Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Описана окружність


Circumscribed Polygon.svg

План:


Введення

Circumscribed Polygon.svg

Описана окружність багатокутника - окружність, що містить всі вершини багатокутника. Центром є точка (прийнято позначати O ) Перетину серединних перпендикулярів до сторін багатокутника.


1. Властивості

  • Центр описаного кола опуклого n-кутника лежить в точці перетину серединних перпендикулярів до його сторонам. Як наслідок: якщо поряд з n-кутником описана окружність, то все серединні перпендикуляри до його сторонам перетинаються в одній точці (центрі кола).
  • Навколо будь-якого правильного багатокутника можна описати коло, і притому тільки одну.

1.1. Для трикутника

Коло, описане навколо трикутника
  • У остроугольного трикутника центр описаного кола лежить всередині, у тупоугольние - поза трикутника, у прямокутного - на середині гіпотенузи.
  • Гострокутний

  • Тупоугольние

  • Прямокутний

Позначаємо буквою Про точку перетину серединних перпендикулярів до його сторонам і проведемо відрізки ОА, ОВ і ОС. Так як точка О рівновіддалена від вершин трикутника АВС, то ОА = OB = ОС. Тому коло з центром О радіуса ОА проходить через всі три вершини трикутника і, значить, є описаною навколо трикутника ABC.

  • 3 з 4 кіл, описаних щодо серединних трикутників (утворених середніми лініями трикутника), перетинаються в одній точці всередині трикутника. Ця точка і є центр описаного кола основного трикутника.
  • Центр описаного навколо трикутника кола служить Ортоцентр трикутника з вершинами в серединах сторін даного трикутника.
  • Відстань від вершини трикутника до Ортоцентр вдвічі більше, ніж відстань від центру описаної окружності до протилежної сторони.

1.1.1. Радіус

Радіус описаного кола може бути знайдено за формулами

R = \ frac {abc} {4S}
R = \ frac {a} {2 \ sin \ alpha}
R = \ frac {abc} {\ sqrt {(a + b + c) (-a + b + c) (a-b + c) (a + bc)}}
Де:
a, b, c - Сторони трикутника,
α - Кут, що лежить проти боку a ,
S - Площа трикутника.

1.1.2. Положення центру описаної окружності

Нехай ~ {\ Mathbf r} _A, {\ mathbf r} _B, {\ mathbf r} _Cрадіус-вектори вершин трикутника, ~ \ Mathbf {r} _O - Радіус-вектор центра описаного кола. Тоді

~ \ Mathbf {r} _O = \ alpha_A \ mathbf {r} _A + \ alpha_B \ mathbf {r} _B + \ alpha_C \ mathbf {r} _C

де

\ Alpha_A = \ frac {a ^ 2} {8S ^ 2} (\ mathbf {r} _A-\ mathbf {r} _B, \ mathbf {r} _A-\ mathbf {r} _C), \ qquad \ alpha_B = \ frac {b ^ 2} {8S ^ 2} (\ mathbf {r} _B-\ mathbf {r} _A, \ mathbf {r} _B-\ mathbf {r} _C), \ qquad \ alpha_C = \ frac { c ^ 2} {8S ^ 2} (\ mathbf {r} _C-\ mathbf {r} _A, \ mathbf {r} _C-\ mathbf {r} _B)

1.1.3. Рівняння описаного кола

Нехай ~ {\ Mathbf r} _A = (x_A, y_A), {\ mathbf r} _B = (x_B, y_B), {\ mathbf r} _C = (x_C, y_C) координати вершин трикутника в деякій декартовій системі координат на площині, ~ \ Mathbf {r} _O = (x_O, y_O) - Координати центру описаної окружності. Тоді

x_O = \ frac {1} {4S} \ begin {vmatrix} x_A ^ 2 + y_A ^ 2 & y_A & 1 \ \ x_B ^ 2 + y_B ^ 2 & y_B & 1 \ \ x_C ^ 2 + y_C ^ 2 & y_C & 1 \ end {vmatrix} \ qquad y_O =- \ frac {1} {4S} \ begin {vmatrix} x_A ^ 2 + y_A ^ 2 & x_A & 1 \ \ x_B ^ 2 + y_B ^ 2 & x_B & 1 \ \ x_C ^ 2 + y_C ^ 2 & x_C & 1 \ end {vmatrix}

а рівняння описаного кола має вигляд

\ Begin {vmatrix} x ^ 2 + y ^ 2 & x & y & 1 \ \ x_A ^ 2 + y_A ^ 2 & x_A & y_A & 1 \ \ x_B ^ 2 + y_B ^ 2 & x_B & y_B & 1 \ \ x_C ^ 2 + y_C ^ 2 & x_C & y_C & 1 \ end {vmatrix} = 0

Для точок ~ (X, y) , Що лежать всередині кола, визначник негативний, а для точок поза нею - позитивний.

  • Теорема про тризуба: Якщо W - Точка перетину бісектриси кута A з описаною колом, а I - Центр вписаного кола то | W I | = | W B | = | W C | .
  • Формула Ейлера: Якщо d - Відстань між центрами вписаною і описаного кіл, а їх радіуси рівні r і R відповідно, то d 2 = R 2 - 2 R r .

1.2. Для чотирикутника

Cyclic quadrilateral.svg

Вписаний простий (без самоперетинів) чотирикутник необхідно є опуклим.

Навколо опуклого чотирикутника можна описати окружність тоді і тільки тоді, коли сума його внутрішніх протилежних кутів дорівнює 180 (π радіан).

Можна описати коло навколо:

У чотирикутника, вписаного в коло, твір довжин діагоналей дорівнює сумі творів довжин пар протилежних сторін: [1]

| AC | | BD | = | AB | | CD | + | BC | | AD |

1.3. Для багатокутника

  • Якщо з відрізків скласти багатокутник, то його площа буде максимальна, коли він вписаний.

1.4. У сферичному трикутнику

Описана окружність для сферичного трикутника - це коло, містить усі його вершини.

  • Якщо A, B, C - кути сферичного трикутника, P - їх полусумма, то тангенс радіуса [2] описаної окружності дорівнюватиме [3] : 78,83
\ Operatorname {tg} R = \ sqrt {\ frac {- \ cos P} {\ cos (PA) \ cos (PB) \ cos (PC)}} \,
  • Описана окружність належить сфері. Радіус, проведений з центру сфери через центр описаного кола перетне сферу в точці перетину серединних перпендикулярів (великих кіл сфери, перпендикулярних сторонам у їх середині) до сторін сферичного трикутника [3] :21-22 .



Примітки

  1. Теорема Птолемея - www.mccme.ru/free-books/prasolov/planim/gl6s3.htm
  2. Тут радіус кола вимірюється по сфері, тобто представляє собою градусну міру дуги великого кола, що з'єднує точку перетину радіуса сфери, проведеного з центру сфери через центр кола, зі сферою і вершину трикутника.
  3. 1 2 Степанов М. М. Сферична тригонометрія - М.-Л.: ОГИЗ, 1948. - 154 с.

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Окружність
Вписана окружність
Окружність Аполлонія
Одинична окружність
Вневпісанная окружність
Стична окружність
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru