ quad pF (p) - f (0);
f'' (t) \ quad \ Rightarrow \ quad p ^ 2F (p) - pf (0) - f '(0);
f'' '(t) \ quad \ Rightarrow \ quad p ^ 3F (p) - p ^ 2f (0) - pf' (0) - f'' (0);
...
f ^ {(n)} (t) \ quad \ Rightarrow \ quad p ^ nF (p) - p ^ {n-1} f (0) - p ^ {n-2} f '(0) - p ^ {n-3} f'' (0) - ... - F ^ {(n-1)} (0).
  • Диференціювання зображення
-Tf (t) \ quad \ Rightarrow \ quad F '(p).
  • Інтегрування оригіналу
\ Int \ limits_0 ^ tf (x) dx \ quad \ Rightarrow \ quad \ frac {1} {p} F (p).
  • Інтегрування зображення
\ Frac {f (t)} {t} \ quad \ Rightarrow \ quad \ int \ limits_p ^ {\ infty} F (z) dz.
  • Теорема зсуву
e ^ {at} f (t) \ quad \ Rightarrow \ quad F (p-a).
  • Теорема запізнювання
f (t-\ tau) \ quad \ Rightarrow \ quad e ^ {-p \ tau} F (p).
  • Теорема множення (згортки)
\ Int \ limits_0 ^ tf (\ tau) g (t-\ tau) d \ tau \ quad \ Rightarrow \ quad F (p) \ cdot G (p).

3. Зображення різних функцій

Оригінал Зображення Оригінал Зображення Оригінал Зображення
~ C~ \ Frac {C} {p}~ T \ cdot \ sin ~ \ omega t~ \ Frac {2p \ omega} {(p ^ 2 + \ omega ^ 2) ^ 2}~ T \ cdot \ operatorname {sh} ~ \ omega t~ \ Frac {2p \ omega} {(p ^ 2 - \ omega ^ 2) ^ 2}
~ E ^ {at}~ \ Frac {1} {p-a}~ T \ cdot \ cos ~ \ omega t~ \ Frac {p ^ 2 - \ omega ^ 2} {(p ^ 2 + \ omega ^ 2) ^ 2}~ T \ cdot \ operatorname {ch} ~ \ omega t~ \ Frac {p ^ 2 - \ omega ^ 2} {(p ^ 2 - \ omega ^ 2) ^ 2}
~ \ Sin ~ \ omega t~ \ Frac {\ omega} {p ^ 2 + \ omega ^ 2}~ \ Operatorname {sh} ~ \ omega t~ \ Frac {\ omega} {p ^ 2 - \ omega ^ 2}~ T ^ n~ \ Frac {n!} {P ^ {n +1}}
~ \ Cos ~ \ omega t~ \ Frac {p} {p ^ 2 + \ omega ^ 2}~ \ Operatorname {ch} ~ \ omega t~ \ Frac {p} {p ^ 2 - \ omega ^ 2}~ T ^ a~ \ Frac {\ Gamma (a +1)} {p ^ {a +1}}
~ E ^ {at} \ sin ~ \ omega t~ \ Frac {\ omega} {(p-a) ^ 2 + \ omega ^ 2}~ E ^ {at} \ operatorname {sh} ~ \ omega t~ \ Frac {\ omega} {(p-a) ^ 2 - \ omega ^ 2}~ E ^ {at} t ^ n~ \ Frac {n!} {(P-a) ^ {n +1}}
~ E ^ {at} \ cos ~ \ omega t~ \ Frac {p-a} {(p-a) ^ 2 + \ omega ^ 2}~ E ^ {at} \ operatorname {ch} ~ \ omega t~ \ Frac {p-a} {(p-a) ^ 2 - \ omega ^ 2}

4. Приклад застосування операторних методів

Перехідний процес в комутованій RL-ланцюжку

4.1. Завдання

На малюнку зображена комутована RL-ланцюжок. У деякий момент часу t = 0 ключ До замикається. Визначити залежність струму в RL-ланцюжку від часу.

4.2. Рішення традиційним методом

Згідно з другим законом Кірхгофа, схема описується таким диференціальним рівнянням:

U = iR + L \ frac {di} {dt},

де перший член описує падіння напруги на резисторі R, а другий - на індуктивності L.

Робимо заміну змінної ~ I = ab і приводимо рівняння до виду:

~ U = Rab + L (a'b + ab '); \ qquad U = a (Rb + Lb') + La'b.

Оскільки один із співмножників a, b можна вибрати довільно, виберемо b так, щоб вираз в дужках було дорівнює нулю:

~ Rb + Lb '= 0.

Поділяємо перемінні:

~ \ Frac {b '} {b} = - \ frac {R} {L}; \ qquad \ ln b = - \ frac {R} {L} t; \ qquad b = e ^ {- \ frac {R } {L} t}.

З урахуванням цього значення b диференціальне рівняння приводиться до вигляду

~ U = La'e ^ {- \ frac {R} {L} t}; \ qquad a '= \ frac {Ue ^ {\ frac {R} {L} t}} {L};

Інтегруючи, одержуємо

~ A = \ frac {L} {R} \ cdot \ frac {Ue ^ {\ frac {R} {L} t}} {L} + C = \ frac {Ue ^ {\ frac {R} {L} t}} {R} + C; \ qquad

Отримуємо вираз для струму

~ I = ab = \ left (\ frac {Ue ^ {\ frac {R} {L} t}} {R} + C \ right) \ cdot e ^ {- \ frac {R} {L} t} = \ frac {U} {R} + Ce ^ {- \ frac {R} {L} t};

Значення постійної інтегрування знаходимо з умови, що в момент t = 0 струму в ланцюзі не було:

~ I (0) = 0; \ qquad \ frac {U} {R} + C = 0; \ qquad C = - \ frac {U} {R}.

Остаточно отримуємо

~ I = \ frac {U} {R} \ left (1-e ^ {- \ frac {R} {L} t} \ right).

4.3. Рішення операторних методом

Знайдемо зображення кожного з доданків диференціального рівняння:

~ I \ Rightarrow I; \ qquad U \ Rightarrow \ frac {U} {p}; \ qquad iR \ Rightarrow IR; \ qquad L \ frac {di} {dt} \ Rightarrow L \ left [pI-i (0) \ right] = pLI. [1]

U \ Rightarrow \ frac {U} {p} виходить тому, що зміна U у часі виражається функцією U = H (t) U (ключ замкнули в момент t = 0), де H (t) - ступінчаста функція Хевісайда, (H (t) = 0 при t <0 і H (t) = 1 при t = 0 і t> 0, причому зображення H (t) є 1 / p).

Отримуємо наступне зображення диференціального рівняння

~ \ Frac {U} {p} = RI + pLI = I (R + pL).

З останнього виразу знайдемо зображення струму:

~ I = \ frac {U} {p (R + pL)}.

Таким чином, рішення зводиться до знаходження оригіналу струму за відомим зображенню. Розкладемо праву частину рівняння на елементарні дроби:

~ \ Frac {U} {p (R + pL)} = \ frac {A} {p} + \ frac {B} {R + pL} = \ frac {A (R + pL) + Bp} {p ( R + pL)} = \ frac {AR + p (AL + B)} {p (R + pL)};
~ AR = U; \ qquad A = \ frac {U} {R};
~ AL + B = 0; \ qquad B =-AL = - \ frac {UL} {R};
~ I = \ frac {U} {Rp} - \ frac {UL} {R (R + pL)} = \ frac {U} {Rp} - \ frac {U} {R (\ frac {R} {L } + p)} = \ frac {U} {R} \ left (\ frac {1} {p} - \ frac {1} {\ frac {R} {L} + p} \ right).

Знайдемо оригінали елементів останнього виразу:

~ \ Frac {1} {p} \ Leftarrow 1; \ qquad \ frac {1} {\ frac {R} {L} + p} \ Leftarrow e ^ {- \ frac {R} {L} t}.

Остаточно отримуємо

~ I = \ frac {U} {R} \ left (1-e ^ {- \ frac {R} {L} t} \ right).

4.4. Висновок

Операційне числення надзвичайно зручно в електротехніці для розрахунку динамічних режимів різних ланцюгів. Алгоритм розрахунку наступний.

1) Усі елементи ланцюга розглядаємо як опору Z i, величини яких знаходимо виходячи з зображень перехідних функцій відповідних елементів.

Наприклад, для резистора:

~ U = iR; \ quad \ Rightarrow \ quad U = IR \ quad \ Rightarrow \ quad Z_R = R.

Для індуктивності:

~ U = L \ frac {di} {dt} \ quad \ Rightarrow \ quad U = IpL \ quad \ Rightarrow \ quad Z_L = pL.

Для ємності:

~ U = \ frac {1} {C} \ int idt \ quad \ Rightarrow \ quad U = \ frac {I} {pC} \ quad \ Rightarrow \ quad Z_C = \ frac {1} {pC}.

2) Використовуючи вказані значення опорів, знаходимо зображення струмів в ланцюзі, використовуючи стандартні методи розрахунку кіл, що застосовуються в електротехніці.

3) Маючи зображення струмів в ланцюзі, знаходимо оригінали, які і є вирішенням диференціальних рівнянь, що описують ланцюг.


4.5. Зауваження

Цікаво відзначити, що отримані вище вирази для операторного опору різних елементів з точністю до перетворення

~ P \ rightarrow j \ omega

збігаються з відповідними виразами для опорів в ланцюгах змінного струму:

~ Z_R = R; \ qquad Z_L = j \ omega L; \ qquad Z_C = \ frac {1} {j \ omega C}.

Примітки

  1. В іноземній літературі комплексна змінна p зазвичай позначається буквою s.